精品解析：辽宁省铁岭市铁岭县2024-2025学年九年级上学期期末测试数学试卷

2024~2025学年度 (上) 期末质量监测 九年级数学试卷 考试时间120分钟，试卷满分120分． 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据中心对称图形和轴对称图形的定义一一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 床前明月光 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 黄河入海流 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的定义逐一判断即可：在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件． 【详解】解：A、床前明月光是随机事件，不符合题意； B、大漠孤烟直是随机事件，不符合题意； C、手可摘星辰是不可能事件，不符合题意； D．黄河入海流是必然事件，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了事件的分类，熟知必然事件的定义是解题的关键． 3. 已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，再由反比例函数图象的性质得到在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数图象上的点横纵坐标一定满足其解析式， ∴在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为， A、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； B、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； C、，该点在反比例函数的图象上，符合题意； D、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：C． 4. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法计算即可． 【详解】 故选A． 【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC． ∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE， ∴∠ACD=90°-20°=70°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC+∠EDC=180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°， ∴∠ADC=∠E+20°， ∵∠ACE=90°，AC=CE ∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45° 在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， 即45°+70°+∠ADC=180°， 解得：∠ADC=65°， 故选C． 【点睛】此题考查旋转性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答． 6. 如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示： ∵正六边形内接于， ∴∠COD= =60°，则∠COE=120°， ∴∠CME= ∠COE=60°， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键． 7. 如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】因为为⊙的直径，可得，，根据圆内接四边形的对角互补可得的度数，即可选出答案． 【详解】∵为⊙的直径， ∴， 又∵， ∴， 又∵四边形内接于⊙， ∴， ∴， 故答案选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键． 8. 已知，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为，再根据抛物线的增减性以及对称性可得，，的大小关系． 【详解】二次函数， 对称轴为， ， 时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ，，在二次函数的图象上，且，， ． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 9. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据“今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元”即可列出方程． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，由题意可得 ， 故选：B 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 10. 我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小明同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，结合函数图象逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：①，和都满足，故①正确； ②从函数图象可得图象具有对称性，对称轴为直线，故②正确； ③根据函数图象可得，当或时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确； ④当或时，函数的最小值是0，故④正确； ⑤由图象可得，当时，不是函数的最大值，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 第二部分非选择题(共90分) 二、填空题：(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了根与系数关系．设另一个根为，根据根与系数关系得到，即可求出另一个根． 【详解】解：设另一个根为， ∵是一元二次方程的一个根， ∴ 解得， 故答案为： 12. 在的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为_______ 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，勾股定理的逆定理，先将第三枚棋子可能落在其余四个位置的格点位置找到．再找出与已知格点构成直角三角形的3种情况，然后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，第三枚棋子一共有A，B，C，D四个位置可以放置，其中能与已知两枚棋子构成直角三角形的点是B、C、D三个点， ∴以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为， 故答案为：． 13. 若正方形的边长为6cm，则其外接圆半径是___________ cm. 【答案】3 【解析】 【分析】根据垂径定理，正方形的性质，构造直角三角形，用勾股定理解题即可. 【详解】如图所示：作OE⊥BC， ∵四边形ABCD是O的内接正方形， ∴∠OBE=45°，而OE⊥BC， ∴BE=CE， ∴EB=OE=3， ∴BO=3. 故其半径等于3. 故答案为3. 【点睛】本题考查多边形与圆.构造直角三角形是解题的关键. 14. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度，则抛物线的表达式为___ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，运用待定系数法求解析式是解题的关键． 由题意得设抛物线的表达式为，将代入即可求解． 【详解】解：∵水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m， ∴设抛物线的表达式为， ∵测得喷水头P距地面0.7m， ∴将代入 得：， 解得：， ∴解析式为：， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可； 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第一象限， ， ， ，， ， ， 双曲线经过B， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：(本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 解下列方程∶ （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 或 ； 【小问2详解】 ． 17. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________． （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案； （2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种， 所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种， 所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为． 【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的，并求出边扫过的面积． 【答案】（1）画图见解析，点的坐标分别为 （2）画图见解析，边扫过的面积为 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的作法以，旋转作图及扇形面积，解题的关键是掌握基本的作图方法并熟知中心对称图形与旋转的概念． （1）根据中心对称图形的概念即可作出图形，求出对应点坐标； （2）根据旋转作出旋转后的图，利用勾股定理求出的长，由边扫过的面积为扇形的面积，利用扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求， 点的坐标分别为； 【小问2详解】 解：如图所示，为所求； ，旋转角， 边扫过的面积为扇形的面积， 边扫过的面积为． 19. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）当时，x的范围为 ． 【答案】（1） （2）4 （3）或 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，数形结合求不等式的解集，难点是根据图形面积的和差来求的面积． （1）将点代入反比例函数表达式可求出，进而可得反比例函数表达式，再将代入已求出反比例函数表达式求出，进而得点，然后再将点，代入一次函数的表达式可求出，，进而可得一次函数的表达式； （2）先求出点，可得，然后根据即可得出答案； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 将点代入，得：， 反比例函数的表达式为：， 将代入，得：， 点的坐标为， 将，代入， 得：，解得：， 一次函数的表达式为：． 【小问2详解】 对于，当时，， 点， ， ； 【小问3详解】 由图象可知，当时，的范围为或． 故答案为：或． 20. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法列方程组求一次函数解析式． （2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解． （3）总利润=单件利润销售量：w＝(x-20)(-2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值． 【详解】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b． 把(22，36)与(24，32)代入，得 解得， ∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）． (2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元， 根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150． 解得x1＝25，x2＝35(舍去)． 答：每本纪念册的销售单价是25元． (3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200． ∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大， ∴当x＝28时，w最大＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)． 答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的求法，列一元二次方程并求解，再根据二次函数的求最值问题，这是一道综合题，解题的关键是能读懂题意，找到关键点． 21. 如图①，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用． 如图②所示为从独轮车中抽象出来的几何模型． 在 中，以 的边为直径作， 交于点 P，， 且， 垂足为点 D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求弧的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角并结合已知可得出，则可证明，再关键平行线的性质得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据圆周角定理求出，证明是等边三角形，得出，在中，根据含角的直角三角形的性质求出，最后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，如图， ， ， ， 为等边三角形， ， 由（1）得， ， ， ， ∴弧的长． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，弧长公式等知识，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 22. 如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 （1）如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】 （2）当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 （3）若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 【答案】（1）等边三角形 （2）等边三角形，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，，利用平行线的性质，得到，，，从而推出，最后判定三角形为等边三角形； （2）连接，交分别、于点、，同理可证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，，得到是等腰三角形，最后联合平行线的性质，得到，从而判定三角形为等边三角形； （3）连接、，同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形有，设，则，，先判定是直角三角形，，取的中点，连接，通过，推出，即此时在边上，那么；连接、，同①，可证是直角三角形，，，此时在边上，可得到． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 、、三点共线 ，， 是等边三角形 故答案为：等边三角形． 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下， 如下图，连接，交分别、于点、， ， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 ，， 点在线段的延长线上 ，即 ， 是等腰三角形 又， 是等边三角形 【小问3详解】 解：①如下图，连接、 同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形 有 设，则， 是直角三角形， 取的中点，连接 此时边上 ②如下图，连接、 同①，可证是直角三角形，， 此时在边上 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上知识点，构建合适的辅助线是解题的关键． 23. 我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如二次函数 的图象上，存在一点，则点为二次函数 图象上的“互反点”． （1）分别判断 ，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标； 如果不存在，请说明理由． （2）设函数 ，图象上的“互反点”分别为，，过点作 轴，垂足为点，当 的面积为4时，求的值． （3）若二次函数的图象上有且只有一个“互反点”． ①求该二次函数的表达式； ②当时，二次函数 的最小值为 ，最大值为0，求的取值范围． 【答案】（1） （2）4或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据定义将代入方程，解方程判断即可； （2）同（1）先求得“互反点”、，得到，利用，解方程即可得到答案； （3）①把代入得，根据题意可知二次函数的图象与直线有且只有一个交点，利用，得到方程解之得到值，即可得到解析式；②将①得到的解析式化为顶点式，得到其对称轴和最小值，再求得其与轴的两个交点坐标，即可判断出的取值范围． 【小问1详解】 解：函数的图象上存在“互反点”． 根据题意，得：， 解得： 函数的图象上“互反点”的坐标为 函数的图象上存在“互反点”． 根据题意，得： 解得：， 函数的图象上“互反点”的坐标为． 【小问2详解】 解：在函数中，令， 解得：（负值已舍去）， ， 函数中，令， 解得：， ， ， ， ，解得：或；或无解． 的值为4或． 【小问3详解】 解：①根据题意，把代入得， ． 函数图象上的“互反点”必在直线上， 二次函数的图象上有且只有一个“互反点”， 也就是二次函数的图象与直线有且只有一个交点， 即，有且仅有一个解， 联立方程组整理，得：， 由， 解得：，， 该二次函数的表达式为． ②， 其图象的对称轴为直线，最小值为， 当时，，解得：或 二次函数图象与轴交点的坐标为和， 当时，二次函数的最小值为，最大值为0． 的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点，理解新定义并熟练应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度 (上) 期末质量监测 九年级数学试卷 考试时间120分钟，试卷满分120分． 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中是必然事件是（ ） A. 床前明月光 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 黄河入海流 3. 已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，下列配方结果正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 6. 如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 8. 已知，，在二次函数图象上，则，，的大小关系正确的是　　 A. B. C. D. 9. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小明同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分非选择题(共90分) 二、填空题：(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根为________． 12. 在的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为_______ 13. 若正方形的边长为6cm，则其外接圆半径是___________ cm. 14. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度，则抛物线的表达式为___ 15. 如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 _____． 三、解答题：(本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 解下列方程∶ （1）； （2）． 17. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________． （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的，并求出边扫过的面积． 19. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）当时，x的范围为 ． 20. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图①，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用． 如图②所示为从独轮车中抽象出来的几何模型． 在 中，以 的边为直径作， 交于点 P，， 且， 垂足为点 D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求弧的长． 22. 如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 （1）如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】 （2）当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 （3）若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 23. 我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如二次函数 的图象上，存在一点，则点为二次函数 图象上的“互反点”． （1）分别判断 ，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标； 如果不存在，请说明理由． （2）设函数 ，图象上“互反点”分别为，，过点作 轴，垂足为点，当 的面积为4时，求的值． （3）若二次函数的图象上有且只有一个“互反点”． ①求该二次函数的表达式； ②当时，二次函数 的最小值为 ，最大值为0，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $