精品解析：湖北省天门市陆羽高级中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

陆羽高中2024—025学年高二下学期开学考试 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 试卷内容：直线与圆､圆锥曲线､数列､函数与导数 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线倾斜角为（ ） A. B. 0 C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 5. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. 的极大值为，极小值为 B. 的极大值为，极小值为 C. 的极大值为，极小值为 D. 的极大值为，极小值为 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求函数导数正确的是（ ） A. B. C D. 10. 已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 在处的切线为轴 B. 是上的减函数 C. 为的极值点 D. 最小值为0 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为_________. 13. 已知函数的图象在处的切线方程为，则__________. 14. 已知，对，且，恒有，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，，. （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知函数且在处取得极值. （1）求a，b的值； （2）求函数在的最大值与最小值. 17. 已知是等差数列的前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 18. 如图，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，又点是椭圆与轴正半轴交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，，圆方程为． （1）求椭圆及圆的标准方程； （2）过原点作直线与圆交于、两点，若，求直线的方程． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陆羽高中2024—025学年高二下学期开学考试 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 试卷内容：直线与圆､圆锥曲线､数列､函数与导数 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率并化简，进而求出倾斜角. 【详解】直线的斜率， 所以所求的倾斜角为. 故选：A 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的标准方程，确定，根据直线方程，即可求解. 【详解】因为，所以抛物线方程为，， 因为抛物线准线方程为，所以抛物线准线方程为. 故选：D 3. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用标准的椭圆方程即可判断参数范围. 【详解】方程变形得：， 该方程要表示椭圆，则需要满足，解得：， 故选：A. 4. 设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】D.由，公差，得，从而，所以，解得k=5 5. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】由题意得， 在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又函数在上单调递增，得， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B 6. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题 【详解】由已知得，若函数在上有极值点，则在上有解，即，解得. 故选：D 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义求得（用表示），再由勾股定理求得关系得离心率． 【详解】因为，设，， 又，所以， 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 再由得，即，所以离心率为， 故选：A． 8. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. 的极大值为，极小值为 B. 的极大值为，极小值为 C. 的极大值为，极小值为 D. 的极大值为，极小值为 【答案】C 【解析】 【分析】由图，根据的符号，判断出的符号，从而得到的单调性，找出的极值. 【详解】由图象可知，当和时，，则； 当时， ，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 所以在，上单调递减；在上单调递增； 所以的极小值为，极大值为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复合函数的求导法则可判断各选项的正误. 【详解】选项A:正确； 选项B: 错误； 选项C：正确； 选项D：，正确； 故选：ACD 10. 已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推式及，求得，即可判断A；分为奇数、为偶数，求出通项公式判断B，C；利用分组求和，求出，判断D． 【详解】解：因为，即， 所以，， 解得，故A正确； 由此可得，，，， …… 所以当为奇数时，为偶数，为奇数， 所以，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 所以，所以， 所以，故B错误； 当为偶数时，为奇数，为偶数， 则，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D， = =，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 在处的切线为轴 B. 是上的减函数 C. 为的极值点 D. 最小值为0 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义可判断A；结合函数的单调性与导数的关系，判断B;根据导数的正负与函数极值的关系，判断C,继而判断D. 【详解】由题意知，故， 故在处的切线的斜率为，而， 故在处的切线方程为，即， 所以在处的切线为轴，A正确； 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，B错误； 由此可得为极小值点，C正确； 由于在上只有一个极小值点，故函数的极小值也为函数的最小值， 最小值为，D正确， 故选： 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出． 【详解】由等差数列性质可得：． 对于任意的都有， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13. 已知函数的图象在处的切线方程为，则__________. 【答案】-1 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得，从而可得的值，再利用切点在曲线也在切线上，可得的值，即可求得答案. 【详解】因为，所以. 又的 图象在处的切线方程为，所以，解得， 则，所以，代入切线方程得，解得， 所以 , 故答案：-1. 14. 已知，对，且，恒有，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对条件 做出解释构造函数，利用函数的单调性求解. 【详解】对，且，恒有，即 ，所以函数 是增函数， 设 ，则在上单调递增，故 恒成立， 即，设 ， 当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减； 故，即； 故答案为： . 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，，. （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系变形可得，结合等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求出数列的通项公式，再根据和的关系求数列的通项公式； （2）由（1）计算，判断数列单调性，令的最大值小于即可求解. 【小问1详解】 由得，又， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， ∴，即 ∴当时，， 又不满足上式，所以. 【小问2详解】 由（1）知， ∴ ∴当时，； 当时，，即 所以的最大值为， 依题意，即，解得或. 所以实数的取值范围是： 16. 已知函数且在处取得极值. （1）求a，b的值； （2）求函数在的最大值与最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用来求得的值. （2）结合（1）求得在区间上的最值，由此确定正确结论. 【小问1详解】 ， 依题意，解得. ， 所以在区间上递增； 在区间上递减. 所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意. 【小问2详解】 ， ， 由（1）知，在区间上的最大值为，最小值为. 17. 已知是等差数列的前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的首项为，公差为d，根据条件建立方程组，解出，即可求解； （2）由（1）可得，利用错位相减法，即可求解. 【小问1详解】 设的首项为，公差为d， 由题可得， 解得，，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以. 18. 如图，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，又点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，，圆方程为． （1）求椭圆及圆的标准方程； （2）过原点作直线与圆交于、两点，若，求直线的方程． 【答案】（1）椭圆方程为．圆的方程为． （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆方程，表示出点的坐标，利用共线向量的坐标表示，可得答案； （2）利用分类讨论，分直线斜率存在与不存在两种情况，设出直线方程，与圆的方程联立，写出韦达定理，根据向量数量积的坐标表示，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 由题意，，，， 将代入，可得，解得， 则，，， 由，可得，即，故， 由．代入解得，，， 则椭圆方程为，圆的方程为． 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，不符合题意； ②如图，当直线的斜率存在时，设直线方程为， 由，可得， 依题意，需使，即， 设，，则，， ，， 而圆心的坐标为，则，， 所以， 即， 代入得：， 解得或， 故得直线的方程为或． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后对其导函数进行通分再对其分子因式分解，分类讨论与时的单调性即可. （2）求出，将所证转化为，进而转化为证明恒成立，构造函数求其最大值即可证明. 【小问1详解】 ∵，定义域为， 则， ①当时，，在上单调递增； ②当时，当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减， 综上，①当时，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）可得，当时， . 要证， 只需证， 即证恒成立. 令，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴的最大值为，即：. ∴恒成立， ∴原命题得证.即：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $