精品解析：河南省部分普通高中学校2025届高三下学期开学收心摸底大联考数学试卷

2024~2025学年普通高中学校毕业年级适应性模拟演练 数 学 注意事项： 1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 2024年全国普通高考报名人数达到1342万人，相较2023年增加51万人. 则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的基本运算法则计算即可. 【详解】解：因为 . 故选：D. 2. 已知且，则a=（ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式化简，再解方程得解. 【详解】由，得，整理得， 由，得，解得，所以. 故选：A 3. 列车运行区段指示牌，是一种悬挂或粘贴在普通速度列车车厢上，标明列车运行区段、车次、等级等信息的指示牌，俗称“水牌”（如图所示）.现给出如下定义： 实际水牌：指由路内负责设计、印刷并实际应用于运营普速列车的水牌.又称实物水牌； 模式水牌：指能如实反映具体列车运行区段、车次等信息，不产生歧义且不含任何错误的水牌.又称理论水牌. 了解以上定义后，可以给出“错水牌”的定义： 错水牌：对于任意给定的实际水牌，如其存在某个要素与模式水牌不符，则该实际水牌为错水牌.若将实际水牌、模式水牌和错水牌均看做是以水牌为元素的集合，则综合上述定义，以下选项正确给出了实际水牌、模式水牌与错水牌关系的一项是（ ） A. 实际水牌错水牌 B. 实际水牌模式水牌 C. 错水牌实际水牌 D. 错水牌模式水牌 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设三种水牌的定义，判断它们的包含关系即可得答案. 【详解】由题意，错水牌是存在某个要素与模式水牌不符的实际水牌， 即错水牌⊆实际水牌，且错水牌一定不是模式水牌，C对，A、D错， 实际水牌可能存在要素与模式水牌不符，则实际水牌不包含于模式水牌，B错. 故选：C 4. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台甲、乙的母线长为分别为，，则圆台甲与乙的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征求出甲乙两个圆台的高，再利用圆台的体积公式计算得解. 【详解】依题意，圆台甲的高， 圆台乙的高， 所以圆台甲与乙的体积之比为. 故选：B 5. 如图是一个4×4的数阵，在该数阵中选出4个数，要求每行和每列均有且仅有一个数被选中. 在所有符合条件的选法中，4个数之和的最大值为（ ） A. 24 B. 100 C. 112 D. 169 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法写出所有的可能结果，即可求出最大值. 【详解】每种选法可标记为分别表示第一、二、三、四列数字，则所有的可能结果为： 所以选中的方格中4个数之和最大，为 故选：C 6. 令定义在上的非常数奇函数的表达式为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数性质求出即可. 【详解】函数是R上的非常数奇函数，则，解得， ，， 而不恒为0，因此，即，又不恒为0，则，解得， 经验证，当，时，是奇函数，所以. 故选：A. 7. 抛物线顶点到抛物线的准线的距离为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数性质求出的顶点，利用抛物线的性质求出的准线，再求解距离即可. 【详解】由题意得，由二次函数性质得其顶点为 而，得到，故抛物线的准线方程为， 设抛物线的顶点到抛物线的准线的距离为， 则，故D正确. 故选：D 8. 设向量，则的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的数量积的坐标表示，结合三角恒等变换，可求出，结合，，可求出，，从而可求出的值． 【详解】解： 因为， 所以中，第项和第项和为0，即， 同理由， 可知中，第项和第项和为0，即， 所以． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，设为虚数单位，则（ ） A. z可以是 B. 对另一任意复数z1，一定存在 C. D. 若z为纯虚数，则其虚部为2 【答案】AC 【解析】 【分析】直接求的模判断A；当时，结论不成立，判断B；计算，可判断C；根据题设求出虚部判断D. 【详解】对于A，若，则，符合题意，故A正确； 对于B，当时，和无意义，所以对另一任意复数z1，不一定存在，故B错误； 对于C，设，且，， 所以，C正确； 对于D，设，由，可得或，D错误. 故选：AC 10. 在平面直角坐标系xOy中，有一定点，点P是函数图象上的一个动点. 若点P，A之间的最短距离为，则满足条件的a的取值可以是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令且，可得，应用换元法，结合二次函数的性质及最短距离列方程求参数值即可. 详解】令且，则 ， 令，当且仅当时取等号， ，且， 由点P，A之间的最短距离为， 当时，，则，可得； 当时，，可得. 所以或. 故选：AC 11. 已知双曲线，点在上，k为常数且. 按照如下方式依次构造点：过作斜率为k的直线与的左支交于点，令为关于y轴的对称点. 记的坐标为. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 数列是公比为的等比数列 D. 设为的面积，则对任意正整数n， 【答案】BC 【解析】 【分析】直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可判断AB选项；利用点差法和合比性质即可判断C选项；利用点差法得到，再结合选项C的结论得，最后证明出即可判断D选项. 【详解】由已知有，故的方程为， 当时，过且斜率为的直线为， 与联立得到，解得或5， 所以该直线与的不同于的交点为， 该点显然在的左支上，故，故A错误；B正确； 因为，，，则， 由，作差得， ，利用合比性质知， 因此是公比为的等比数列，故C正确； 由，作差得， 变形得①， 同理可得， 可知是公比为的等比数列，令则②， 同时是公比为的等比数列，则③， 将②③代入①，， 即，从而，即，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列{an}满足. 若数列{an}的前三项依次构成等差数列，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差中项可得，结合题中递推公式运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为依次构成等差数列，则， 即，解得. 故答案为：. 13. 已知，则最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】把所求式子看作两点间距离的平方，再根据直线与曲线位置关系求最值 【详解】看作两点之间距离的平方． 点A在直线上，点B在曲线上 ，取 所以，即最小值4. 【点睛】本题考查两点间距离公式以及利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 14. 已知函数，若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系可知对任意的恒成立，将的解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，则整个式子的取值范围由的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数值域，再讨论，转化为的最小值与的最大值的不等式，进而求出k的取值范围. 【详解】因为对任意正实数，都存在以为三边长的三角形， 故对任意的恒成立， ，令， 则， 当时，该函数在上单调递减，则； 当时，， 当时，该函数在上单调递增，则， 所以，当时，因为， 所以，解得； 当时，，满足条件； 当时， ，且 ， 所以，解得， 综上，解集为：， 故答案为： 【点睛】关键点点睛： （1）对于恒成立问题，常用到以下两个结论：恒成立⇔；恒成立⇔； （2）将构成三角形的条件转化为恒成立为题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 汽车的前灯、探照灯、反射式的天文望远镜以及日常生活中使用的手电筒，它们的反光镜都是采用旋转抛物面，即抛物线绕对称轴旋转一周而成的曲面. 这种反光镜（抛物镜面）有一个很好的光学特性：把光源放在抛物线的焦点处，经镜面反射后的光线变成了与对称轴平行的光束.现用导数的几何意义来证明这个性质. 如图所示，不妨设抛物线的焦点为. （1）求抛物线上任一点处的切线的方程，其中是该切线与轴的交点. （2）证明：，并由此说明对于抛物镜面来说，从焦点出发的入射光线经镜面反射后的反射光线一定与该镜面的对称轴（轴）平行. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过求导确定切线斜率即可求出切线的方程. （2）通过证明可得结论，利用角度转化可得，即可说明从焦点出发的入射光线经镜面反射后的反射光线一定与该镜面的对称轴（轴）平行. 【小问1详解】 当点在轴上方时，由得， ∴，故在点P处切线的斜率为， ∴所求切线的方程为， 由得，. 当点在轴下方时，由得， ∴，故在点P处切线的斜率为， ∴所求切线的方程为， 由得，. 综上得，当点在轴上方时，切线的方程为；当点在轴下方时，切线的方程为. 【小问2详解】 不妨设点在轴上方，要证，即证. 在直线中，令，得，即， ∴，， ∴，故. 由镜面反射得，， ∵，∴， ∴对于抛物镜面来说，从焦点出发的入射光线经镜面反射后的反射光线一定与该镜面的对称轴（轴）平行. 16. 中国铁路经过数十年的飞速发展，在高速铁路领域取得了重大突破.时至今日，全国铁路列车已经形成了一套完整的列车车次编号体系：普通旅客列车/普通旅客快车以数字编号（如1461次）；快速列车以K+数字编号（如K9521次）；特快列车以T+数字编号（如T236次）；直达特快列车以Z+数字编号（如Z27次）；城际列车以C+数字编号（如C2723次）；动车组列车以D+数字编号（如D9933次）；高铁列车以G+数字编号（如G3588次）；市郊旅客列车以S+数字编号（如S501次）；临时旅客列车以L+数字编号（如L7455次）；旅游列车以Y+数字编号（如Y965次）.为全面了解某市旅客出行需求，某机构在该市随机调查了200名旅客出行选择的列车等级，并得到了下列表格： 列车等级 CRH 普客 普快 快速 特快 直达特快 频数 54 27 38 42 18 21 说明：①CRH表示中国高速铁路，与普通速度列车区分，包括车次编号以“C”“D”“G”“S”开头的旅客列车； ②受限于列车开行安排，车次编号以“L”“Y”开头的旅客列车未列入统计. 用上表样本的频率估计概率，令等级为“普快”和“快速”的旅客列车统称为“常见普速列车”. 回答下列问题： （1）从参加调查的所有旅客中随机抽取3人，这3人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为X，求和； （2）据另一项调查显示，80%未选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将不会改变出行方式，60%选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将改变出行方式，求参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率. 【答案】（1）， . （2）. 【解析】 【分析】（1）记“未选择‘常见普速列车’出行”为事件A，估计，则，根据二项分布即可求解； （2）记“参加调查的旅客今后将不会改变出行方式”为事件B，则即可求解. 【小问1详解】 记“未选择‘常见普速列车’出行”为事件A，估计. 则， ，. 【小问2详解】 由（1）知，则有，记“参加调查旅客今后将不会改变出行方式”为事件B， 由题意， 所以. 答：参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率为. 17. 如图，在正三棱柱中，是中点，在棱上，且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面平面，只需在平面内找到一条直线与平面垂直即可，a根据线面垂直的判定定理易证平面. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，然后根据空间角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 设的中点为，过作分别交于，连接、， 则分别为的中点， 所以， 由，得，即，又因为， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为是的中点，为正三角形，所以， 由正三棱柱的性质得，底面，且底面， 所以，平面， 所以平面. 又因为，所以平面， 平面，所以平面平面. 【小问2详解】 以中点为原点，为中点）分别为轴，轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 易得平面的一个法向量， 设向量为平面一个法向量， ， 则由，得， 令，得， 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知函数，其中为正实数． （1）若，讨论在的单调性． （2）若，且方程在至少有一个根，求实数m的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算对求导，根据导数正负即可得出单调性； （2），将方程转化为在至少有一个根，设，，根据导数求得值域，即可求解的范围． 【小问1详解】 ， ， 因为，，所以， 所以，， 所以，所以在单调递减． 【小问2详解】 当时，，设， 则， 设，， 则， 设， 则， 因为，所以，即， 所以在单调递增， 又，， 所以当时，，即， 所以在上单调递减，， 又 所以在至少有一个根时，． 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，设可以简化运算；同时对于正负的判断，不能去括号化简，将括号中的多项式视为整体，构造函数二次求导即可简化运算． 19. 经过课内的学习我们已经了解了函数的求导法则，通过这些求导法则我们可以对诸如函数求导. 但是对于一些特别的函数诸如，则难以利用普通的求导法则实现求导. 因此我们引入一个新的求导方法. 阅读下列例题： 例 求函数的导数：. 解 取对数得：等式两端同时对x求导，得，所以 上述例题的求导方法即为对数求导法. （1）直接写出函数的导数； （2）利用对数求导法求下列函数的导数： ①；②； （3）求函数的导数； （4）对数求导法之所以可用于函数求导，实际上是基于复合对数函数导数的特殊性质（其中且可导）. 请写出2个复合对数函数并求导，归纳得出复合对数函数导数的特殊性质，并证明该性质对于任意一个满足且可导的复合对数函数均成立. 【答案】（1） （2）①；② （3） （4）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用复合函数的求导法则计算即得，还可通过降幂公式化简； （2）①先对函数两边取自然对数，再对等式两边对x求导，代入的解析式即得；②将函数拆解成三个函数的和，分别利用对数求导法求出再相加即得； （3）利用对数求导法和幂函数的求导公式计算即得； （4）由具体示例推得，再分为正为负两种情况证明即得. 【小问1详解】 由求导得： ， 故函数的导数为（或） 【小问2详解】 ①由，取对数得： . 等式两边同时对x求导，得， 故； ②令，，，则且. 对取对数得：.等式两边同时对x求导，得， 所以. 同理可得：， 所以. 【小问3详解】 【小问4详解】 示例 ： 令，则函数.对函数求导得：. 令，则函数.对函数求导得：. 因此复合对数函数导数的特殊性质为. 对于函数，下证上述结论成立： 易得 故当时， 当时， 故得，因此原题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年普通高中学校毕业年级适应性模拟演练 数 学 注意事项： 1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 2024年全国普通高考报名人数达到1342万人，相较2023年增加51万人. 则（ ） A. B. 0 C. D. 2. 已知且，则a=（ ） A 64 B. 32 C. 16 D. 8 3. 列车运行区段指示牌，是一种悬挂或粘贴在普通速度列车车厢上，标明列车运行区段、车次、等级等信息的指示牌，俗称“水牌”（如图所示）.现给出如下定义： 实际水牌：指由路内负责设计、印刷并实际应用于运营普速列车的水牌.又称实物水牌； 模式水牌：指能如实反映具体列车运行区段、车次等信息，不产生歧义且不含任何错误的水牌.又称理论水牌. 了解以上定义后，可以给出“错水牌”的定义： 错水牌：对于任意给定的实际水牌，如其存在某个要素与模式水牌不符，则该实际水牌为错水牌.若将实际水牌、模式水牌和错水牌均看做是以水牌为元素的集合，则综合上述定义，以下选项正确给出了实际水牌、模式水牌与错水牌关系的一项是（ ） A. 实际水牌错水牌 B 实际水牌模式水牌 C 错水牌实际水牌 D. 错水牌模式水牌 4. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台甲、乙的母线长为分别为，，则圆台甲与乙的体积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个4×4的数阵，在该数阵中选出4个数，要求每行和每列均有且仅有一个数被选中. 在所有符合条件的选法中，4个数之和的最大值为（ ） A. 24 B. 100 C. 112 D. 169 6. 令定义在上的非常数奇函数的表达式为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 7. 抛物线的顶点到抛物线的准线的距离为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 8. 设向量，则的值为（ ） A. B. C. D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，设为虚数单位，则（ ） A. z可以是 B. 对另一任意复数z1，一定存在 C. D. 若z为纯虚数，则其虚部为2 10. 在平面直角坐标系xOy中，有一定点，点P是函数图象上的一个动点. 若点P，A之间的最短距离为，则满足条件的a的取值可以是（ ） A. B. 3 C. D. 11. 已知双曲线，点在上，k为常数且. 按照如下方式依次构造点：过作斜率为k的直线与的左支交于点，令为关于y轴的对称点. 记的坐标为. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 数列是公比为等比数列 D. 设为的面积，则对任意正整数n， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列{an}满足. 若数列{an}的前三项依次构成等差数列，则______. 13. 已知，则最小值为________. 14. 已知函数，若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形，则实数k的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 汽车的前灯、探照灯、反射式的天文望远镜以及日常生活中使用的手电筒，它们的反光镜都是采用旋转抛物面，即抛物线绕对称轴旋转一周而成的曲面. 这种反光镜（抛物镜面）有一个很好的光学特性：把光源放在抛物线的焦点处，经镜面反射后的光线变成了与对称轴平行的光束.现用导数的几何意义来证明这个性质. 如图所示，不妨设抛物线的焦点为. （1）求抛物线上任一点处的切线的方程，其中是该切线与轴的交点. （2）证明：，并由此说明对于抛物镜面来说，从焦点出发的入射光线经镜面反射后的反射光线一定与该镜面的对称轴（轴）平行. 16. 中国铁路经过数十年的飞速发展，在高速铁路领域取得了重大突破.时至今日，全国铁路列车已经形成了一套完整的列车车次编号体系：普通旅客列车/普通旅客快车以数字编号（如1461次）；快速列车以K+数字编号（如K9521次）；特快列车以T+数字编号（如T236次）；直达特快列车以Z+数字编号（如Z27次）；城际列车以C+数字编号（如C2723次）；动车组列车以D+数字编号（如D9933次）；高铁列车以G+数字编号（如G3588次）；市郊旅客列车以S+数字编号（如S501次）；临时旅客列车以L+数字编号（如L7455次）；旅游列车以Y+数字编号（如Y965次）.为全面了解某市旅客出行需求，某机构在该市随机调查了200名旅客出行选择的列车等级，并得到了下列表格： 列车等级 CRH 普客 普快 快速 特快 直达特快 频数 54 27 38 42 18 21 说明：①CRH表示中国高速铁路，与普通速度列车区分，包括车次编号以“C”“D”“G”“S”开头的旅客列车； ②受限于列车开行安排，车次编号以“L”“Y”开头的旅客列车未列入统计. 用上表样本的频率估计概率，令等级为“普快”和“快速”的旅客列车统称为“常见普速列车”. 回答下列问题： （1）从参加调查的所有旅客中随机抽取3人，这3人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为X，求和； （2）据另一项调查显示，80%未选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将不会改变出行方式，60%选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将改变出行方式，求参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率. 17. 如图，在正三棱柱中，是中点，在棱上，且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数，其中正实数． （1）若，讨论在的单调性． （2）若，且方程在至少有一个根，求实数m的取值范围． 19. 经过课内的学习我们已经了解了函数的求导法则，通过这些求导法则我们可以对诸如函数求导. 但是对于一些特别的函数诸如，则难以利用普通的求导法则实现求导. 因此我们引入一个新的求导方法. 阅读下列例题： 例 求函数的导数：. 解 取对数得：等式两端同时对x求导，得，所以 上述例题的求导方法即为对数求导法. （1）直接写出函数的导数； （2）利用对数求导法求下列函数的导数： ①；②； （3）求函数的导数； （4）对数求导法之所以可用于函数求导，实际上是基于复合对数函数导数的特殊性质（其中且可导）. 请写出2个复合对数函数并求导，归纳得出复合对数函数导数的特殊性质，并证明该性质对于任意一个满足且可导的复合对数函数均成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$