精品解析：江苏省南通市海安市2024-2025学年高三下学期期初学业质量监测数学试题

江苏省南通市海安市2025届高三下学期期初学业质量监测数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，（ ） A. B. C. D. 4. 已知钝角x满足：，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 为推广新能源汽车，某地区决定对续航里程达到一定标准的新能源汽车进行补贴.已知某品牌新能源汽车的续航里程单位：服从正态分布补贴政策为：续航里程不低于350km的车辆补贴2万元，超过450km的车辆额外再补贴1万元，则该品牌每辆新能源汽车的平均补贴金额约为（ ）附：若，则 A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 7. 已知函数的极大值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 设圆上两点,满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 为研究某种树的树高和胸径的关系，某人随机测量了10棵该品种树的胸径单位：和树高单位：的数据，已知其中一组数据为，且，求得回归方程为，并绘制了如下残差图，则（ ） A. 由残差图可判定树高与胸径的关系符合上述回归模型 B. 该种树的平均树高约为 C. 数据对应的残差为 D. 删除一组数据后，重新求得的回归直线的斜率变小 10. 已知函数，则（ ） A. 的零点为 B. 在上的最大值与最小值之和为0 C. 直线是的图象的一条对称轴 D. 0是函数的极小值点 11. 如图所示的曲线C过原点O，且C上的任意一点到定点的距离与到直线的距离之积为4，则（ ） A. B. C恰好经过3个整点即横、纵坐标均为整数的点 C. C上存在两点关于直线对称 D. C与圆交点的个数为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 今有2只红球、3只黄球，同色球不加以区分，将这5只球排成一列，有______种不同的方法（用数字作答）． 13. 已知是上的奇函数，当时，，过原点O作两条互相垂直的直线，其中一条与的图象相切于点A，C，另一条与的图象相交于点B，D，则四边形ABCD的面积为__________. 14. 将棱长为1的正方体沿对角面，，同时切开后，共得到__________个多面体，其中一个多面体的体积为__________只需写出一种结果 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，记a，b，c分别为角A，B，C的对边.已知 （1）若，求 （2）若，求 16. 如图，在三棱锥中，，，平面ABC，H为垂足，D为AC的中点. （1）证明：平面 （2）若，，求二面角的正弦值. 17. 一批产品共16件，有2件不合格品，随机分装到两只箱中，每箱8件.收货方不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接收这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒收整批产品;如果抽检的第1件产品合格，则从另一箱中再抽检1件，若合格，则接收整批产品，否则拒收整批产品. （1）求2件不合格品包装在同一只箱中的概率; （2）求这批产品被拒收的概率. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为A，B，且 （1）求的方程; （2）直线l与的左、右两支分别交于点C，D，记直线BC，BD的斜率分别为，，且 （i）求证：直线l过定点; （ii），直线OP与BD交于点Q，判断并证明直线AQ与BC的位置关系. 19. 已知曲线， （1）若，与在公共点处的切线重合，求 （2）若与相交于A，在B的左侧两点，记直线AB的斜率为 （i）求证： （ii）若，设，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市海安市2025届高三下学期期初学业质量监测数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式，再根据集合的交集的定义计算即可. 【详解】解：，得，，或； 或，又 ， 故选： 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算求解即可. 【详解】因为， 所以 故选：A. 3. 已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到，从而有时， ，时， ，即可求解. 【详解】因为，公比 ，则， 所以当时，；当时，， 又是数列的前项积，则当时， 取得最大值， 故选：B. 4. 已知钝角x满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，结合为钝角，可求得或，进而两边平方可求得. 【详解】由，得， 为钝角，则，则， 或舍， ，得， 即 故选：C. 5. 已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的意义及数量积的运算律求解即得. 【详解】由非零向量在向量上的投影向量为，得，则，而， 因此，所以. 故选：A 6. 为推广新能源汽车，某地区决定对续航里程达到一定标准的新能源汽车进行补贴.已知某品牌新能源汽车的续航里程单位：服从正态分布补贴政策为：续航里程不低于350km的车辆补贴2万元，超过450km的车辆额外再补贴1万元，则该品牌每辆新能源汽车的平均补贴金额约为（ ）附：若，则 A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布分别求出和时的概率，再根据数序期望公式求解. 【详解】由题意，得， ， 则该品牌每辆新能源汽车的平均补贴金额约为万元. 故答案为：C 7. 已知函数的极大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助导数，判定函数单调性，再结合极大值为，求，验证即可. 【详解】解：由题意，， 则， 令，解得或， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，解得， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，不符合题意， 当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意， 综上所述，. 故选：D. 8. 设圆上两点,满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，得，利用三角恒等变换可得，结合三角函数值的有界性，可得，进而计算可求解. 【详解】设 由， 可得， 即， 即， 因为， 所以， 又， 所以， 即， 所以，， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用三角代换，结合三角函数的有界性求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 为研究某种树的树高和胸径的关系，某人随机测量了10棵该品种树的胸径单位：和树高单位：的数据，已知其中一组数据为，且，求得回归方程为，并绘制了如下残差图，则（ ） A. 由残差图可判定树高与胸径的关系符合上述回归模型 B. 该种树的平均树高约为 C. 数据对应的残差为 D. 删除一组数据后，重新求得的回归直线的斜率变小 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：分析残差图判断模型拟合程度，且集中在0附近，所以由残差图可判定树高与胸径的关系符合上述回归模型，判定的即可；对于B：根据回归方程经过样本中心，代入计算即可；对于C：运用残差概念，计算残差即可；对于D：分析删除一组数据对回归直线斜率的影响即可. 【详解】解：对于A：分析残差图判断模型拟合程度，由残差图可知，残差分布比较均匀，且集中在0附近，所以由残差图可判定树高与胸径的关系符合上述回归模型，选项 A正确； 对于B：已知，则样本中心点的横坐标，将代入回归方程，可得，所以该种树的平均树高约为，选项B正确； 对于C：计算数据对应的残差，当时，，残差为，选项C正确； 对于D：分析删除一组数据对回归直线斜率的影响，删除数据后，因为大于样本中心点的横坐标，且小于通过回归方程计算出的对应的预测值，所以删除该点后，样本中心点向左下方移动，重新求得的回归直线的斜率变大，选项D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数，则（ ） A. 的零点为 B. 在上的最大值与最小值之和为0 C. 直线是的图象的一条对称轴 D. 0是函数的极小值点 【答案】BD 【解析】 【分析】令可判断A；由为奇函数可判断B；由对称性的性质计算可判断C；对求导，求出函数的单调性，由极小值点的定义可判断D. 【详解】解：对于A，函数的零点即时x的值， 因为，则或， 当时，， 当，即时，，， 所以的零点为，，A选项错误; 对于B，因为，所以为奇函数， 所以在上的最大值与最小值之和为0，B选项正确; 对于C，， ， ，所以直线不是的图象的一条对称轴，C选项错误； 对于D，令， 则， 当时，，， 所以，单调递减， 又为偶函数，所以时，单调递增， 所以0是函数的极小值点，D选项正确. 故选:BD. 11. 如图所示的曲线C过原点O，且C上的任意一点到定点的距离与到直线的距离之积为4，则（ ） A. B. C恰好经过3个整点即横、纵坐标均为整数的点 C. C上存在两点关于直线对称 D. C与圆交点的个数为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】设曲线C上任意一点，由两点间距离公式得到曲线C的方程.对于A：根据曲线C过原点运算求解即可；对于B：分析可知曲线C中，代入检验即可得结果；对于C：假设C上存在两点关于直线对称，平移图象可得，分析可知与曲线不相交；对于D：联立方程运算求解即可. 【详解】设曲线C上任意一点，由图可知， 根据两点间距离公式点到定点的距离为 根据点到直线的距离公式，点到直线的距离为 已知曲线C上的任意一点到定点的距离与到直线的距离之积为4， 则可得两边平方可得. 对于选项A：因为曲线C过原点，将原点坐标代入上式可得，解得 当时，由图可知显然不满足C上的任意一点到定点的距离与到直线的距离之积为4，舍去， 故，故选项A正确； 对于选项B：当时，， 令，解得或，所以曲线C中， 当时，；当时，（不是整数）；当时，， 所以曲线C恰好经过，，三个整点，故选项B正确； 对于选项C：假设C上存在两点关于直线对称， 则将曲线C上移2个单位长度的曲线上存在两点关于直线对称， 易知曲线的方程为， 设曲线上关于直线对称的两点为，，且， 则有，，可得， 联立方程，消去x整理可得， 又因为，则， 可知方程无解， 即与曲线不相交，故假设不成立，故选项C错误； 对于选项D，将代入到曲线C的方程中， 得，解得或， 由圆的方程的纵坐标，所以舍去， 将代入得，所以交点坐标为，， 此时这两点的坐标也满足圆的方程，所以曲线与圆共有两个交点，选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由两点间距离公式推导出方程，再根据方程研究曲线的性质. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 今有2只红球、3只黄球，同色球不加以区分，将这5只球排成一列，有______种不同的方法（用数字作答）． 【答案】10 【解析】 【分析】由分步计数原理可分两步完成，第一步：在5个不同位置中选2个位置排红球， 第二步：在剩下的3个不同位置排黄球，再运算即可得解. 【详解】分两步完成， 第一步：在5个不同位置中选2个位置排红球，共种排法， 第二步：在剩下的3个不同位置排黄球，共种排法， 故将这5只球排成一列，有种不同的方法, 故答案为：10. 13. 已知是上的奇函数，当时，，过原点O作两条互相垂直的直线，其中一条与的图象相切于点A，C，另一条与的图象相交于点B，D，则四边形ABCD的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，求导，则切线的斜率为，求出切线方程.代入，可得，从而得到两条直线方程分别为，.直曲联立，可得，，根据是奇函数，得到.运用两点间距离公式得到，得到四边形的面积. 【详解】解：设切点坐标为， 因为时，，所以， 则切线的斜率为，则切线方程为， 代入，可得，此时切线的斜率为，另一条切线的斜率为， 两条直线方程分别为，，可得交点坐标为， 联立，可得，联立，可得， 因为是上的奇函数，则， 所以， 四边形的面积为 故答案为： 14. 将棱长为1的正方体沿对角面，，同时切开后，共得到__________个多面体，其中一个多面体的体积为__________只需写出一种结果 【答案】 ①. 8 ②. （或,答案不唯一） 【解析】 【分析】对于第一空，分情况讨论分成的部分，得到总的多面体个数；对于第二空，正方体棱长为1，通过正方体体积和切割后多面体的体积关系，求出其中一个多面体体积即可. 【详解】（1）正方体被三个对角面、、切割. 每个对角面都会将正方体分成两个部分，但是这些部分会相互重叠. 具体来说： 第一个对角面将正方体分成两个部分， 第二个对角面进一步将每个部分分成两个，总共分成四个部分， 第三个对角面会再次将每个部分分成两个，但由于之前的切割，最终会得到8个多面体.分别是三棱锥,三棱锥,三棱锥,三棱锥,三棱锥,三棱锥,六面体,六面体. （2）设正方体棱长为1，截面将正方体分成体积相等的两部分，不妨保留三棱柱，截面将三棱柱分成三棱锥 和四棱锥，它们的体积分别是和，于是，保留四棱锥，在正方体的截面 上，与相交于O，则截面将四棱锥分成三棱锥及多面体，O是正方体的中心，于是，三棱锥的体积为，则多面体的体积为，所以其中一个多面体的体积为或. 故答案为：8；(或，答案不唯一). 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，记a，b，c分别为角A，B，C的对边.已知 （1）若，求 （2）若，求 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，边角互化得到，算出，得到，运用和角正切计算出即可；（2）由余弦定理边角互化得到，结合条件得到，算出 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得，，即， 因为，所以，即，所以，即， 所以，解得或， 因为，所以，同为正数，所以不符合题意，故； 【小问2详解】 因为，所以由余弦定理得，， 整理得，，即， 又因为，所以，所以由余弦定理得，， 又因为，所以 16. 如图，在三棱锥中，，，平面ABC，H为垂足，D为AC的中点. （1）证明：平面 （2）若，，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，三线合一得到；又因为平面，得到；进而得到平面，运用线面垂直性质得到；进而得到；最终运用线面平行判定定理得到平面；（2）如图，过点H作于点Q，连接，证明为二面角的平面角，借助三角函数得到二面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：连接，因为，D为的中点，所以； 又因为平面，平面，所以； 又因为，平面，，所以平面， 又平面，所以； 因为，且，均在平面内，所以； 因为平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 如图，过点H作于点Q，连接， 因为平面，平面， 所以， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以，所以为二面角的平面角， 因为，，所以，， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为 17. 一批产品共16件，有2件不合格品，随机分装到两只箱中，每箱8件.收货方不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接收这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒收整批产品;如果抽检的第1件产品合格，则从另一箱中再抽检1件，若合格，则接收整批产品，否则拒收整批产品. （1）求2件不合格品包装在同一只箱中的概率; （2）求这批产品被拒收的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出16件产品随机分装到两只箱中和2件不合格品包装在同一只箱中的方法数，再根据古典概型求概率； （2）分2件不合格品包装在同一只箱中和2件不合格品包装在两只箱中两种情况，结合条件概率分别求出概率，再根据互斥事件的概率加法公式求解即可. 【小问1详解】 记“2件不合格品包装在同一只箱中”， 因为16件产品随机分装到两只箱中有种， 其中2件不合格品包装在同一只箱中有种， 所以，即2件不合格品包装在同一只箱中的概率为； 【小问2详解】 由（1）知，，， 记“产品被拒收”，“第1次抽到不合格品”，“第2次抽到不合格品”， ①若2件不合格品包装在同一只箱中， 则，； 或，. 所以， 所以； ②若2件不合格品包装在两只箱中， 则，， 所以， 所以， 由①②得，， 即这批产品被拒收的概率为 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为A，B，且 （1）求的方程; （2）直线l与的左、右两支分别交于点C，D，记直线BC，BD的斜率分别为，，且 （i）求证：直线l过定点; （ii），直线OP与BD交于点Q，判断并证明直线AQ与BC的位置关系. 【答案】（1）； （2）（i）设直线l的方程为，，，， 联立与，消去y，得， 所以，， 由，得， 整理得， 所以， 整理得，所以或， 当时，直线l的方程为，过点，不符，故舍去；当时，直线l的方程为，过点， 所以直线l过定点； （ii） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，可求得双曲线方程； （2）（ⅰ）设直线l的方程为，，，与双曲线联立方程组，由根与系数的关系可得，，结合已知可得或，可得定点坐标；（ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下：求得点的坐标，进而可得直线AQ的斜率，结合已知，可证结论. 【小问1详解】 设双曲线的焦距为2c，则，且，解得，， 所以，所以的方程为：； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下： 因为，所以直线OP方程为：， 又直线BD方程为：，联立与， 解得，，即， 因为，所以直线AQ的斜率为，由， 得直线BD的斜率，所以 19. 已知曲线， （1）若，与在公共点处的切线重合，求 （2）若与相交于A，在B的左侧两点，记直线AB的斜率为 （i）求证： （ii）若，设，证明： 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设为公共点的横坐标，可得，且，计算求解即可； （2）法一：（i）分析可知只需证，由已知可得，令，则，进而可得构造函数,记，求导，可证结论.（ii）分析可知只需证明 由（i）分析可得，构造函数证明即可.法二：（i）由题意，，，两式作差可得，证明即可；（ii）证明即可. 【小问1详解】 若，则， 因为与在公共点处的切线重合，不妨设为公共点的横坐标，则，且， 所以，于是，解得，所以 【小问2详解】 设，，其中 （i）由为增函数，知，所以 法1：则 依题意，有，且， 两式相减，得 令，则，且，解得，， 所以 记，则， 令，求导得， 故单调递减，故，所以在上单调递增， 故，所以式成立，从而式成立，所以 （ii）若，，则 因为，故只需证明 由（i）知，只需证，即要证 记，则 因为，所以，所以 所以，故在上单调递增， 所以，所以式成立，所以 法2：（i）由题意，，， 两式作差得，， 即 又，且， 则， 所以 下证：，即证：，即证： 不妨设，，即证： 记，，则， 所以在上单调递增，所以，所以，故 （ii）依题意，， 同理可得，， 所以， 由（i）知， 又，所以， 所以， 又，故，所以，所以 【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $