精品解析：广西壮族自治区玉林市博白县中学2025届高三上学期11月月考数学试题

2024年秋季期博白县中学高三数学（二统模拟考）试题 一､单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助复数运算法则结合模长定义计算即可得. 【详解】， 故. 故选：C. 2. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由，分析集合的端点值，知，求解即可 【详解】由题意可得，且，解得． 故选：B. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以，解得． 故选：A 4. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求得集合，可得结论. 【详解】由，可得，所以， 因为在上单调递增，又， 由，可得，所以，所以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用正弦定理求的外接圆半径，再求点到平面的距离，设三棱锥外接球半径为，根据勾股定理列方程求出，进一步计算球的表面积. 【详解】如图： 在中，， 由余弦定理：, 所以，所以外接圆半径为，即. 在直角三角形中，，，所以. 设棱锥外接球半径为，在直角三角形中，， 解得：. 所以球的表面积为：. 故选：A 6. 已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】平移后的解析式为奇函数得到，求出的最小值. 【详解】因为为奇函数，则， 所以，又，所以，解得， 因为，所以时，取得最小值，最小值为8. 故选：D 7. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在轴上的投影为点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设抛物线上点设，根据向量数量积的坐标表示，配方后求最值即可. 【详解】由抛物线可知，焦点为， 设，则， 则， 所以， 当时，的最小值是， 故选：B 8. 已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用偶函数，把自变量为负数的等价到相反数来比较，利用对数运算估计和比较对数值的大小，再利用函数在区间上单调递减，就可以比较各选项. 【详解】因为，所以. 因为， 所以，即， 又， 所以，又在区间上单调递减， 所以， 即. 故选:A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随着科技的发展和燃油车成本的上升，人们对新能源汽车的需求逐步增加，从而推动了厂商产品力的提升和新能源汽车销量的快速增长，如图为某机构统计的2017-2025年中国新能源汽车市场规模及预测数据，则（ ） A. 2017-2023年中国新能源汽车市场规模逐年增长 B. 2017-2023年中国新能源汽车市场规模的中位数为3.4千亿元 C. 逐年比较，预计2025年中国新能源汽车市场规模的增长量最大 D. 2017-2025年中国新能源汽车市场规模与年份的关系可以用指数型函数模型进行拟合 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图表中的数据分析判断. 【详解】对A：从2017-2023年中国新能源汽车市场规模数据看新能源汽车市场规模逐年增长，故A正确； 对B：数据从小到大排列为1.6，2.8，3.0，3.4，6.0，9.9，11.5，共7个数据，其中位数为第4个数据3.4，故B正确； 对C：2021年增长是为，2022年增长1.6，2023年增长6.9，2024年增长4.7， 从增长量上看并不是逐年增加，故无法预计2025年的增长量最大，故C错误； 对D：从数据上看，市场规模前期增长缓慢，后期增长较快，故可用指数型函数模型进行拟合，故D正确； 故选：ABD 10. 已知中，角所对的边分别为的面积记为，若，则（ ） A. B. 的外接圆周长为 C. 的最大值为 D. 若为线段的中点，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角形面积公式和向量数量积定义可判断A正确，由正弦定理可得B错误；利用基本不等式可求得的最大值为，可得C正确；根据C中的结论可知当时面积，可得D错误. 【详解】依题意，，故A正确； 记外接圆的半径为，则，则的外接圆周长为，故B错误； 由余弦定理，，则， 故，当且仅当时等号成立，故C正确； 由C可知，当时，为等边三角形，此时，故D错误. 故选：AC. 11. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.已知实数a，b满足，，a+b=2，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值为3 C. 的最大值为3 D. 的最小值是2 【答案】ABD 【解析】 【分析】变形条件，利用“1”的妙用求出最小值判断A，D；消元借助函数求出最小值判断B；换元借助三角变换及三角函数性质计算判断C作答. 【详解】对于A，， 当且仅当，即，时取“=”，A正确； 对于B，，当时，取得最小值3，B正确； 对于C，令，， 其中锐角由确定，显然，则当，即时，， 因此，当时，取最大值，C不正确； 对于D， ， 当且仅当a=b=1时取“=”，D正确. 故选：ABD 三､填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出直线过定点，判断点在圆内，当直线时直线与圆相交的弦长最短，再由弦长公式计算可得. 【详解】直线，则， 令，解得，所以动直线恒过点， 又圆的圆心为，半径， 所以， 所以点在圆内， 所以当直线时直线与圆相交的弦长最短， 最短弦长为. 故答案为： 13. 已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】对不等式进行合理变形同构得，构造函数利用函数的单调性计算即可. 【详解】易知，由可得， 即，则有， 设，易知在上单调递增， 故，所以，即， 设，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，则有，解之得． 故答案为：. 四､解答题 14. 良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用．某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答．已知该班学生甲答对组题的概率均为，答对组题的概率均为．假设学生甲每道题是否答对相互独立． （1）求学生甲恰好答对3道题的概率； （2）设学生甲共答对了道题，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）转化为“答对组的2道题和组的1道题”与“答对组的l道题和组的2道题”两个互斥事件的和事件的概率求解，再分别应用相互独立事件同时发生的乘法公式即可得； （2）按照求离散型随机变量分布列的一般步骤求解即可. 【小问1详解】 学生甲恰好答对3道题有以下两种情况： 第一种情况是学生甲答对组的2道题和组的1道题， 其概率； 第二种情况是学生甲答对组的l道题和组的2道题， 其概率． 故学生甲恰好答对3道题的概率． 【小问2详解】 由题意可知的所有可能取值为． ， ， ， ， 由（1）可知， 则的分布列为 0 1 2 3 4 故． 15. 如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点． （1）证明：平面． （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1） 证明：由三棱柱的性质可知． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为为的中点，且是等边三角形，所以． 因为平面，且， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接．由题意可得两两垂直，故以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， 故． 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：． 【答案】（1） （2）时，的递增区间为，无递减区间； 时，的递减区间为，递增区间为； （3）由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且， 则要证，即证，即证， 而，则，否则方程不成立）， 所以即证，化简得， 令，则， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以，而，所以， 所以，得证． 【解析】 【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解； （2）由，分和两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间； （3）分析可得要证，，令，利用导数证得，即可得证． 【小问1详解】 ，， ，， 所以在点处的切线方程为， 整理得：； 【小问2详解】 函数定义域为， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，得， 此时在上，在单调递减， 在上，在单调递增， 综上： 时，的递增区间为，无递减区间； 时，的递减区间为，递增区间为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明，利用构造函数的方法即可. 17. 已知动圆M经过定点，且与圆内切. （1）求动圆圆心M的轨迹C的方程； （2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）设直线，证明：直线PQ过定点. 【答案】（1）； （2）（i）证明如下： 设，，，由（1）知，， 显然，，而，则， ，又，即， 所以，为定值. （ii）证明如下： 由消去x得， ， 由（i）得，又， 则 ，解得，满足， 因此直线PQ的方程为， 所以直线PQ过定点. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆的定义求出轨迹C的方程. （2）（i）设出点的坐标，利用斜率坐标公式计算即得；（ii）联立直线与轨迹C的方程，利用韦达定理结合（i）的结论计算即得. 【小问1详解】 设动圆的半径为r，圆的圆心，半径， 显然点在圆内，则， 于是， 因此动点M的轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆， 长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以轨迹C的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： ①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； ②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； ③求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 18. 已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． （1）若，且为“2数列”，求． （2）若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式． （3）若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）， （3） 因为为“数列”，所以， 即对任意的恒成立， 因为，，所以． 再结合，，，反复利用， 可得对任意的，． 设函数，则． 由，得． 当时，，所以在上单调递减． 所以当时，，即． 又，所以． 可得，，，， 累加可得， 即，即， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据“2数列”的定义计算即可； （2）根据题意得到，然后结合“数列”的定义列方程得到，最后写通项即可； （3）根据“数列”的定义得到，然后构造函数得到，最后利用累加法证明即可. 【小问1详解】 由，且为“2数列”，得，即， 则， ， ， ． 【小问2详解】 设数列的公比为， 由，得， 即， 则． 两式相减得， 即． 因为是首项为2的“数列”，所以， 即， 所以， 即对任意的恒成立． 因为，， 则，即， 解得，． 又由，即，得，所以． 检验可知符合要求，故数列的通项公式为． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题为数列的新定义题型，准确理解“数列”的含义，紧扣题意将问题转化为熟悉的数学知识进行求解，同时构造函数，利用导数研究函数的单调性是证明不等式的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期博白县中学高三数学（二统模拟考）试题 一､单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在轴上的投影为点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随着科技的发展和燃油车成本的上升，人们对新能源汽车的需求逐步增加，从而推动了厂商产品力的提升和新能源汽车销量的快速增长，如图为某机构统计的2017-2025年中国新能源汽车市场规模及预测数据，则（ ） A. 2017-2023年中国新能源汽车市场规模逐年增长 B. 2017-2023年中国新能源汽车市场规模的中位数为3.4千亿元 C. 逐年比较，预计2025年中国新能源汽车市场规模的增长量最大 D. 2017-2025年中国新能源汽车市场规模与年份的关系可以用指数型函数模型进行拟合 10. 已知中，角所对的边分别为的面积记为，若，则（ ） A. B. 的外接圆周长为 C. 的最大值为 D. 若为线段的中点，且，则 11. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.已知实数a，b满足，，a+b=2，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值为3 C. 的最大值为3 D. 的最小值是2 三､填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________． 13. 已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是________． 四､解答题 14. 良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用．某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答．已知该班学生甲答对组题的概率均为，答对组题的概率均为．假设学生甲每道题是否答对相互独立． （1）求学生甲恰好答对3道题的概率； （2）设学生甲共答对了道题，求的分布列及数学期望． 15. 如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点． （1）证明：平面． （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：． 17. 已知动圆M经过定点，且与圆内切. （1）求动圆圆心M的轨迹C的方程； （2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）设直线，证明：直线PQ过定点. 18. 已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． （1）若，且为“2数列”，求． （2）若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式． （3）若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $