精品解析：甘肃省陇南市西和县2024-2025学年九年级上学期期末学情检测数学试卷

2024年秋季学期九年级学情监测 数学 注意事项：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列汉字中，属于中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 2. 函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式函数解析式，可得函数图象的对称轴． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴是直线， 故选：A． 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 打开电视，它正在播广告 B. 367人中有两人的生日相同 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 打雷后会下雨 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件的定义和随机事件的定义依次判断四个选项即可． 【详解】解：A选项，打开电视，它正在播广告，是随机事件，故A选项不符合题意； B选项，367人中有两人的生日相同，是必然事件，故B选项符合题意； C选项，抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故C选项不符合题意； D选项，打雷后会下雨，是随机事件，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查必然事件和随机事件的定义，熟练掌握这些知识点是解题关键． 4. 如图，四边形是圆O的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质的应用，根据圆内接四边形的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 如图，把△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，且∠C'AC=60°，则∠BAB'=（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】利用性质不变性即可解决问题． 【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′， ∴∠CAC′=∠BAB′=60°， 故选D． 【点睛】本题考查旋转变换，解题的关键是理解旋转角的定义，灵活运用旋转不变性解决问题，属于基础题． 6. 在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有( )个 A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可． 【详解】设白球个数为x个， ∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右， ∴口袋中得到红色球的概率为0.2， ∴， 解得：x=20， 经检验x=20是原方程的根， 故白球的个数为20个． 故选C． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 7. 已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及性质；熟练掌握反比例函数的图象和性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 8. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由小路的宽为，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的长方形，再利用长方形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵小路宽为， ∴种植草坪的部分可合成长为，宽为的长方形． 依题意得：． 故选C． 【点睛】本题考查列一元二次方程、图形的平移，根据平移得出种植草坪的部分可合成一个长方形是解题的关键． 9. 如图，函数与函数的图象相交于点，．若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象可以发现：当或，有． 【详解】解：由图象可知：当时，；当时，； 综上所述：当或时，， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是结合图象找出不等式的解集． 10. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋b（ab≠0）的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对比各个选项中二次函数和一次函数图像的规律，可分别得到各个函数系数的取值范围；通过函数系数对比，即可得到答案． 【详解】解：A选项中，y＝ax2＋b开口朝上 ∴ 又∵y＝ax＋b函数y随x增大而减小 ∴，和二次函数规律不符 ∴A选项错误 B选项中，y＝ax2＋b开口朝下 ∴ 又∵y＝ax＋b函数y随x增大而增大 ∴，和二次函数规律不符 ∴B选项错误 C选项中，y＝ax2＋b开口朝上，且时 ∴且 又∵y＝ax＋b当时， ∴和二次函数规律不符 ∴C选项错误 D选项中，y＝ax2＋b开口朝下，且时 ∴且 ∵y＝ax＋b函数y随x增大而减小，且当时， ∴且 ∴和二次函数规律相符 ∴D选项正确 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数、一次函数图像的性质，从而完成求解． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 把一元二次方程(x－2)2＝5化为一般形式为______________. 【答案】x2-4x-1=0 【解析】 【详解】方程可化为x2-4x+4=5，移项合并同类项即可得x2-4x-1=0. 12. 一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数小于3的概率是________________． 【答案】 【解析】 【分析】用点数小于3的结果数除以所有可能的结果数即可． 【详解】解：投这个骰子共有6种等可能结果，其中掷的点数小于3的有1、2这2种结果， 所以掷的点数小于3的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷事件A可能出现的结果数． 13. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．是上的点，，垂足为点．若，，则的半径为______ ． 【答案】10 【解析】 【分析】连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， 设的半径为，则， ， ， ，， ， 在中，，即， 解得， 即的半径为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． 14. 一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是_______平方米．（接缝不计） 【答案】5π 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，求得圆锥的底面周长就是圆锥的弧长，利用圆锥的面积计算方法求得圆锥的侧面积即可． 【详解】解：圆锥的底面周长， ∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的侧面积． 故答案为：5π． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长． 15. 小球在如图所示的地板上自由地滚动并随机地停留在某块方砖上，则它最终停留在黑砖上的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出方砖总块数，确定黑砖的块数，根据概率公式即可得出结论． 【详解】解：方砖共块，黑砖共块， ∴停在黑砖上的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：停留在黑砖上的概率=黑砖的块数与方砖总块数之比． 16. 如图，为的直径，为的弦，，则的度数为_______． 【答案】50° 【解析】 【分析】由同弧所对的圆周角相等可知，再由直径所对的圆周角为直角即可得到答案． 【详解】解：连接BD， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，掌握基础知识是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 选择适当方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用因式分解法求解即可． 【详解】解：提取公因式得：， 或， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）点B关于坐标原点O对称的点的坐标为____________________； （2）将绕点C顺时针旋转，画出旋转后得到的． 【答案】（1）； （2）如图，△A1B1C为所作； 【解析】 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出B关于原点的对称点的坐标即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A1、B1，从而得到△A1B1C． 【详解】解：（1）∵B(−1，1)， ∴点B关于原点的对称点的坐标为（1，-1）， 故答案为：（1，-1）； （2）略 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，关于原点对称的两个点的坐标特点，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 19. 在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共8个，这些球除颜色外其他均相同．某学习小组做摸球试验，将球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，下表是试验中的统计数据． 摸球的次数 100 150 300 500 800 1100 摸到白球的次数 48 78 153 251 401 550 摸到白球的频率 （1）估计摸到白球的概率为______（精确到）； （2）试估计口袋中白球的个数． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数； 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【小问1详解】 解：依题意，当很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共8个，且由（1）摸到白球的概率为， ∴可估计口袋中白球的个数（个）． 20. 如图所示，是的直径，点是半圆上的一动点不与，重合，弦平分，过点作交射线于点．求证：与相切 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接OD，利用角平分线的性质及圆的半径相等的性质证得，推出，得到DE⊥OD，由此得到结论． 【详解】证明：连接OD，如图1所示： ∵OD=OA， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分∠BAF， ∴∠OAD=∠FAD， ∴， ∴， ∵DE⊥AF， ∴DE⊥OD， 又∵OD是的半径， ∴与相切． 【点睛】此题考查圆的切线的判定定理，半径相等的性质，平行线的判定及性质，熟记圆的切线的判定定理并进行推理论证是解题的关键． 21. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E，连接，当点E恰好在上时，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后计算即可． 【详解】解： 绕点C顺时针旋转得到，点E恰好在上， ． ， 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C． （1）求m的值以及点D坐标； （2）P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点A的坐标代入一次函数的解析式求出m，联立方程组求 D点坐标； （2）根据题意得出B ，C点的坐标，根据面积6，求得的长，设P点坐标为，故，解得或．进而得出结论． 【小问1详解】 解：把点代入，得． 联立， 得． 【小问2详解】 易知，，， 则． 设P点坐标为，故， 解得或． 所以P点坐标为或． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求该品牌电动车电池的电流与电阻的函数关系式； （2）当该电动车的工作电流为时，请计算此时的电阻． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键． （1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为，将点代入求解即可； （2）把，代入解析式求出对应的R即可． 【小问1详解】 解：设电流与电阻之间的函数表达式为， 由图象知，函数图象过点， ， 解得， 电流与电阻之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当该电动车的工作电流为时，此时的电阻值为． 24. 将4张印有我国传统节日“春节”“元宵节”“清明节”“中秋节”（卡片的形状、大小、质地都相同）的卡片放在一个不透明的盒子中，将卡片搅匀． （1）从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“春节”的卡片的概率为_________． （2）先从盒子中任意取出1张卡片，记录后放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片，求取出的2张卡片中，印有相同节日的概率（请用画树状图法或列表法求解）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得； （2）利用列表法列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得． 【详解】解：（1）从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“春节”的卡片的概率为． （2）记“春节”“元宵节”“清明节”“中秋节”分别为A，B，C，D，列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能性，其中印有相同节日的有这4种可能性， 所以取出的2张卡片中，印有相同节日的概率为． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求随机事件的概率及概率公式．用到的知识点：概率=所求情况数与总情况数之比． 25. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝6． （1）求直径AB的长． （2）求的长． 【答案】（1）12；（2） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的长； （2）连接，根据圆周角定理可得，进而根据弧长公式即可求得的长． 【详解】解：（1）， AB是⊙O的直径， 又AD＝6 （2）如图，连接， 又 则是等边三角形 的长为： 【点睛】本题考查了圆周角定理及推论，求弧长公式，掌握圆的相关知识是解题的关键． 26. 某公司研发了一款成本为元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售单价不低于成本不高于元．市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量个与销售单价元符合一次函数关系，如图所示． （1）求出与的函数关系式； （2）该公司要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）销售单价为元； （3）销售单价为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解； （3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案． 【小问1详解】 解：设y＝kx+b（k≠0，b为常数）， 将点（50，160），（80，100）代入得： 解得： ∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+260； 【小问2详解】 由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000 化简得：x2﹣180x+8000＝0 解得：x1＝80，x2＝100 ∵x≤50×（1+90%）＝95 ∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去） ∴销售单价为80元； 【小问3详解】 设每天获得的利润为w元，由题意得 w＝（x﹣50）（﹣2x+260） ＝﹣2x2+360x﹣13000 ＝﹣2（x﹣90）2+3200 ∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下， ∴w有最大值，当x＝90时， w最大值＝3200， ∴销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题的关键是掌握函数的性质． 27. 综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，4）． （1）求该二次函数的解析式． （2）二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点P，使得S△BOP＝6S△AOC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，D为线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交二次函数的图象于点E，求线段DE长度的最大值． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【解析】 【分析】（1）设二次函数的表达式为，将点代入，可得的值，即可得出二次函数的表达式； （2）设，表示出，再根据，解出n即可得出点E的坐标； （3）由，可求得的函数表达式是． 设，则，可得，即可求出长度的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点、． 设二次函数的表达式为，将点代入， 即 解得 即 该二次函数的表达式为； （2）解：∵、． ∴，． ，． 设，则，且． ∵， ∴， 即．解得． 当时，，解得，． ∴二次函数位于x轴上方的图像上存在点P，使得． 点P的坐标为或． （3）解：设直线BC的表达式为y＝kx+n，由，可得 ∴，解得， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4， 设，则． ∵． ∴当时，有最大值． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数以及一次函数表达式，分类讨论思想．解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期九年级学情监测 数学 注意事项：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列汉字中，属于中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 打开电视，它正在播广告 B. 367人中有两人的生日相同 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 打雷后会下雨 4. 如图，四边形是圆O的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，且∠C'AC=60°，则∠BAB'=（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 6. 在一个不透明袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有( )个 A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 7. 已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围是（　　） A B. C. D. 8. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，函数与函数的图象相交于点，．若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋b（ab≠0）的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 把一元二次方程(x－2)2＝5化为一般形式为______________. 12. 一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数小于3的概率是________________． 13. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．是上的点，，垂足为点．若，，则的半径为______ ． 14. 一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是_______平方米．（接缝不计） 15. 小球在如图所示的地板上自由地滚动并随机地停留在某块方砖上，则它最终停留在黑砖上的概率是______． 16. 如图，为直径，为的弦，，则的度数为_______． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 选择适当方法解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）点B关于坐标原点O对称的点的坐标为____________________； （2）将绕点C顺时针旋转，画出旋转后得到的． 19. 在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共8个，这些球除颜色外其他均相同．某学习小组做摸球试验，将球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，下表是试验中的统计数据． 摸球的次数 100 150 300 500 800 1100 摸到白球的次数 48 78 153 251 401 550 摸到白球的频率 （1）估计摸到白球的概率为______（精确到）； （2）试估计口袋中白球的个数． 20. 如图所示，是的直径，点是半圆上的一动点不与，重合，弦平分，过点作交射线于点．求证：与相切 21. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E，连接，当点E恰好在上时，求的大小． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C． （1）求m的值以及点D坐标； （2）P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求该品牌电动车电池的电流与电阻的函数关系式； （2）当该电动车的工作电流为时，请计算此时的电阻． 24. 将4张印有我国传统节日“春节”“元宵节”“清明节”“中秋节”（卡片的形状、大小、质地都相同）的卡片放在一个不透明的盒子中，将卡片搅匀． （1）从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“春节”的卡片的概率为_________． （2）先从盒子中任意取出1张卡片，记录后放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片，求取出的2张卡片中，印有相同节日的概率（请用画树状图法或列表法求解）． 25. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝6． （1）求直径AB的长． （2）求的长． 26. 某公司研发了一款成本为元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售单价不低于成本不高于元．市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量个与销售单价元符合一次函数关系，如图所示． （1）求出与的函数关系式； （2）该公司要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，每天获得利润最大？最大利润是多少元？ 27. 综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，4）． （1）求该二次函数的解析式． （2）二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点P，使得S△BOP＝6S△AOC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，D为线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交二次函数的图象于点E，求线段DE长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $