精品解析：云南省昭通市第一中学2024-2025学年高二下学期2月开学考试数学试题

昭通一中2025年春季学期高二年级开学考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数以及指数的性质化简集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】由， 故， 故选：A 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角. 【详解】直线，即， 所以直线的斜率为，则倾斜角为. 故选：B. 3. 数列满足，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，依次计算即得. 【详解】数列中，， . 故选：B 4. 直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式的逆运用计算半径即可. 【详解】点到直线的距离为， 所以圆C的半径为， 则圆C的方程为. 故选：A. 5. 若F是抛物线的焦点，P是抛物线C上任意一点，的最小值为，且A，B是抛物线C上两点，，则线段的中点到y轴的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，利用抛物线的定义和梯形的中位线即可求解. 【详解】根据抛物线性质可知：的最小值为，所以由题意可得：， 如图，取中点E，分别过点A、B、E作于点D、C、G，与y轴交于点H， 根据抛物线的定义可得：，， 因为为梯形的中位线，所以， 所以线段的中点到y轴的距离. 故选：B. 6. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数、和的单调性可依次得、和，进而得解. 【详解】因为是上的增函数， 所以，即， 又因为是增函数，所以， 又是上的增函数， 所以，即， 综上所述，a，b，c的大小关系为. 故选：A. 7. 已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，的中点为，点差法得到齐次式，可求椭圆的离心率． 【详解】椭圆，左焦点，下顶点， 设，， 的中点为，，． ，． 由，， 两式相减得， 可化为， 得，即，两边平方得， 化为：，解得， 又，解得． 故选：A． 8. 南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，用累加法求得，从而得，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】由题意可得，，，，， 于是有， 所以，，， ，，， 将以上个式子相加，得， 所以， 所以 . 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由图知：，即，而，可得，A正确； 且，可得，B错误； 为对称轴，C正确； 由是函数的一个对称中心，则是函数的对称中心，D正确； 故选：ACD 10. 《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑中，，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 直线与平面所成角的正弦值 D. 内切球的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可知的中点即为的外接球的球心，由球的体积公式可得球的半径，进而得到，利用锥体的体积公式计算可判断A、B项，利用线面垂直可判断直线与平面所成角即为，计算其正弦值即可判断C项，利用等体积法可求得内切球的半径，即可判断D项. 【详解】解：由题可知，的中点即为的外接球的球心，设外接球的半径为，则，得， 因为，所以， 鳖臑的体积， 当且仅当时，；故A项正确，B项错误. 因为三棱柱为直三棱柱，故平面，又平面，故， 因为,所以平面， 所以直线与平面所成角即为，；故C项正确； 设鳖臑的内切球半径为，由等体积法，得，所以，故D项正确. 故选：ACD. 11. 用表示不超过的最大整数，例如，.已知，则（ ） A. B. 为奇函数 C. ，都有 D. 与图象所有交点的横坐标之和为4. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数新定义及奇偶性定义可判断AB；作差法比较大小可判断C；令，得，结合新定义求得，分、、、讨论求的根，即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，所以不是奇函数， 故B错误； 对于C，，对于， ，，故，故C正确； 对于D，令，得，又， 所以，可得， 当时，满足，即2为图象交点的横坐标， 当时，，则，解得， 即为图象交点的横坐标， 当时，，则，故1不为图象交点的横坐标， 当时，，则，解得， 即为图象交点的横坐标. 综上，图象所有交点的横坐标之和为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：D选项解题关键点是，令结合分类讨论求对应根为关键. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至､立春､春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为___________尺. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，然后求出其中某一项. 【详解】解：由题意得 从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设其公差为 ，解得 故立夏的日影子长为尺. 故答案为： 13. 已知曲线与在处切线的斜率的乘积为3，则的值为_____. 【答案】1 【解析】 【分析】先分别求出导数，再代入得出斜率，最后应用斜率积计算求参. 【详解】由题意可得，，， 设曲线与在处切线的斜率分别为，， 由导数的几何意义可知，，所以， 解得. 故答案为：1. 14. 伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线． 在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点中心对称； ②恒成立； ③曲线C上任一点到原点的距离不超过； ④当时，取得最大值或最小值． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据曲线的方程，结合对称性的判定方法，联立方程组，以及不等式和三角形面积，逐项判定，即可求解. 【详解】 在曲线上任取一点，关于原点的对称点为， 代入曲线的方程，可知在曲线上，所以曲线C关于原点中心对称，故①正确； 因为点是轨迹C上一点，所以， 因为，所以，即， 所以，故②正确； 因为，所以， 所以，所以曲线C上任一点到原点的距离不超过，故③正确； 因为，所以， 又，所以，即， 所以，当时等号成立，故④错误， 故答案为：①②③ 【点睛】方法点睛：本题考查曲线的轨迹及其性质的问题，同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列定义求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 时，，整理得，而， 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得， 所以. 16. 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（米）随着时间（，单位：小时）呈周期性变化，每天各时刻的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 （1）从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； （2）如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间. 【答案】（1）选择较合适， （2）安排在11时到19时训练较恰当 【解析】 【分析】（1）结合数据分析选择较合适，再由最大值与最小值求出的值，由周期可得出，代入点可得出的值. （2）在指定区间内由正弦函数的性质解不等式即可得答案. 【小问1详解】 由数据知，数据不具有线性关系，且最小值为0.6，最大值为1.4， 因此选择较合适. 令，，， 则，解得，， 又，则，此时， 将代入得，，即， 又，则， 故所求拟合模型的解析式为. 【小问2详解】 由，得， 则， 即，注意到， 所以或或， 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当. 17. 如图，已知圆锥的高为为底面直径，且． （1）求圆锥的表面积； （2）若是底面圆周上一点，且，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由圆锥的表面积公式计算即可； （2）建立如图所示坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，代入空间二面角公式求解即可； 【小问1详解】 由题可知母线长，底面半径． 故圆锥的表面积． 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设点在上的射影为，则，所以． 易知， 则． 设平面的一个法向量为， 则，取， 计算可得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取， 则平面的一个法向量为． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点． （1）求E的方程； （2）已知点，若E上存在一点P，使得，求t的取值范围； （3）过的直线交E于A，B两点，过的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3） 设， 则直线的斜率， 可得直线的方程，整理得， 同理可得：直线的方程， 由题意可得：，整理得， 又因为直线的斜率分别为， 显然为锐角，则， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知焦点F到准线的距离为，即可得方程； （2）设，利用平面向量数量积可得，结合基本不等式运算求解； （3）设，求直线的方程，结合题意可得，结合夹角公式分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：焦点F到准线的距离为， 所以抛物线E的方程为. 【小问2详解】 设，可知，则， 可得， 显然不满足上式， 则，可得， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 所以t的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 19. 若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线. （1）判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由； （2）若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由； （3）对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由. 【答案】（1）存在，理由见解析； （2）是，； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由定义结合三角函数图像得到“双夹线”； （2）利用导函数等于斜率，求出的切点坐标，验证切点个数，在用作差法得出函数图像在两直线之间，由定义得出； （3）由（2）的思路可知令即可找到切线方程及切点坐标，再由作差法验证函数在这两条直线之间，由定义得出及其范围. 【小问1详解】 曲线：，由正弦函数的图像可知：和为曲线的一对“双夹线”，故曲线是存在“双夹线”. 【小问2详解】 曲线：， ，令，即， 时，，点是曲线与的一个切点； 时，，点是曲线与的一个切点； ∴直线与曲线至少存在两个切点， 同理可得时，，点是曲线与的一个切点； 时，，点是曲线与的一个切点； ∴直线与曲线至少存在两个切点， 令，， 则，， ∴和是函数的一对“双夹线”， . 【小问3详解】 ，则， ∵，当时，，则过点的切线方程为：， 当时，，过点的切线方程也为：， ∴直线与至少存在两个切点； 同理可得，直线与相切于点和， ∴直线与至少存在两个切点； 令，， 则， ， ∴在两条直线之间， 故对于任意的正实数，函数都存在“双夹线”， ， 的所有取值构成的集合. 【点睛】方法点睛：本题出现的一个新的定义，根据定义先通过导函数与直线斜率相等找到至少两个切点坐标，再由作差法判定曲线一点在两条直线之间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通一中2025年春季学期高二年级开学考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 数列满足，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 4. 直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若F是抛物线的焦点，P是抛物线C上任意一点，的最小值为，且A，B是抛物线C上两点，，则线段的中点到y轴的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 10. 《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑中，，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 直线与平面所成角的正弦值 D. 内切球的半径为 11. 用表示不超过的最大整数，例如，.已知，则（ ） A. B. 为奇函数 C. ，都有 D. 与图象所有交点的横坐标之和为4. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至､立春､春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为___________尺. 13. 已知曲线与在处切线的斜率的乘积为3，则的值为_____. 14. 伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线． 在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点中心对称； ②恒成立； ③曲线C上任一点到原点的距离不超过； ④当时，取得最大值或最小值． 其中所有正确结论的序号是______． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（米）随着时间（，单位：小时）呈周期性变化，每天各时刻的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 （1）从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； （2）如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间. 17. 如图，已知圆锥的高为为底面直径，且． （1）求圆锥的表面积； （2）若是底面圆周上一点，且，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点． （1）求E的方程； （2）已知点，若E上存在一点P，使得，求t的取值范围； （3）过的直线交E于A，B两点，过的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：为定值. 19. 若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线. （1）判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由； （2）若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由； （3）对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $