北京市第二中学2024-2025学年高三下学期开学测试数学试题

北京二中2024一2025学年度高三年级第二学期开学测试 数学 2025.2 命题人：一 审核人： 得分： 第一部分（选择题共40分） 一，选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1.设集合A={xx>a,集合B={0,1,若AnB≠⊙，则实数a的取值范围是 A.a≤1 B.a<1 C.a<0 D.a≤0 2.己知抛物线x2=4y上一点M到焦点的距离为3，则点M到x轴的距离为 A B.1 C.2 D.4 3.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z= A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i 4在平面直角坐标系x0y中，角a以0x为始边，终边与单位圆交于点（停。-9 则cos(n+a)= A-号 B号 c-9 D 5.我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿 墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天 的一半.如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第 A.3天 B.4天 C.5天 D.6天 6.已知直线l:y=mx-m-1,P为圆C:x2+y2-4x-2y+1=0上一动点，设P到直线距离的最大值 为d(m),当d(m)最大时，m的值为 A-月 B.- c D.2 7.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则“a4>a3”是“对于任意neN且n≠3，Sm>S3”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第1页，共4页 8.李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t天后，用户人数A(t)=A(O)ekt,其中k为常 数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为 (本题取1g2=0.30) A.31 B.32 D C.33 D.34 9.长方体ABCD-A1B1CD1中，AB=√2，BC=BB1=1,E为线段B1C的中点， F是棱C1D1上的动点，若点P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值为 A.2 B1+号 C.v6 D.52 2 6 10.己知函数f(x)= (elr-11 :x之0，若方程f2()+bf)+2=0有8个相异实根，则实数b的取值 -x2-2x+1,x≤0 范围 A.(-4-2) B.(-4.-2V2) c.(-3.-2) D.(-3,-22) 二.填空趣（每小题5分，共25分) 1山在(《-发)卢的展开式中，x2的系数为一 12.已知两点F(-1,0),F2(1,0),点P(cos6,sin8)满足IPFl-IPF2I=√2，则△PFF2的面积是_ 日的一个取值为一 13.已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=2,圆M为△ABC的外接圆，ME=(MA+MB), 则M正，CE=: 若P为圆M上的动点，则PM,PE的最大值为 14.若函数f☒=2-2mx+4mx>m存 x≤m存在最小值，则m的最大值为 15.在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{a},b}分别表示两组信息的传输 链上每个节点处的信息强度，数列模型：a+1=2am+bn,bn+1=an+2bn(m=1,2,…),描述了这两组 信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足1>b1,则在该模型中，关于两组 信息，给出如下结论： ①vneN',an>bn: 2Vn E N',an+1>an,bn+1>bn: ③kEN,使得当n>k时，总有会-1<10-0： ④1kEN,使得当n>k时，总有-2引<10-10， 其中，所有正确结论的序号是 第2页，共4页 三.解答题（共85分） 16.(本小题13分)△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为V15,b-c= 2,c0sA=-月 四求a和simC的值；（四求cos(2C+的值. 17.(本小题13分)某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参 赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分，每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确 定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表：场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7,8)： [8,9),[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下： 顿率 十组鹿 专家 A B C E 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 0.2 8910评分 ()求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率： (四)从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数：从场外观众中随机选取3人，用频率估计概 率，Y表示评分不小于9分的人数：试求E(X)与E)的值： (四考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分： 方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x作为该选手的最终得分. 方案二：分别计算专家评分的平均数，和观众评分的平均数元2，用作为该选手的最终得分. 请直接写出x与函运的大小关系。 18(本小题14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，点F为PD的中点. ()己知点G为线段BC的中点，求证：CFI/平面PAG: (T)若PA=AB=2,直线PC与平面ABCD所成的角为30°， 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知， 使四棱锥P一ABCD唯一确定，求： ()直线CD到平面ABF的距离： (ii)二面角B一AF一C的余弦值 条件①：PA1平面ABCD:条件②：AD=2V2: 条件③：平面PAB⊥平面PAD. 第3页，共4页 19(体小题15分)已知椭圆C:受+号=10<n<2), (四若椭圆C的离心率为求n的值： (T)若过点N(-2,O)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,在x轴上是否存在点M,使得∠NMA+ ∠NMB=180°？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由. 20.(本小题15分)已知函数f(x)=mxnx-x2+1(m∈R). (①当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (四若f(x)≤0在区间[1，+o)上恒成立，求m的取值范围： (四试比较血4与v2的大小，并说明理由. 21.(本小题15分)设n为不小于3的正整数，集合2n={(x1,x2,,xn)x:∈{0,1，i=1,2,,n},对于集合2m 中的任意元素a=(31,x2,,xn),B=0y1,y2,,yn)记a*B=(x1+y1-x1y1)+(x2+y2 x2y2)+.…+(xn+a-xna) (①)当n=3时，若a=(1,1,0),请写出满足a*β=3的所有元素B: (四设a,B∈2n且a*a+B*B=n,求a*B的最大值和最小值： (四设S是2的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素a,B,有a*B≥n-1成立，求集合S中元素个 数的最大值。 第4页，共4页 北京二中2024一2025学年度高三年级第二学期开学测试 数学参考答案 一、选择题 BCBAB ABDAD 二、填空题 11是 12.子（答案不唯一） 13.2:2+V2 14.4 15.①②③ 三、解答题 16解：()△ABC中，面积为SAABC=besinA=V5, 1 又c0sA=-寻A为钝角， 所以A=V1-cos项=1-（←=平 所以bc=8: 又b-c=2, 所以b=4,c=2: 所以a2=b2+c2-2bcc0sA=16+4-2×4×2×(-3=24: 所以a=2V6: 由正弦定理得a sinA sinc 所以siC=cstm4 2x5 a 2w6 8 (2)由题意知，C为锐角， 所以cosC=√1-sin2C= 1-- 8 所以cos(2c+)=cos2Ccos号-sin2Csin写 (1-2sin2C)-3 x 2sinccosc 1 10.V3。V1036 2x1-2×7-2×2x 8 8 =11-9w5 32 第1页，共6页 17解：（①证明：四边形ABCD是平行四边形，点F为PD的中点， 取PA的中点E,连接EF,EG,则易得EF/GC,且EF=GC, 四边形EFCG为平行四边形， ∴CF/GE,又CF￠平面PAG,GEC平面PAG, CF//平面PAG: (四)根据题意可得：选条件①，②或选条件①，③才能使四棱锥 P-ABCD唯一确定， 当选条件①，②时，则PA1平面ABCD,AD=BC=2V2, 又PA=AB=2,且直线PC与平面ABCD所成的角为∠PCA=30°， .AC=V3PA =2V3,.AB2 +BC2=AC2, AB1BC,底面平行四边形ABCD为矩形， 当选条件①，③时，则PA1平面ABCD,平面PAB1平面PAD,·∠BAD=90°， 又PA=AB=2,且直线PC与平面ABCD所成的角为∠PCA=30°， AC=V3PA=2W3,BC=√12-4=22， 故选条件①，②或选条件①，③确定的四棱锥P一ABCD相同， 建系如图，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2V2,0),D(0,2V2,0), F(0,VZ,1) AD=(0,220),AF=(0,√21)，AB=(2,0,0),AC=(2.2√20) ()CD/BA,CD女平面ABF,BAC平面ABF, 六CD/平面ABF, 直线CD到平面ABF的距离等于D到平面ABF的距离， 又AD=(0,22,0),设平面ABF的法向量为m=(x,y,z), 则元正=V2y+z=0,取玩=0,1，-√②，六D到平面A8F的距离d=而=-2爱=2。 (m·AB=2x=0 河 3 3 (四设平面AFC的法向量为元=a,bc),则·A正=V2b+c=0 (元·AC=2a+2W2b=0 ,取元=(Z-1V2): 又由()知平面ABF的法向量m=(0,1,-V②， 设二面角B一AF一C的平面角为0，由图可知8为锐角， c0s0=lkos<元，元>1=周黑-7万=罗 5 故二面角B-AF-C的余弦值为压 5 第2页，共6页 18解：)由图知a=0.3,某场外观众评分不小于9的概率是 四x的可能取值为2.3PGX=2)=安-号P0X=3)=是=号 C 所以X的分布列为： X23 32 55 所以B(0=2×+3×号=号 由题意可知，Y~8(3,,所以E)=p= (四）x<+起 2 19解：0因为a2=2,b2=n,所以c2=2-n,又e==子得n- ()若存在点M(m,0),使得∠NMA+∠NMB=180°， 则直线AM和BM的斜率存在，分别设为k1,k2,则k1+k2=0, 依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为y=k(x+2), (y=k(x+2) x2+y2=1,得(2k2+四x2+8k2x+8歌2-2n=0, 因为直线与椭圆C有两个交点，所以△>0， 即(8k3)2-4(2k2+m)(8k2-20)>0,解得k2< 设A6),B6,y,则k1+2=- 2k2+n七为2= 8k2-2m 2k2+n y1=k(x1+2),y2=k(x2+2) 有+妇=产+品=0 (x1-m)y2+(x2-m)y=0, (x1-m)k(x2+2)+(x2-m)k(x1+2)=0, 当k≠0时，2x1x2-(m-2)(1+x2)-4m=0, (m+=0,∴m=-1. 2k2+n 当k=0时，也成立 所以存在点M(-1,0),使得LPQM+∠PQN=180. 第3页，共6页 20.解：(1)当m=1时，f(x)=xnx-x2+1, f'(x)=lnx+1-2x, 所以曲线f(x)在点(1，f(1)处切线的斜率k=f'(1)=-1,又f(1)=0, 所以曲线f(x)在点(1，f(1)处切线的方程为y=-(x-1)即x+y-1=0· (2)f(x)≤0在区间[1，+o)上恒成立，即mxnx-x2+1≤0，对xe[1,+o), 即mlnx-x+2≤0，对xeL,+o), 令g6x)=mlnx-x+2,只需g6x)ma<0, g侧=受-1-2=，xe1+m), 当m≤0时，有mx≤0，则g(x)<0, g(x)在[1，+o)上单调递减， ∴g(x)≤g(1)=0符合题意， 当m>0时，令h(x)=-x2+mx-1, 其对应方程-x2+mx-1=0的判别式4=m2-4, 若4≤0即0<m≤2时，有h(x)≤0，即g(x)≤0， ∴g(x)在[1，+oo)上单调递减， ∴g(x)≤g(1)=0符合题意， 若4>0即m>2时，h()=-x2+mx-1,对称轴x=受>1，又h()=m-2>0, 方程-x2+mx-1=0的大于1的根为x0=m+vm24 2 xe(1,xo),h(x)>0即g(x)>0, xE(xo,+∞)，h(x)<0,即g'(x)<0, 所以函数g(x)在(1，x)上单调递增，g(x)>g(1)=0,不合题意. 综上，f(x)≤0在区间[1，+0)上恒成立，实数m的取值范围为(-o,2]. (3)由(2)知，当m=2时，f(x)≤0，在区间[1，+o)上恒成立， 即2xnx≤x2-1,对x∈[1，+m), 取x=√2代入上式得22lnv2<1,化简得n4<√2. 第4页，共6页 21.解：①)满足a*B=3的元素β为(0,0,1)，(1,0,1).(0,1,1)，(1,1,1)： (四记a=(x1,X2,…,xn),B=y1,y2,…,yn), 注意到x∈{0,1，所以x(x1-1)=0, 所以a*a=(x1+x1-x1x1)+(x2+x2-x2x2)+…+(xn+xn-xnxn) =x1+X2+…+xn B*B=乃+y2++' 因为a*a+B*B=n,所以x1+x2十…+xn+y+y2+…+n=n: 所以x1,x2,…,xy1,y2,…,y中有n个量的值为1，n个量的值为0 显然0≤a*B=(:1+y-x1y)+(x2+y2-x2y2)+…+(xn+n-xnn) ≤x1+y1+x2+y2+…+xn+yn=n, 当a=(11,…,1)B=(0,0,….0)时， a,B满足a*a+B*B=n,c*B=n.所以a*B的最大值为n. a*B=(x1+y-x1y1)+(x2+y2-x2y2)++(xn+yn-xnyn) =n-(x1y1 +x2y2++xnyn), 注意到只有x=y=1时，xy=1,否则xy=0, 而x1,x2,…,x,y1,y2,",yn中n个量的值为1，n个量的值为0， 所以满足x丛=1这样的元素至多有个， 当n为偶数时，a*B≥n-2=2 当a=B= 11,…1,0,0,…0 时，满足a*a+B*B=n,且a*B=2 所以a*B的最小值为： 当n为奇数时，满足=1的元素至多有”号个，所以a~B2n-“受=史 2 当= 11,…1,0,0…0B= 1,1,…,1,0,0,…,0时，满足a*a+B*B=n, 个 2个 2 a*B=空.所以a*B的最小值为生出， 综上：a*8的最大值为n:当n为偶数时，a*B的最小值为号当n为奇数时，a*B的最小值为生 第5页，共6页 (四)S中的元素个数最大值为己+n+2 2 设集合S是满足条件的集合中元素个数最多的一个， 记S1={a=(x1,x2,…,xn)x1+x2+…+xn≥n-1,aeS} 52={a=(x1,x2,…,xn)川x1+x2+…+xn≤n-2,aeS}, 显然5=51US2,S1nS2=o, 集合S1中元素个数不超过n+1个，下面我们证明集合S2中元素个数不超过C?个， VaeS2,a=(x1,x2,…,xn),则x1+x2+…+xn≤n-2, 则x1,x2,…,xn中至少存在两个元素x1=x=0, VBeS2,B=yh,y2,…,n),B≠a 因为a*B≥n-1,所以y,y不能同时为0， 所以对1≤i<j≤n中的一组数i,j而言， 在集合S2中至多有一个元素a=(x1,x2,…,xn)满足x,x同时为0， 所以集合S2中元素个数不超过C?个， 所以集合S中的元素个数至多为n+1+C经=++2 2 记T1={a=(x1,x2.…,xn)1x1+x2+…+xn≥n-1,ae2n},则T1中共n+1个元素， 对于任意的aeT1,Be2m,a*B≥n-1. 对1≤i<j≤n,记B,/=(x1,x2,…,xn),其中x=为=0，x:=1,t≠i,t+j, 记T2={Bl1≤i<j≤n, 显然Va,B∈T2,《卡B,均有a*B2n-1 记S=TUT2,S中的元素个数为+n+2,且满足va,BeS,a≠B,均有a*B≥m-1. 2 综上所述，S中的元素个数最大值为++？ 2 第6页，共6页