模型突破13 放缩圆、旋转圆与平移圆 小专题讲义 -2025届高考物理二轮复习备考

2025届物理总复习·二轮·电磁小专题（共6篇） 02 放缩圆、旋转圆与平移圆 （一）放缩圆 模型：同种带电粒子从磁场中或磁场边界上的同一点，以方向相同、大小 不同的速度在磁场中开始运动，做轨道半径不同的匀速圆周运动，如图。 特征：速度越大，轨道半径越大，不同的轨迹圆相内切于开始运动的那个 公共点，轨迹圆的圆心共一条直线，这条直线与开始运动的速度方向垂直。 技法：以入射点P为定点（切点），不同的轨迹圆圆心位于直线PP′上，将 半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界或极值条件。 1．（放缩圆）如图所示，等边三角形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（包括边界处），三个完全相同的重力不计的带电粒子1、2、3以不同的速度由顶点a垂直bc方向射入磁场，结果粒子1、2、3分别从d、e、c点离开磁场，d、e为ac边的三等分点，不考虑三个粒子间的相互作用。 则下列说法正确的是（ ） A．粒子3的轨道半径大于三角形的边长 B．粒子1、2、3进入磁场的速度之比为1:2:3 C．离开磁场时，粒子3的偏转角最大、粒子1的偏转角最小 D．若仅将磁场的磁感应强度变为原来的1/3，粒子2从点c离开磁场 2．（放缩圆）如图所示，竖直平面内有一半径为R的圆形区域，其圆心为O，最高点为P，该区域内存在垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在圆形区域右侧竖直放置一粒子收集器，M、N为收集器上、下边缘的两点，MN与圆形区域在同一平面内，O与N在同一水平线上，MN＝R，ON＝R。从P点沿PO方向射入大量速率不等的同种粒子，粒子所带电荷量为q、质量为m。忽略粒子间的相互作用力和粒子重力，关于打在收集器MN上的粒子，下列说法正确的是（ ） A．粒子带负电 B．粒子在磁场中运动的最短时间为 C．打在收集器上的粒子的最小速率为 D．从P点到N点的粒子比从P点到M点的粒子运动时间短 （二）旋转圆 模型：同种带电粒子从磁场中或磁场边界上的 同一点，以大小相同、方向不同的速度在磁场中开 始运动，做轨道半径相同的匀速圆周运动，如图。 特征：轨迹圆的圆心共圆，运动轨迹随着开始 运动的速度方向不同而在磁场中旋转，这些轨迹共 点（开始运动的那个点为各轨迹的公共点），如图。 不同的轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上。 技法：以入射点P为定点（交点），不同的轨迹圆圆心位于同一个圆（图中虚线）上，该圆的半径和轨迹圆（图中实线）的半径相同，将轨迹圆的半径（直径）旋转，根据轨迹圆的圆心位置作轨迹圆，从而探索出临界或极值条件。 ( a b )3．（旋转圆）如图，真空室内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应 强度B＝0.30T。磁场内有一足够大的感光板ab，在离ab的距离l＝32cm 处有一个点状的α粒子放射源S，它在纸面内向各个方向发射α粒子，发射 速度大小都是v＝3.0×106m/s。已知α粒子的比荷＝5.0×107C/kg，不计粒 子的重力，则感光板ab上被α粒子打中区域的长度是 cm。 4．（旋转圆）如图所示，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、 二象限y≤L区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直 于纸面向外。在MN上O点放置了粒子发射源，能向第二象限发射 各个方向的速度的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、 电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板 上时均被挡板吸收，以下说法正确的是（ ） A．所有粒子做匀速圆周运动的半径均为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．所有粒子运动的区域面积为 D．所有粒子运动的区域面积为 （三）平移圆 模型：同种带电粒子进入磁场的速度大小、方向相同，但入射点 在同一直线上的不同位置，它们做匀速圆周运动的轨道半径相同，在 磁场中的轨迹向一边平移，如图。 特征：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径相同，轨迹 圆心在同一直线上沿该直线平移。 技法：保证轨迹圆圆弧的半径大小、朝向、圆心所在直线不变，将整个轨迹向一边平移作轨迹，但在磁场中最终的轨迹长短（或所对圆心角）可能受磁场边界的影响，根据切点、直径或半径的端点，或出磁场边界的顶点等等探究临界或极值条件。 5．（平移圆）如图所示为边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电 粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同 的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场（M点 未画出）。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所 用时间为t2（带电粒子重力不计），则t1∶t2为（ ） A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D.∶ 6．（平移圆）如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强 磁场，AC＝d，∠B＝30°，现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、 速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时 间为t，而在磁场中运动的最长时间为4t/3（不计重力和粒子间的相互作用）。 下列判断正确的是（ ） A．粒子做圆周运动的周期为t B．磁场的磁感应强度大小为 C．粒子运动的轨迹半径为 D．粒子运动的速度大小为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届物理总复习·二轮·电磁小专题（共6篇） 02 放缩圆、旋转圆与平移圆 （一）放缩圆 模型：同种带电粒子从磁场中或磁场边界上的同一点，以方向相同、大小 不同的速度在磁场中开始运动，做轨道半径不同的匀速圆周运动，如图。 特征：速度越大，轨道半径越大，不同的轨迹圆相内切于开始运动的那个 公共点，轨迹圆的圆心共一条直线，这条直线与开始运动的速度方向垂直。 技法：以入射点P为定点（切点），不同的轨迹圆圆心位于直线PP′上，将 半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界或极值条件。 ( a b c d e O 1 O 2 O 3 )1．（放缩圆）如图所示，等边三角形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（包括边界处），三个完全相同的重力不计的带电粒子1、2、3以不同的速度由顶点a垂直bc方向射入磁场，结果粒子1、2、3分别从d、e、c点离开磁场，d、e为ac边的三等分点，不考虑三个粒子间的相互作用。 则下列说法正确的是（ ） A．粒子3的轨道半径大于三角形的边长 B．粒子1、2、3进入磁场的速度之比为1:2:3 C．离开磁场时，粒子3的偏转角最大、粒子1的偏转角最小 D．若仅将磁场的磁感应强度变为原来的1/3，粒子2从点c离开磁场 【解析】 AC：粒子运动的轨迹如图所示：粒子由顶点a沿垂直于bc 边的方向射入磁场，进入磁场的瞬间粒子速度与ac边的夹角为 30°，在同一直线边界，根据对称性，可知粒子射出磁场是的 速度与ac边的夹角也为30°，因而运动轨迹所对应的圆心角为 60°，圆心，入射点以及出射点的连线构成等边三角形，可判 断出三个粒子的速度偏转角相等，粒子3的轨迹半径等于三角 形abc的边长，故AC错； B：假设三角形abc的边长为L，则粒子1，2，3的轨迹半 径r分别为L/3，2L/3，L，据洛伦兹力提供向心力，得r∝v，则速度之比为1:2:3，故B对； D：由，解得，若仅将磁场的磁感应强度变为原来的1/3，则粒子的轨迹半径变为原来的3倍，可知粒子2的轨迹半径变为2L，粒子2将从bc之间的某点离开磁场，故D错。 【答案】B 2．（放缩圆）如图所示，竖直平面内有一半径为R的圆形区域，其圆心为O，最高点为P，该区域内存在垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在圆形区域右侧竖直放置一粒子收集器，M、N为收集器上、下边缘的两点，MN与圆形区域在同一平面内，O与N在同一水平线上，MN＝R，ON＝R。从P点沿PO方向射入大量速率不等的同种粒子，粒子所带电荷量为q、质量为m。忽略粒子间的相互作用力和粒子重力，关于打在收集器MN上的粒子，下列说法正确的是（ ） A．粒子带负电 B．粒子在磁场中运动的最短时间为 C．打在收集器上的粒子的最小速率为 D．从P点到N点的粒子比从P点到M点的粒子运动时间短 【解释】 A：根据题意可知，粒子在磁场中向右偏转，根据左手定则可知，粒子带正电，A错 B：打到M、N两点的粒子轨迹如图所示，由图可知，粒子打到N点时，在磁场中的轨迹对应的圆心角最小，在磁场中的运动时间最小，则有，B错 C：由图可知粒子打到M点时，在磁场中的轨道半径最小，粒子 的速度最小，据几何关系得，则 最小半径，C错 D：由图可知，从P点到N点的粒子在磁场中的运动时间小于从P 点到M点的粒子在磁场中的运动时间；离开磁场到打到收集器，从P点到N点的粒子通过的位移小于从P点到M点的粒子通过的位移，从P点到N点的粒子的速度大于从P点到M点的粒子的速度，则从P点到N点的粒子从离开磁场到打到收集器所用时间小于从P点到M点的粒子从离开磁场到打到收集器所用时间，故从P点到N点的粒子比从P点到M点的粒子运动时间短，D对 【答案】D （二）旋转圆 模型：同种带电粒子从磁场中或磁场边界上的 同一点，以大小相同、方向不同的速度在磁场中开 始运动，做轨道半径相同的匀速圆周运动，如图。 特征：轨迹圆的圆心共圆，运动轨迹随着开始 运动的速度方向不同而在磁场中旋转，这些轨迹共 点（开始运动的那个点为各轨迹的公共点），如图。 不同的轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上。 技法：以入射点P为定点（交点），不同的轨迹圆圆心位于同一个圆（图中虚线）上，这个圆的半径和轨迹圆（图中实线）的半径相同，将轨迹圆的半径（直径）旋转，根据轨迹圆的圆心位置作轨迹圆，从而探索出临界或极值条件。 ( a b )3．（旋转圆）如图，真空室内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应 强度B＝0.30T。磁场内有一足够大的感光板ab，在离ab的距离l＝32cm 处有一个点状的α粒子放射源S，它在纸面内向各个方向发射α粒子，发射 速度大小都是v＝3.0×106m/s。已知α粒子的比荷＝5.0×107C/kg，不计粒 子的重力，则感光板ab上被α粒子打中区域的长度是 cm。 【解释】 α粒子带正电，在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径 由于R＜l＜2R，朝不同方向发射的α粒子运动的轨迹都过S点 某一轨迹圆在图中N点左侧与ab相切时，切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点 某一轨迹圆的直径SP2的端点P2处在ab上时，P2就是α粒子能打中的右侧最远点 ( a b N P 1 P 2 Q M )根据几何关系可得 所求长度为P1P2＝NP1＋NP2＝16cm＋24cm＝40cm 【答案】40cm 4．（旋转圆）如图所示，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、 二象限y≤L区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直 于纸面向外。在MN上O点放置了粒子发射源，能向第二象限发射 各个方向的速度的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、 电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板 上时均被挡板吸收，以下说法正确的是（ ） A．所有粒子做匀速圆周运动的半径均为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．所有粒子运动的区域面积为 D．所有粒子运动的区域面积为 【解释】 由洛伦兹力提供向心力解得，所以A对； 粒子在磁场中运动的最长时间为，所以B错； 所有粒子运动区域为图中阴影部分， 其面积（中间 树叶形面积，可用半圆面积减去一个等腰三角形面积），所以C错D对。 【答案】AD （三）平移圆 模型：同种带电粒子进入磁场的速度大小、方向相同，但入射点 在同一直线上的不同位置，它们做匀速圆周运动的轨道半径相同，在 磁场中的轨迹向一边平移，如图。 特征：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径相同，轨迹 圆心在同一直线上沿该直线平移。 技法：保证轨迹圆圆弧的半径大小、朝向、圆心所在直线不变，将整个轨迹向一边平移作轨迹，但在磁场中最终的轨迹长短（或所对圆心角）可能受磁场边界的影响，根据切点、直径或半径的端点，或出磁场边界的顶点等等探究临界或极值条件。 5．（平移圆）如图所示为边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电 粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同 的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场（M点 未画出）。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所 用时间为t2（带电粒子重力不计），则t1∶t2为（ ） A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D.∶ 【解释】 画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移， 粒子做圆周运动的半径为R＝L，从C点射出的粒子运动时间为t1＝T/4；由P点 运动到M点，可求得轨迹圆心角θ＝60°，在磁场中的运动时间t2＝T/6。所以 ，C正确。 【答案】C 6．（平移圆）如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强 磁场，AC＝d，∠B＝30°，现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、 速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时 间为t，而在磁场中运动的最长时间为4t/3（不计重力和粒子间的相互作用）。 下列判断正确的是（ ） A．粒子做圆周运动的周期为t B．磁场的磁感应强度大小为 C．粒子运动的轨迹半径为 D．粒子运动的速度大小为 【解释】 A：垂直于AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T/4，则T＝4t，A错 B：，故B对 C：运动时间最长的粒子，轨迹圆与BC边相切 ( r r 2 r r /2 30 ° )运动时间为，则轨迹圆心角为120° 设轨道半径为r，易得，C错 D．运动T/4时间为t，则运动速度，D对 【答案】BD ( 甲 乙 )7．（放缩圆+旋转圆）如图中虚线所示的圆形区域内有垂直于纸面的匀强 磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点， 在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界 的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在 三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1为（ ） A．∶2 B．∶1 C．∶1 D．3∶ 【解释】 根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的 位置距P点最远，则当粒子射入的速率为v1，轨迹如图甲所示，设圆形磁场半径 为R，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为； 若粒子射入的速率为v2，轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的轨 道半径为； 据轨道半径公式，则v2∶v1＝r2∶r1＝∶1，故C正确。 【答案】C ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$