第十章 二元一次方程组（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版2024）

第10章 二元一次方程（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．若是二元一次方程的一个解，则m的值为(   ) A． B． C．1 D． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 3．两个单项式与的和是一个单项式，点到横轴的距离是（    ） A．1 B．3 C．7 D．2 4．A，B两个容器分别盛有部分液体，容器的底部分别有一个出水口，若从A中取出20升倒入B中，再打开两容器的出水口，放完液体，B需要的时间是A的2倍．若将A中液体全部倒入B容器，并打开B容器的出水口，10分钟可以放完．若将B中液体全部倒入A容器，并打开A容器的出水口，15分钟可以放完．设开始时，A，B两容器中液体体积分别为升、y升．下面是甲、乙、丙三位同学的分析： 甲：从A中取出20升倒入B中后，B中液体是A中液体的2倍； 乙：A出水口的液体流速是B出水口液体流速的； 丙：，y之间满足关系式：． 其中分析正确的是（   ） A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙丙 5．如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（   ） A．65 B．70 C．72 D．75 6．已如方程组和有相同的解．则的值是（    ） A．-1 B．1 C．5 D．13 7．方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 8．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足，则该长方形的面积为（       ）cm2 A． B． C．15 D．16 9．用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值有可能是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 10．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①，； ②若，则； ③若，则m，n有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若对任意有理数，都成立，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．已知x＝3m＋1，y＝1＋9m2，则用x的代数式表示y，结果为 ． 12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中一道题的原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为 ． 13．若关于x、y方程的解满足，以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ． 14．已知关于，的方程组的解是则关于，的方程组的解是 ． 15．已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ． 16．王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为 ．（每个组人数大于1人） 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）运用适当的方法解方程组： (1)(2) 18．（8分）解方程组：． 19．（8分）【探究】 在平面直角坐标系中，把方程的解中的x和y值分别作为点的横、纵坐标，请完成表格信息，并在坐标系中描出对应点． x … 0 1 ①________ … y … ②________ 4 3 2 … 【发现】过这些点中的任意两点画直线，你有什么发现？ 【归纳】以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 【应用】二元一次方程的图象上有两个点分别为，，请求出这个二元一次方程． 20．（8分）为了迎接湖南省第二届旅发大会，我市各景区准备新增5000个停车位，用以解决景区停车难的问题．已知新建3个地上停车位和2个地下停车位共需0.8万元；新建2个地上停车位和4个地下停车位共需1.2万元． (1)求新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？ (2)有关部门计划投资950万元用于建造这5000个停车位，请问可以建造地上停车位和地下停车位各多少个？ 21．（8分）对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 22．（10分）已知，平面直角坐标系中，点在x轴负半轴上，点在y轴正半轴上，且，满足方程组，点． (1)如图1，求A，B的坐标； (2)如图2，点在线段上，满足，连接，，设的面积为，试用含的式子表示； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，求点的坐标． 23．（10分）欲在教室里添置一些消毒洗手物资，张老师想请班里的同学去商店里看看，利用所学的数学知识，通过计算合理的为班里采购一些消毒洗手物资． 素材一 某商店有规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种瓶装免洗手消毒液和洗手液套装礼盒（一瓶甲一瓶乙）出售，另外也有袋装洗手液（100ml/袋）出售．具体价格如下： 瓶装洗手价格 甲300ml 乙500ml 套装礼盒 21元/瓶 27.5元/瓶 50元/套 袋装洗手液价格 单次购买数量（袋） 不超过 20袋 20袋以上 但不超过40袋 40袋 以上 价格（元/袋） 7元 5元 4元 任务一：请你帮张老师计算一下若购买瓶装洗手液，购买那种更合算 　 　； 素材二 教室里还需要添置消毒洗手液50袋，现可支出班费264元．为节约成本，张老师决定购买袋装免洗手消毒液进行分装，由于商店备货不足，张老师第一次只买回了少部分袋装洗手液临时使用． 任务二：若剩余班费全部用于购买消毒洗手液．请您帮忙计算第二次还可买多少袋？ （第二次购买量大于第一次购买量．） 素材三 新购买的消毒洗手液与原班里库存的共9600ml．现需将这些免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml， 任务三：请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量． 24．（12分）阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足，就称点为“爱心点”． (1)判断点是否为“爱心点”，并说明理由； (2)若点是“爱心点”，请求出a的值； (3)已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求p，q的值． 25．（14分）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 二元一次方程（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．若是二元一次方程的一个解，则m的值为(   ) A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：A、该方程组中的第一个方程是分式方程，故该选项错误； B、第一个方程中的是二次的，故该选项错误； C、该方程组中有三个未知数，故该选项错误； D、该方程组符合二元一次方程组的定义，故该选项正确． 故选：D． 3．两个单项式与的和是一个单项式，点到横轴的距离是（    ） A．1 B．3 C．7 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项和点的坐标，解二元一次方程组，根据同类项定义列出二元一次方程组，求出字母的值即可判断． 【详解】解：因为两个单项式与的和是一个单项式， 所以这两个单项式是同类项，， 解得，， 所以点到横轴的距离是1， 故选：A． 4．A，B两个容器分别盛有部分液体，容器的底部分别有一个出水口，若从A中取出20升倒入B中，再打开两容器的出水口，放完液体，B需要的时间是A的2倍．若将A中液体全部倒入B容器，并打开B容器的出水口，10分钟可以放完．若将B中液体全部倒入A容器，并打开A容器的出水口，15分钟可以放完．设开始时，A，B两容器中液体体积分别为升、y升．下面是甲、乙、丙三位同学的分析： 甲：从A中取出20升倒入B中后，B中液体是A中液体的2倍； 乙：A出水口的液体流速是B出水口液体流速的； 丙：，y之间满足关系式：． 其中分析正确的是（   ） A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙丙 【答案】C 【分析】根据题意得出A容器的流速是B容器流速的，然后列出相应关系式即可． 【详解】解：∵若将A中液体全部倒入B容器，并打开B容器的出水口，10分钟可以放完，若将B中液体全部倒入A容器，并打开A容器的出水口，15分钟可以放完， ∴A容器的流速是B容器流速的， ∴相同时间流出的液体，A容器是B容器的， ∴，整理得， 故选C． 【点睛】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． 5．如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（   ） A．65 B．70 C．72 D．75 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．先根据图形可得，将两个方程相加求解即可得． 【详解】解：由图可知，， ①②得：， 则， 解得， 故选：D． 6．已如方程组和有相同的解．则的值是（    ） A．-1 B．1 C．5 D．13 【答案】A 【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：根据题意，则 ， 由①+②得：6x=6， 解得：x=1， 把x=1代入①得：5+2y=3， 解得：y=-1； 把x=1，y=-1代入，则， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，根据题意能联立新的方程组求解出二元一次方程的解是解题的关键． 7．方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【详解】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 8．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足，则该长方形的面积为（       ）cm2 A． B． C．15 D．16 【答案】A 【分析】先根据题意求出，然后由可得，由此求解即可． 【详解】解：∵长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm， ∴， ∴①， ∵， ∴， ∴， ∴②， 联立①②解得， ∴长方形的面积， 故选A． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 9．用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值有可能是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒y个，由所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再由x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可． 【详解】解：设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒为y个， 根据题意得：， 整理得：m+n＝5（x+y）， ∵x、y都是正整数， ∴m+n是5的倍数， ∵2020、2021、2022、2023四个数中只有2020是5的倍数， ∴m+n的值可能是2020． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①，； ②若，则； ③若，则m，n有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若对任意有理数，都成立，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程（组），由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可确定（3）正确；根据，得出或，可确定（4）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，可确定（5）正确． 【详解】解：， ， 解得，故（1）正确； ， ， ， ， ，故（2）正确； 、均取整数， ，，， ∴，，（舍去），（舍去），（舍去），（舍去） ∴m，n有2组整数解，故（3）正确； ∵，无论取何值时，的值均不变， ， ∴或，故（4）不正确； ， ， ， 对任意有理数、都成立， ，故（5）正确； 综上所述：（1）（2）（3）（5）正确， 故选：C． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．已知x＝3m＋1，y＝1＋9m2，则用x的代数式表示y，结果为 ． 【答案】y＝x2﹣2x＋2 【分析】根据x＝3m＋1得，，然后将其代入y＝1＋9m2即可． 【详解】解：∵x＝3m＋1， ∴3m＝x﹣1， ∴y＝1＋9m2， ＝1＋（3m）2 ＝1＋（x﹣1）2 ＝1＋x2﹣2x＋1 ＝x2﹣2x＋2， 故答案为：y＝x2﹣2x＋2． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，根据题意考虑整体代入法会使计算变得简便． 12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中一道题的原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为 ． 【答案】． 【分析】设有人，辆车，根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：设有人，辆车． 每辆车乘坐3人，则空余两辆车，坐满人的车数为（y-2），总人数3（y-2）人，可得x=3(y-2)， 若每辆车乘坐2人，则有9人步行，车上人数为2y人，总人数为（2y+9）人，可得x=2y+9， 列方程组得． 故答案为． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 13．若关于x、y方程的解满足，以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，三角形的面积和代数式求值，解决本题的关键是利用整体替换思想．先求出y的值，再根据该图案的面积等于一个长方形的面积加上两个平行四边形的面积再减去一个三角形的面积，据此列出代数式，再把x，y分别用a和数值替换进行化简即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得方程组： ， 解得：， 该图案的面积为： ， 故答案为：． 14．已知关于，的方程组的解是则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据根据二元一次方程组的解的定义可得的解为，进而得出答案，熟练掌握换元思想是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组的解是， ∴关于，的方程组即的解为， ∴， 故答案为：． 15．已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次方程等知识点，由及、为正整数得出或或是解题的关键． 由①可得，由、为正整数可得或或，进而得出方程组的正整数解，然后代入方程②即可求出的值． 【详解】解：， 由①可得：， ∵、为正整数， ∴或或， ∴或或， 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 16．王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为 ．（每个组人数大于1人） 【答案】13 【分析】本题主要考查了方程的应用，分类讨论思想， 先设第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，可得，再根据已知得，然后从讨论，进而得出答案． 【详解】解：设期末考试第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，则， 即， ∴． ∵为正整数，， ∴． 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴或或， ∴； 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴不符合题意，舍去． 随着的值的减小，的值不断增大，不符合题意． 故答案为：13． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）运用适当的方法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解此题的关键． （1）先将方程组进行整理，再利用加减消元法计算即可得解； （2）先将方程组进行整理，再利用加减消元法计算即可得解． 【详解】（1）解：方程组整理，得， ，得， 即． 将代入①，得， 即， 则方程组的解为； （2）解：方程组整理，得 ，得， 即． 将代入①，得， 则方程组的解为． 18．（8分）解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 方程组前两个方程相加消去得到与的方程，与第三个方程联立求出与的值，进而求出的值即可． 【详解】解： ①②得：④， ④③得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， 则方程组的解为． 19．（8分）【探究】 在平面直角坐标系中，把方程的解中的x和y值分别作为点的横、纵坐标，请完成表格信息，并在坐标系中描出对应点． x … 0 1 ①________ … y … ②________ 4 3 2 … 【发现】过这些点中的任意两点画直线，你有什么发现？ 【归纳】以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 【应用】二元一次方程的图象上有两个点分别为，，请求出这个二元一次方程． 【答案】探究：①2，②5，作图见解析；发现：过这些点中的任意两点画直线，所有的点都在同一条直线上；应用： 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解及其直线方程的图象，题目比较长，要注意耐心解答，解答的关键是掌握二元一次方程图像的画法． 探究：将，，分别代入，即可求解，再根据横纵坐标作图即可； 发现：根据探究所作的图形即可解答； 应用：将，，代入二元一次方程，得关于，的方程组即可求解． 【详解】解：探究：当时，，解得：， 当时，，解得：， 故答案为：①2，②5； 在坐标系中描出对应点，如图： 发现：过这些点中的任意两点画直线，所有的点都在同一条直线上； 应用：∵二元一次方程的图象上有两个点分别为，， ∴， 解得：， ∴这个二元一次方程为． 20．（8分）为了迎接湖南省第二届旅发大会，我市各景区准备新增5000个停车位，用以解决景区停车难的问题．已知新建3个地上停车位和2个地下停车位共需0.8万元；新建2个地上停车位和4个地下停车位共需1.2万元． (1)求新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？ (2)有关部门计划投资950万元用于建造这5000个停车位，请问可以建造地上停车位和地下停车位各多少个？ 【答案】(1)新建1个地上停车位需万元，新建1个地下停车位需万元 (2)可以建造地上停车位个，地下停车位个 【分析】（1）根据等量关系式：新建个地上停车位的费用个地下停车位的费用万元，新建个地上停车位的费用个地下停车位的费用万元，列出方程组，即可求解； （2）根据等量关系式：建造地上车位的个数建造地下车位的个数，建造地上车位的费用建造地下车位的费用万元，列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设新建1个地上停车位需万元，新建1个地下停车位需万元，由题意得 ， 解得：， 答：新建1个地上停车位需万元，新建1个地下停车位需万元． （2）解：设建造地上停车位个，地下停车位个，由题意得 ， 解得：， 答：可以建造地上停车位个，地下停车位个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键． 21．（8分）对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了新运算、二元一次方程组的解法、二元一次方程的正整数解，解决本题的关键是把规定的新运算转化为一般的方程组，通过解方程组求出字母的值． 把和分别代入，可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可； 由可知，可得：、，根据，可得关于、的方程组，整理可得，再根据、为正整数，分情况讨论确定于、的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， 可得方程组:， 得：， 解得， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为：， 的值为，的值为； （2）解：把，代入， 可得：， ， ， 原方程可化为， 整理得：， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，； 当时，为负数，不符合题意，舍去； 方程的正整数解为． 22．（10分）已知，平面直角坐标系中，点在x轴负半轴上，点在y轴正半轴上，且，满足方程组，点． (1)如图1，求A，B的坐标； (2)如图2，点在线段上，满足，连接，，设的面积为，试用含的式子表示； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）解方程组得的值，进而可得的点坐标； （2）根据题意分别求出，然后根据求表达式即可； （3）由题意知 ，即，整理列方程组，解方程组可得的值，进而可得点坐标． 【详解】（1）解：， 解得， ∴， （2）解： ，， 又， ∴ ， ∴； （3）解： ， ， ， ∴， 解得，， ． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，三元一次方程组等知识．解题的关键在于正确的进行运算求解． 23．（10分）欲在教室里添置一些消毒洗手物资，张老师想请班里的同学去商店里看看，利用所学的数学知识，通过计算合理的为班里采购一些消毒洗手物资． 素材一 某商店有规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种瓶装免洗手消毒液和洗手液套装礼盒（一瓶甲一瓶乙）出售，另外也有袋装洗手液（100ml/袋）出售．具体价格如下： 瓶装洗手价格 甲300ml 乙500ml 套装礼盒 21元/瓶 27.5元/瓶 50元/套 袋装洗手液价格 单次购买数量（袋） 不超过 20袋 20袋以上 但不超过40袋 40袋 以上 价格（元/袋） 7元 5元 4元 任务一：请你帮张老师计算一下若购买瓶装洗手液，购买那种更合算 　 　； 素材二 教室里还需要添置消毒洗手液50袋，现可支出班费264元．为节约成本，张老师决定购买袋装免洗手消毒液进行分装，由于商店备货不足，张老师第一次只买回了少部分袋装洗手液临时使用． 任务二：若剩余班费全部用于购买消毒洗手液．请您帮忙计算第二次还可买多少袋？ （第二次购买量大于第一次购买量．） 素材三 新购买的消毒洗手液与原班里库存的共9600ml．现需将这些免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml， 任务三：请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量． 【答案】乙更合算； 第二次还可以购买洗手液36袋； 故分装时需要的空瓶4瓶，的空瓶16瓶，才能使总消耗最小 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的实际应用，二元一次方程组的应用，以及二元一次方程的应用． （1）分别计算甲和乙每的费用，比较大小即可得出答案． （2）设第一次购买洗手液x袋，第二次购买洗手液y袋，根据袋装洗衣液不同数量的不同价格分三种情况，列出对应的二元一次方程组，解方程组并结合题意可得出正确答案． （3）设分装时需和的两种空瓶中分别为m瓶和n瓶，根据题意列出二元一次方程并求出整数解，再结合总消耗最小，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵甲：（元/） 乙：（元/） ∴， ∴乙便宜． 故答案为：乙更合算． （2）设第一次购买洗手液x袋，第二次购买洗手液y袋， 当时，有， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，有， 解得：， 当时，有， 方程组无解． ∴第二次还可以购买洗手液36袋． （3）设分装时需和的两种空瓶中分别为m瓶和n瓶． 依题意得：， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴或， ∵要使分装时总消耗最小， ∴ 故分装时需要的空瓶4瓶，的空瓶16瓶，才能使总消耗最小． 24．（12分）阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足，就称点为“爱心点”． (1)判断点是否为“爱心点”，并说明理由； (2)若点是“爱心点”，请求出a的值； (3)已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求p，q的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查定义新运算，点的坐标，解二元一次方程组： （1）根据“爱心点”的定义，进行判断即可； （2）根据“爱心点”的定义，列出方程组进行求解即可； （3）先解方程组，根据是“爱心点”，列出关于的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：不是爱心点，理由如下： 当时，则：， ∴， ∴， ∴不是爱心点； （2）∵是爱心点， ∴且， ∴，代入，得：， 解得：； （3）解，得：， ∵是“爱心点”， ∴且， ∴，代入，得： ∴， ∵均为有理数， ∴，． 25．（14分）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：（1）画出图形，即可求解； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可； 任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可． 【详解】解：任务一： （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块， 根据题意得：， ， ，为正整数， 或或， 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板16块和座板4块． 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； 任务二： 设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块， 根据题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$