6.4.3 余弦定理及正弦定理（九个重难点突破）-2024-2025学年高一下学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

6.4.3 余弦定理及正弦定理 一、余弦定理解三角形 六、正余弦定理的边角互化 二、正弦定理解三角形 七、高度、距离的测量 三、判断三角形的个数 八、角度的测量 四、三角形的面积问题 九、正余弦定理的综合 五、判断三角形的形状 知识点1余弦定理 1.余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （2）符号语言:在中,， 2.余弦定理的推论 在中,. 3.解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 重难点一、余弦定理解三角形 【例1】在中，角，，的对边分别为，，， 若，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理可得， 又，所以. 故选：C 【例2】已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意不妨设，；解得 所以可得此三角形的最大角与最小角分别为和； 由余弦定理可得，又， 可得； 所以. 故选：B 【变式1-1】已知的顶点坐标分别是，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的顶点坐标分别是，，， 由距离公式可得，，， 余弦定理得，又，则. 故选：A. 【变式1-2】若钝角三角形的三边长为、、，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：因为， 所以此三角形的最大边为， 设此边所对应的角为，则为钝角， 由余弦定理可得， 即有， 整理得，解得， 又因为， 即，所以的取值范围为：. 故答案为： 【变式1-3】在中，若，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】A 【详解】在中， ，，， 则由余弦定理得，， 整理得，解得或（舍去）. 故选：A 知识点2正弦定理 1.正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2.正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①; ②; ③. 3.三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径). 重难点二、正弦定理解三角形 【例3】在中，已知，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【详解】因为在中，，，， 由正弦定理，得， 解得或， 又因为可得，所以不符合题意，舍去． 可得，故A，B，D错误． 故选：C. 【例4】在中，角对应的边分别为，已知，求的值. 【答案】 【详解】由正弦定理，得. 因为，所以，于是，或. 当时，.可得： ； 当时，.可得： ， 故. 【变式2-1】在三角形中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题意，, 因为，所以, 由正弦定理得, 即， 因为, 所以或. 故选：C. 【变式2-2】在中，角，，所对的边分别为，，，，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由余弦定理得， 由，得，由正弦定理得. 故选：B 【变式2-3】在中，若，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理得，即， 联立，解得， 因为，，所以， 由正弦定理可得. 故选：B 重难点三、判断三角形的个数 【例5】在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 【答案】B 【详解】． 满足条件的三角形有2个． 故选：B. 【例6】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的三角形有且只有一个，则b的一个值为 ． 【答案】8（答案不唯一） 【详解】根据正弦定理，得，即，解得， 若满足条件的有且只有一个，则或， 即或， 因此，符合条件的的取值范围是，的一个值为8. 故答案为：8（答案不唯一）． 【变式3-1】在中，，，，则三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 【答案】B 【详解】由正弦定理得：， 又，有，满足条件的有两个. 故选：B 【变式3-2】在中，角所对的边分别为已知，，给出下列五个a的值：①；②；③；④2；⑤3．其中能使得△ABC存在且唯一确定的是（    ） A．①④ B．②③ C．④⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【详解】    根据已知，，可知三角形边上的高， 所以要使得存在且唯一确定的解，则或， 故有②④⑤满足， 故选：D. 【变式3-3】在中，角A，B，C的对边分别为，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理可得：，要使得三角形有两解，需要满足且，解得. 故选：A 重难点四、三角形的面积问题 【例7】的内角的对边分别为，若，，的面积为，则 . 【答案】 【详解】由，解得， 又， 所以 故答案为： 【例8】在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以 即， ，解得， ， ， ， . 故选：. 【变式4-1】在中，角，，的对边分别为，，，，，，则 ，的面积为 . 【答案】 1 / 【详解】在中，由余弦定理得； 由三角形面积公式得. 故答案为：； 【变式4-2】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且面积为，则的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，， ， 的外接圆的半径为. 故选：B 【变式4-3】在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 【答案】 【详解】因为，且的面积为， 则，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 故答案为: . 重难点五、判断三角形的形状 【例9】在中，若，判断的形状． 【答案】为直角三角形或等腰三角形． 【详解】为直角三角形或等腰三角形．理由如下： ， 由余弦定理可得， 整理得， 即， 或．或． 故为直角三角形或等腰三角形． 【例10】在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【详解】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B. 【变式5-1】在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 【变式5-2】在中，已知，则的形状一定为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以，由正弦定理可得， 所以为直角三角形. 故选：C 【变式5-3】在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】因为， 由正弦定理可得，所以， 又，则， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：B 重难点六、正余弦定理的边角互化 【例11】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得, 由于，所以，故， 故选：B 【例12】内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 【答案】/ 【详解】由，结合正弦定理得， ， 因为，所以, 利用余弦定理，解得， 所以. 故答案为：. 【变式6-1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，根据正弦定理有， 所以，有， 根据余弦定理，有，由，所以． 故选：C. 【变式6-2】已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 整理可得①， 又，可得， 所以，解得②， 由①②可得， 所以， 则. 故选：D 【变式6-3】在中， (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意结合正弦定理可得 ， 即， ∵，∴， ∴，故． （2）由，解得． 由余弦定理可得， ∴， ∴的周长为． 知识点3实际应用问题中的专用名词与术语 1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). 3.方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②). 4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 解三角形应用题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 重难点七、高度、距离的测量 【例13】为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择点和一建筑物的楼顶为测量观测点，已知点为塔底，在水平地面上，塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则塔的高度约为（    ）（，精确到） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】平面，平面， 过点作，交于点，则有，， 在中，因为，所以， 在中，因为，所以， 则. 故选：B. 【例14】如图，在海面上有两个观测点，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，则该船行驶的距离（    ） A．km B．km C．km D．km 【答案】A 【详解】, ， 在中，，，则， 又因为，所以km. 在中，，，则. 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ， 即km， 故选：A. 【变式7-1】一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔64海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为（    ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】A 【详解】如图所示， 在中，由题意可知：海里， 由正弦定理可得（海里）， 且该船航行时间为4小时，所以该船航行的速度为海里/小时. 故选：A. 【变式7-2】坐落于某市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔高度为150米，某大楼高度为90米，从大楼顶部C看天宁宝塔的张角，求天宁宝塔与大楼底部之间的距离． 【答案】两建筑物底部间距离是180米 【详解】如图作于． ，，，，． 设，， ，． 在和中， ， ， 化简整理得， 解得，（舍去）． 答：两建筑物底部间距离是180米． 【变式7-3】阿蓬，土家语为“雄奇秀美”之意.阿蓬江为长江二级支流，乌江一级支流，阿蓬江国家湿地公园以河流湿地为主，跨黔江、酉阳两区县，黔江境内自古石城经官渡峡到神龟峡，还有丰富的支流水系，湿地生态系统完整，贯穿黔江境内多个A级景区，有着一江两岸秀美的湿地风光.如图为了测量湿地内A、B两点间的距离，观察者在同一平面内找到在同一条直线上的三点C、D、E，从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，因为，， 所以，则． 在中，因为，， 所以， 由正弦定理得，可得． 在中，因为，，， 所以由余弦定理得， 得， 故选：B． 重难点八、角度的测量 【例15】如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，．若某科研小组在坝底点测得，坝底至塔顶距离米，则大坝的坡角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 在中，由正弦定理可得 ， 即，解得， 由， 所以， 所以大坝的坡角的余弦值为. 故选：D 【例16】如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求的值. 【答案】 【详解】在△CBA中，AB=40，AC=20，∠BAC=，由余弦定理得 由正弦定理得，， 【变式8-1】相距有两个垂直于水平地面的高塔和，两塔底､的中点为，已知，，则的值是 . 【答案】 【详解】如图所示，过点作交于点，则， 因为，， ， 由余弦定理可知，， 故答案为：. 【变式8-2】日常生活中，我们常看到各式各样的简易遮阳棚（板）.现有直径为的圆面，在其圆周上选定一个点固定在水平地面上，然后将圆面撑起，做成简易遮阳棚（板）.某一时刻的太阳光线与水平地面成角，若要得到最大的遮阴面，则遮阳棚（板）与遮阴面所成角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意分析出阴影面是椭圆面，根据椭圆的面积公式，将面积最大转化为椭圆的长轴长最大，在三角形中利用正弦定理可求得结果. 【详解】依题意分析可知，阴影面是椭圆，椭圆的短轴长， 如图：圆的直径在地面的投影为，则为椭圆的长轴， 为圆面与阴影面所成二面角的平面角，， 根据椭圆的面积公式可得， 所以要使椭圆的面积最大，只要最大即可. 在中，由正弦定理可得， 所以， 当时，最大，此时, 所以遮阳棚（板）与遮阴面所成角大小为. 故选：B. 【变式8-3】（多选）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若规艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ） A．舰艇所需的时间为2小时 B．舰艇与舰艇对接时距离雷达兵（处）距离为70公里 C． D．舰艇与舰艇对接时距离处为50公里 【答案】BCD 【详解】如图所示，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合， 则， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去），所以， 又由正弦定理得，可得. 故选：BCD. 重难点九、正余弦定理的综合 【例17】近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，临街，长16米，，在上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路，，小路终点E、F在墙、上，且，为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面用防腐木铺设． (1)是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：） 【答案】(1)是定值； (2)8742元． 【详解】（1）是定值； 理由如下：在中，，，所以， 由正弦定理得，，所以． 在中，，，， 由正弦定理得，，所以． 所以为定值． （2）由题意可知，要使总费用最低，只需最小， 在中， ， 当且仅当时“=”成立， 所以，所以的最小值为， ， （元） 所以修路费用最少为8742元． 【例18】如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，，若部分直线段，且要求市中心与的距离为20千米，则的最短距离为 .    【答案】 【详解】如图所示，作垂足为，则， 由题意知，设， 在中，由正弦定理得，可得， 在中，， 所以， 因为，所以当时，取得最小值， 此时. 故答案为：.    【变式9-1】（多选）如图，的角所对的边分别为，，且，若点在外，，则下列说法中正确的有（     ）    A． B． C．四边形面积的最大值为 D．四边形面积的最大值为 【答案】ABC 【详解】因为，由正弦定理得， 即， 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，所以为等边三角形， 可得，，所以A、B正确； 设， 在中，由余弦定理得， 且， 可得， 所以四边形的面积为， 当时，四边形的面积最大，最大值为，所以C正确，D错误. 故选：ABC.    【变式9-2】已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若点满足，且，求的面积的最大值； (3)若，求证：是直角三角形. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又， 则， 又， 所以，即， 又且，所以， 所以，所以； （2）因为， 所以， 则， 即， 则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 则， 即的面积的最大值为； （3）由（1）及余弦定理得 ，整理得， 由正弦定理得， 则， 得， 所以， 又，所以， 所以，所以， 所以， 所以是直角三角形. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 【变式9-3】锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由可得， ，故， ，， 由于， 由于为锐角三角形，因此，故. （2）, 由于，所以，故， . 一、单选题 1．在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 所以，且， 所以. 故选：B. 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】由，,则， 由，则， 由于，则， ，均为三角形的内角，，即， 故该三角形的形状是等腰三角形． 故选：B． 3．某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：, 因为,所以， 即，解得， 所以该古建筑的高度为. 故选：C. 4．在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，由正弦定理可知， 则， 则，则可得“”是“”的充分条件， 再由，由正弦定理得，则，则， 则“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 5．的面积为S.若，，则角B等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意知，有正弦定理边角互化可知， ， 化简可得，在中，所以，则， 所以得， 由， 可得，，所以， 所以. 故选：C 6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为且， 所以即， 因为与不共线，所以， 所以，， 所以角C所对的c边最大，故角C是最大，对应的余弦值为 . 故选：C. 二、多选题 7．在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】ACD 【详解】对于A，，则，由正弦定理可得， ，故A正确； 对于B，由正弦定理， ，此时无解，故B错误； 对于C，，又且， ，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故C正确； 对于D：，， ，， ，或，若，，则， 所以为等腰三角形或直角三角形，故D正确． 故选：ACD． 8．在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．的面积为 C．的周长为 D．外接圆半径为 【答案】BC 【详解】，，可得，可得外接圆半径，故D错误； 因为， 所以， 所以， 所以， 当时，即，所以，，可得； 当时，即，由正弦定理得；故A不一定成立； 当时，此时，，，所以，， 所以的周长为：，的面积为：； 当时，，，，解得，， 所以的周长为：，的面积为：； 故BC一定成立. 故选：BC. 三、填空题 9．中，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 设,则, 又，所以该三角形为直角三角形， 所以， 所以， 故答案为：. 10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积等于，则b的大小为 . 【答案】 【详解】， 所以， 由余弦定理可得, 故答案为： 11．如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为 .    【答案】/ 【详解】设，则，， 则， 则， 设该风景区面积为，则， 令，则， 即 函数对称轴， 即当时，面积取最大值，此时. 故答案为：. 四、解答题 12．根据下列条件解三角形： (1)，，； (2)，，； 【答案】(1)，， (2)，， 【详解】（1）因为，，所以. 由正弦定理得：， ，. （2）由余弦定理可得：，所以. ，所以，所以. 13．在中，内角的对边分别为.已知. (1)求角的大小； (2)已知.求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 即，解得或. 因为在中，， 所以. （2）在中，由余弦定理， 得， 整理得， 由，解得， 所以的面积为. 14．梯形中，，，，． (1)求； (2)若的面积为8，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，，中，由正弦定理，得 ，为锐角，． （2）， ．， 由，． 在中，由余弦定理，得 ． 15．在中，已知， (1)若，求该三角形的外接圆半径； (2)当时，求该三角形面积的最大值. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1），， 即，. ，，或，解得或. 或2，该三角形的外接圆半径或1. （2），，，. ， ，， . ，，， 即该三角形面积的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.3 余弦定理及正弦定理 一、余弦定理解三角形 六、正余弦定理的边角互化 二、正弦定理解三角形 七、高度、距离的测量 三、判断三角形的个数 八、角度的测量 四、三角形的面积问题 九、正余弦定理的综合 五、判断三角形的形状 知识点1余弦定理 1.余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （2）符号语言:在中,， 2.余弦定理的推论 在中,. 3.解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 重难点一、余弦定理解三角形 【例1】在中，角，，的对边分别为，，， 若，则角（    ） A． B． C． D． 【例2】已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知的顶点坐标分别是，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若钝角三角形的三边长为、、，则a的取值范围是 . 【变式1-3】在中，若，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 知识点2正弦定理 1.正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2.正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①; ②; ③. 3.三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径). 重难点二、正弦定理解三角形 【例3】在中，已知，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【例4】在中，角对应的边分别为，已知，求的值. 【变式2-1】在三角形中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】在中，角，，所对的边分别为，，，，，，（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】在中，若，，，则为（    ） A． B． C． D． 重难点三、判断三角形的个数 【例5】在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 【例6】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的三角形有且只有一个，则b的一个值为 ． 【变式3-1】在中，，，，则三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 【变式3-2】在中，角所对的边分别为已知，，给出下列五个a的值：①；②；③；④2；⑤3．其中能使得△ABC存在且唯一确定的是（    ） A．①④ B．②③ C．④⑤ D．②④⑤ 【变式3-3】在中，角A，B，C的对边分别为，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 重难点四、三角形的面积问题 【例7】的内角的对边分别为，若，，的面积为，则 . 【例8】在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】在中，角，，的对边分别为，，，，，，则 ，的面积为 . 【变式4-2】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且面积为，则的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 重难点五、判断三角形的形状 【例9】在中，若，判断的形状． 【例10】在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式5-1】在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式5-2】在中，已知，则的形状一定为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式5-3】在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 重难点六、正余弦定理的边角互化 【例11】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 【例12】内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 【变式6-1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（   ）． A． B． C． D． 【变式6-2】已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】在中， (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 知识点3实际应用问题中的专用名词与术语 1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). 3.方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②). 4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 解三角形应用题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 重难点七、高度、距离的测量 【例13】为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择点和一建筑物的楼顶为测量观测点，已知点为塔底，在水平地面上，塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则塔的高度约为（    ）（，精确到） A． B． C． D． 【例14】如图，在海面上有两个观测点，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，则该船行驶的距离（    ） A．km B．km C．km D．km 【变式7-1】一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔64海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为（    ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【变式7-2】坐落于某市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔高度为150米，某大楼高度为90米，从大楼顶部C看天宁宝塔的张角，求天宁宝塔与大楼底部之间的距离． 【变式7-3】阿蓬，土家语为“雄奇秀美”之意.阿蓬江为长江二级支流，乌江一级支流，阿蓬江国家湿地公园以河流湿地为主，跨黔江、酉阳两区县，黔江境内自古石城经官渡峡到神龟峡，还有丰富的支流水系，湿地生态系统完整，贯穿黔江境内多个A级景区，有着一江两岸秀美的湿地风光.如图为了测量湿地内A、B两点间的距离，观察者在同一平面内找到在同一条直线上的三点C、D、E，从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 重难点八、角度的测量 【例15】如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，．若某科研小组在坝底点测得，坝底至塔顶距离米，则大坝的坡角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 【例16】如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求的值. 【变式8-1】相距有两个垂直于水平地面的高塔和，两塔底､的中点为，已知，，则的值是 . 【变式8-2】日常生活中，我们常看到各式各样的简易遮阳棚（板）.现有直径为的圆面，在其圆周上选定一个点固定在水平地面上，然后将圆面撑起，做成简易遮阳棚（板）.某一时刻的太阳光线与水平地面成角，若要得到最大的遮阴面，则遮阳棚（板）与遮阴面所成角大小为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（多选）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若规艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ） A．舰艇所需的时间为2小时 B．舰艇与舰艇对接时距离雷达兵（处）距离为70公里 C． D．舰艇与舰艇对接时距离处为50公里 重难点九、正余弦定理的综合 【例17】近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，临街，长16米，，在上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路，，小路终点E、F在墙、上，且，为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面用防腐木铺设． (1)是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：） 【例18】如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，，若部分直线段，且要求市中心与的距离为20千米，则的最短距离为 .    【变式9-1】（多选）如图，的角所对的边分别为，，且，若点在外，，则下列说法中正确的有（     ）    A． B． C．四边形面积的最大值为 D．四边形面积的最大值为 【变式9-2】已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若点满足，且，求的面积的最大值； (3)若，求证：是直角三角形. 【变式9-3】锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 一、单选题 1．在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（    ）    A． B． C． D． 4．在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．的面积为S.若，，则角B等于（    ） A． B． C． D． 6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 8．在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．的面积为 C．的周长为 D．外接圆半径为 三、填空题 9．中，，则 . 10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积等于，则b的大小为 . 11．如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为 .    四、解答题 12．根据下列条件解三角形： (1)，，； (2)，，； 13．在中，内角的对边分别为.已知. (1)求角的大小； (2)已知.求的面积. 14．梯形中，，，，． (1)求； (2)若的面积为8，求的长． 15．在中，已知， (1)若，求该三角形的外接圆半径； (2)当时，求该三角形面积的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$