精品解析：吉林省长春市公主岭市2024-2025学年九年级上学期12月期末考试数学试题

2024-2025学年度上学期期末教学质量检测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 对任意的实数a，下列等式不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等式恒成立问题．根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵，即A选项恒成立， ∵，即B选项恒成立， ∵，即C选项不恒成立， ∵，即D选项恒成立， 故选：C． 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，利用二次根式的性质即可解答，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 3. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解一元二次方程即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 故选：B． 4. “在一个不透明的盒子中只装有2个白色围棋子和1个黑色围棋子，围棋子除颜色外其余均相同，从这个盒子中随机地摸出1个围棋子，颜色是白色”这一事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查必然事件，随机事件，不可能事件定义．根据题意利用事件发生得可能性来判断即可． 【详解】解：∵“在一个不透明的盒子中只装有2个白色围棋子和1个黑色围棋子，围棋子除颜色外其余均相同，从这个盒子中随机地摸出1个围棋子， ∴颜色是白色”这一事件是随机事件， 故选：A． 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的顶点坐标为，进行作答即可． 【详解】解：依题意，的顶点坐标是， 故选：D 6. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值计算即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 7. 如图，在中，D、E、F、G、H、I均为三边的三等分点，的面积为9，则六边形的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，得出，进而可得，同理可得，，即可得解． 【详解】解：∵、分别是和的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，， ∴六边形的面积为， 故选：C． 8. 函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为m，最小值为n，则的值是（ ） A. 24 B. 18 C. 16 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题是要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由抛物线为，从而可得对称轴是直线，故当时，有最小值，；当时，有最大值，，计算可得． 【详解】解：∵抛物线为， ∴对称轴是直线． ∵对称轴是直线， ∴当时，有最小值3，当时，有最大值21， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 10. 同时抛掷两枚硬币，通过大量重复实验，“出现两个正面”的频率稳定在______%． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率．根据题意利用列举法列出可能发生的情况，再计算概率即可． 【详解】解：∵同时抛掷两枚硬币， ∴等可能性有：正正，正反，反正，反反， ∴“出现两个正面”的概率为：， ∴“出现两个正面”的频率稳定在， 故答案为：25． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式．根据题意计算，即可得到本题答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得：，解得：或， ∵是一元二次方程， ∴（舍去）， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（，3），则点A′的坐标为_____． 【答案】（5，6）． 【解析】 【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而结合已知得出答案． 【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（，3）， ∴位似比为：2，故点A′的坐标为（5，6）． 故答案为（5，6）． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键． 13. 如图，在中，点E、F分别为边上的点，．若，，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，相似三角形判定及性质．根据题意可得，再由相似性质可得，继而利用平行四边形性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：9． 14. 已知二次函数的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置、抛物线与x轴交点的个数确定，解题关键是熟练运用二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与x轴的交点个数可以判断，然后根据对称轴可以判断，根据时，可得出． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴，故①错误； ∵与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 根据图象可知对称轴在直线右侧， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有②③④． 故答案为：②③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式化简，二次根式减法运算．根据题意先将二次根式化简，再计算减法即可． 【详解】解：， ， ． 16 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程．根据题意利用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 17. 将两块等腰直角三角板如图摆放在同一个平面内，请直接写出三对相似三角形，并且用“”连接． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形性质，相似判定及性质等． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 注：答案不唯一． 18. 某商场门前的台阶截面如图所示，已知每级台阶的宽度（如）均为．高度（如）均为，现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为，计算从斜坡的起点到台阶前点的距离（精确到）．（参考数据：，，．） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是构造直角三角形，根据题意，过作交的延长线于，由题意可得，，，根据，则，再根据，即可． 【详解】解：过作交的延长线于， 由题意得，，， 在中，， ∴， ∴． 答：从斜坡起点到台阶前点的距离约为． 19. 如图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在图①、图②中各画一个与相似（相似比不为1），且不全等的三角形．（要求三角形的顶点都在格点上） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图1和图2所示，即为所求； 由网格的特点和勾股定理可得， 图1中，， ∴， ∴； 同理可证明图2中． 20. 在一个不透明的盒子中放有三张卡片，分别标记为、、，每张卡片除了标记不同外，其余均相同．某同学第一次从盒子中随机抽取一张卡片，卡片放回，第二次又随机抽取一张卡片，请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的卡片完全相同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次抽取的卡片完全相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次抽取的卡片完全相同的结果数有3种， ∴两次抽取的卡片完全相同的概率为． 21. 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．经销商决定涨价销售，设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y个，月销售利润为w元． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②直接写出w关于x的函数关系式，当x为何值时w取最大值？并求出其最大值． 【答案】（1） （2）① ②；12250元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，一次函数和一元二次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①根据“售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列式即可求解； ②根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于x的二次函数，进而可求出结论． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a， 由题意可得， 解得，（舍去） ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：①． ②． ∴当元时，w取最大值12250元． 22. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 如图，在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且，对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【猜想证明】（1）请根据教材内容，写出证明过程． 【结论应用】（2）如图，在矩形中，，，点在上，且，连接、，点、分别是、的中点，连接，则______，______． 【答案】（1）见解析 （2）1， 【解析】 【分析】本题考查相似三角形，三角形中位线，勾股定理，解直角三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理的应用，解直角三角形的应用，进行解答，即可． 猜想证明：根据相似三角形的判定和性质，证明，且，即可； 结论应用：连接并延长交于点，根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，，求出，根据题意，可得是的中位线，则，根据平行线的性质，得到，则，即可． 【详解】解：猜想证明：证明如下： ∵在中，点、分别是与的中点 ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴，且； 结论应用：连接并延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点是是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴；， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点为线段的中点，过点向上作，且，以、为边作矩形．设点的运动时间为秒． （1）线段的长为　　（用含的代数式表示）． （2）当点恰好落在边上时，求值． （3）当点在内部时，设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式． （4）当点恰好落在的角平分线上时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系再结合题意解答即可. （2）分别出点、落在上时的的范围即可； （3）分重叠部分是矩形和五边形两种情况进行解答即可； （4）按以下三种情形：当点落在的角平分线上时，满足条件,作于；当点落在的角平分线上时，满足条件作于满足条件；分别求解即可解答 【小问1详解】 解：由题意，， ， ． 故答案为：． 【小问2详解】 如图，当点落在上时， ， ， ， 解得． 【小问3详解】 当在上时，， ∵ ∴ ∴ 解得：； 当时，重叠部分是矩形， 当时，重叠部分是五边形． ∵，则， ∴， ∴, ∵,则， ∴， ∴，则， ， 综上所述，． 【小问4详解】 如图4-1中，当点落在的角平分线上时，满足条件．作于． ，，， ， ，，设， ，，， ， ， 在中，则有， 解得， ， ， ， 如图4-2中，当点落在的角平分线上时，满足条件作于． 同法可证：， ，，设， ， 在中，则有， 解得， ， ， ， 解得 ． 综上所述，满足条件的的值为或 【点睛】本题考查了矩形的性质，列函数关系式，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理等知识；掌握分类讨论的思想思是解答本题的关键 24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点A．已知点A的横坐标为，其中．点B的坐标为． （1）当时，线段的长为______； （2）当抛物线经过点B时，求m的值； （3）该抛物线与y轴的交点为点P，当抛物线在点P和点A之间的部分（包括P、A两点）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求m的值； （4）作点A关于y轴的对称点C，连结与y轴交于点D，若抛物线与交于E（不与点A重合）．当的面积与的面积比为时，直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）先求出点B的坐标为，，再由勾股定理计算即可得解； （2）将代入抛物线得，求解即可； （3）求出，抛物线的顶点坐标为，再分两种情况：当时；当时，分别求解即可； （4）由（3）可得：，则，求出直线的解析式为，则，求出，得到，从而可得 ，证明四边形为平行四边形， 得出，进而可得，结合的面积与的面积比为，得到，求解即可． 【小问1详解】 解：当时，点A的横坐标为，点B的坐标为， 在中，当时，，即， ∴； 【小问2详解】 解：将代入抛物线得：， 解得：或， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：在中，当时，，即， 当时，，即； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）； 综上所述，m的值为或； 【小问4详解】 解：由（3）可得：， ∵作点A关于y轴对称点C， ∴， ， 设直线的解析式可得：， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∵抛物线与交于E， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵的面积与的面积比为， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期期末教学质量检测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 对任意的实数a，下列等式不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. “在一个不透明盒子中只装有2个白色围棋子和1个黑色围棋子，围棋子除颜色外其余均相同，从这个盒子中随机地摸出1个围棋子，颜色是白色”这一事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，D、E、F、G、H、I均为三边的三等分点，的面积为9，则六边形的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 8. 函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为m，最小值为n，则的值是（ ） A. 24 B. 18 C. 16 D. 2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _________． 10. 同时抛掷两枚硬币，通过大量重复实验，“出现两个正面”的频率稳定在______%． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（，3），则点A′的坐标为_____． 13. 如图，在中，点E、F分别为边上的点，．若，，则的长为______． 14. 已知二次函数的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15 计算：． 16 解方程：． 17. 将两块等腰直角三角板如图摆放同一个平面内，请直接写出三对相似三角形，并且用“”连接． 18. 某商场门前的台阶截面如图所示，已知每级台阶的宽度（如）均为．高度（如）均为，现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为，计算从斜坡的起点到台阶前点的距离（精确到）．（参考数据：，，．） 19. 如图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在图①、图②中各画一个与相似（相似比不为1），且不全等的三角形．（要求三角形的顶点都在格点上） 20. 在一个不透明的盒子中放有三张卡片，分别标记为、、，每张卡片除了标记不同外，其余均相同．某同学第一次从盒子中随机抽取一张卡片，卡片放回，第二次又随机抽取一张卡片，请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的卡片完全相同的概率． 21. 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．经销商决定涨价销售，设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y个，月销售利润为w元． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②直接写出w关于x的函数关系式，当x为何值时w取最大值？并求出其最大值． 22. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 如图，在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且，对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【猜想证明】（1）请根据教材内容，写出证明过程． 【结论应用】（2）如图，在矩形中，，，点在上，且，连接、，点、分别是、的中点，连接，则______，______． 23. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点为线段的中点，过点向上作，且，以、为边作矩形．设点的运动时间为秒． （1）线段的长为　　（用含的代数式表示）． （2）当点恰好落在边上时，求值． （3）当点在内部时，设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式． （4）当点恰好落在的角平分线上时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点A．已知点A的横坐标为，其中．点B的坐标为． （1）当时，线段的长为______； （2）当抛物线经过点B时，求m的值； （3）该抛物线与y轴的交点为点P，当抛物线在点P和点A之间的部分（包括P、A两点）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求m的值； （4）作点A关于y轴的对称点C，连结与y轴交于点D，若抛物线与交于E（不与点A重合）．当的面积与的面积比为时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $