精品解析：辽宁省鞍山市岫岩满族自治县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

岫岩县2024-2025学年九年级竞赛数学试卷 （试卷满分100分，答题时间100分钟) 注意事项: 1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3.考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 一元二次方程的判别式的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形属于中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图是一个由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流与电阻之间的函数关系如图所示，如果此蓄电池电源的用电限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻应控制在（ ）范围内． A. B. C. D. 5. 如图，菱形的顶点A，B，C都在上，点为上一点，且点在优弧上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，现将此扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当落在上时，停止旋转，则线段（弧）的长（ ） A. B. C. D. 7. 在经历了抛掷硬币的实验之后，同学们得到了“正面向上的概率是0.5”这个结论，各小组同学又对其进行了解释说明，其中不正确的是（ ） A. 连续掷2次，结果不一定是“正面向上”和“反面向上”各1次 B. 连续掷100次，结果不一定是“正面向上”和“反面向上”各50次 C. 连续掷n次，当n越来越大时，“正面向上”的频率越来越稳定于0.5 D. 连续掷2n次，当n越来越大时，结果一定是“正面向上”n次 8. 历史上，我国魏晋时期数学家刘徽（公元263年左右）首创“割圆术”，估算圆周率近似为．实际上，由圆的周长，可得，即求圆周率的问题在某种意义上就可归结为求圆的周长，而圆的周长C是可以用圆内接正多边形的周长来近似代替的，因为当圆的内接正多边形的边数成倍增加时，它的周长就越来越接近圆的周长．如图，的半径为1，若以圆内接正六边形的周长近似估计的周长，可得的估计值为（ ） A. B. C. D. 3 9. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与运动时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 小球在空中经过的路程是45m B. 小球抛出3秒时，达到最大高度 C. 小球抛出3秒时速度最快 D. 小球的高度时， 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为__________度．（写出一个即可） 12. 如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点，轴于点，若四边形的面积等于，则反比例函数的解析式为 ____________________． 13. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为，当蜡烛火焰的高度是它在光屏上所成的像高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏________． 14. 如图，已知等边，，以为边作正方形（点、、、按逆时针方向排列），和的延长线相交于，点从点出发沿向点运动，到达点时停止，点在线段和上运动，且始终满足垂直于正方形的边，连接，，．当时，的面积是 ____________________． 15. 如图所示，在扇形中，，半径，点F位于的处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接、．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，阴影部分的周长为____________． 三、解答题（共7小题，共65分） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 17. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 18. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 19. 如图，在中，，将绕A逆时针方向旋转得到，点B经过的路径为弧，求图中阴影部分的面积． 20. 课堂上，老师给出了如下一道探究题：“如图，在边长为1的正方形组成的6×8的方格中，△ABC和△A1B1C1的顶点都在格点上，且△ABC≌△A1B1C1．请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得△ABC通过一次或两次变换后与△A1B1C1完全重合．” （1）小明的方案是：“先将△ABC向右平移两个单位得到△A2B2C2，再通过旋转得到△A1B1C1”．请根据小明的方案画出△A2B2C2，并描述旋转过程； （2）小红通过研究发现，△ABC只要通过一次旋转就能得到△A1B1C1．请在图中标出小红方案中的旋转中心P，并简要说明你是如何确定的． 21. 如图，在中，，以为直径的与相交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若弦垂直于，垂足为G，，求的直径． 22. 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点C与点D关于原点成中心对称，点E是y轴右侧抛物线上一点，连接，当时，求点E的坐标； （3）在(2)的条件下，在y轴上任取一点，过P，A，B三点作新抛物线． ①当新抛物线顶点在线段上时，求m的值． ②当新抛物线与线段只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岫岩县2024-2025学年九年级竞赛数学试卷 （试卷满分100分，答题时间100分钟) 注意事项: 1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3.考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 一元二次方程的判别式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的判别式，直接运用判别式的公式计算即可． 【详解】解：， ，，， ， 故选：D． 2. 下列图形属于中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是中心对称图形，则此项符合题意； B、不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、不是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合． 3. 如图是一个由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看易得上面第一层右边有1个正方形，第二层有两个正方形，如图所示： 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 4. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流与电阻之间的函数关系如图所示，如果此蓄电池电源的用电限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻应控制在（ ）范围内． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的图象即可得到结论． 【详解】解：从图中可以看出：的值随着的增加而减小，呈反比例函数关系， 设， 代入， 得， ， ， 令，则， 如果此蓄电池电源的用电限制电流不得超过，则用电器的可变电阻应控制在范围内， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象，能够读懂反比例函数的图象是解决问题的关键． 5. 如图，菱形的顶点A，B，C都在上，点为上一点，且点在优弧上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是根据菱形四边都相等得到是等边三角形，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 【详解】解：连接， ∵菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选B． 6. 如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，现将此扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当落在上时，停止旋转，则线段（弧）的长（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及弧长公式，根据题意可得的长，求出的长即可求解，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，的长， ∵， ∴的长， ∴， 故选：． 7. 在经历了抛掷硬币的实验之后，同学们得到了“正面向上的概率是0.5”这个结论，各小组同学又对其进行了解释说明，其中不正确的是（ ） A. 连续掷2次，结果不一定是“正面向上”和“反面向上”各1次 B. 连续掷100次，结果不一定是“正面向上”和“反面向上”各50次 C. 连续掷n次，当n越来越大时，“正面向上”的频率越来越稳定于0.5 D. 连续掷2n次，当n越来越大时，结果一定是“正面向上”n次 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识．利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”进行判断即可． 【详解】解：A、连续掷2次，结果不一定是“正面向上”和“反面向上”各1次，此说法正确，故不符合同意； B、连续掷100次，结果不一定是“正面向上”和“反面向上”各50次，此说法正确，故不符合同意； C、连续掷次，当越来越大时，“正面向上”的频率越来越稳定于0.5，此说法正确，故不符合同意； D、连续抛掷次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半，抛掷次，当越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5，此说法错误，故符合同意； 故选：D． 8. 历史上，我国魏晋时期数学家刘徽（公元263年左右）首创“割圆术”，估算圆周率近似为．实际上，由圆的周长，可得，即求圆周率的问题在某种意义上就可归结为求圆的周长，而圆的周长C是可以用圆内接正多边形的周长来近似代替的，因为当圆的内接正多边形的边数成倍增加时，它的周长就越来越接近圆的周长．如图，的半径为1，若以圆内接正六边形的周长近似估计的周长，可得的估计值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，正确求出正六边形的周长是解题的关键．根据圆内接正多边形的性质可得，可求得正六边形的周长，即可求解． 【详解】解：如图， ∵正六边形的中心角，， ∴为等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长为， ∴， ∴， 故选D 9. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与运动时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 小球在空中经过的路程是45m B. 小球抛出3秒时，达到最大高度 C. 小球抛出3秒时速度最快 D. 小球的高度时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用．根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】解：A、小球能达到的最高高度是45m，故选项错误； B、小球抛出3秒时，达到最大高度，故选项正确； C、小球抛出3秒时速度为0，故选项错误； D、由图象，设函数表达式为：，图象经过原点， ∴， 解得：， ∴， 当时，或；故选项错误； 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为__________度．（写出一个即可） 【答案】60或120或180或240或300（写出一个即可） 【解析】 【分析】如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得． 【详解】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角， ， 角可以为或或或或， 故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角、图形的旋转，熟练掌握正多边形的性质是解题关键． 12. 如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点，轴于点，若四边形的面积等于，则反比例函数的解析式为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象，根据反比例函数系数k的几何意义找出是解题的关键． 利用反比例函数系数k的几何意义结合四边形的面积等于即可求出k值，再根据反比例函数在第二象限有图象，由此即可确定k值，此题得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为 点A作轴于点，轴于点， ∴四边形是矩形， 设点坐标为 ， 解得：， 反比例函数在第二象限有图象， ， 反比例函数的解析式为 故答案为：． 13. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为，当蜡烛火焰的高度是它在光屏上所成的像高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用．先证，根据“相似三角形的相似比等于对应边上的高的比”即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知， ，， ， 设带“小孔”的纸板距离光屏距离为x， 则， 解得， 即带“小孔”的纸板距离光屏． 故答案为：20． 14. 如图，已知等边，，以为边作正方形（点、、、按逆时针方向排列），和的延长线相交于，点从点出发沿向点运动，到达点时停止，点在线段和上运动，且始终满足垂直于正方形的边，连接，，．当时，的面积是 ____________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况：当点在线段上时，设，求出，运用勾股定理可得，结合，即，列方程求解得，，进而根据求出面积；当点在线段上时；当点在点处，点在线段上时，同法求出，，进而求解． 【详解】解：当点在线段上时，如图，延长交于点G，设， 由题意得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴； 当点在线段上时，如图，延长交于点G， 设， 则，， 同理可得：，， 在中，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∴； 当点在点处，点在线段上时， ∵， ∴设，则， ∴， 在中，， ∴， 化简得：， 解得： 或（舍去）， ∴， ∴； 故答案为：或或． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，解一元二次方程等知识，熟练掌握等边三角形的性质，正方形的性质，灵活运用解直角三角形进行计算是解决问题的关键． 15. 如图所示，在扇形中，，半径，点F位于的处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接、．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，阴影部分的周长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】当EF取最小值时，E是OF的中点，根据是等边三角形可以求出BE，再利用弧长公式计算得到弧长 【详解】∵ CD长不变，∠AOB=90°，E为CD的中点， ∴ 点E的轨迹是以O为圆心，为半径的 作出如图所示，连接OF交于E，连接BF，此时O、E、F三点共线， ∴ EF的长度最小，最小值为，E为OF的中点， ∵点F是的三等分点 ∴ ∴ 为等边三角形 ∴ 在中， 又∵的长为 ∴ 阴影部分的周长为 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的定义，等边三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，弧长的计算公式，根据圆的定义判断出点E的轨迹以及E为OF中点时EF长最小是解题关键，涉及到动点结合最值考查首先应判断动点的轨迹，再依据基本事实求解． 三、解答题（共7小题，共65分） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． （1）利用配方法计算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 ， ， ， ， ，或， ，． 【小问2详解】 ， ， ， ， 或， ，． 17. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】 （1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 18. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了个人 （2）经过三轮传染后共有个人会患流感 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，熟练掌握传播问题解法是解决问题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，则开始是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中求得每轮传染中平均一个人传染人数，直接计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则开始时是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人， ， 则， 即， 或， 解得或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人； 【小问2详解】 解：经过第二轮传染后共计81人，则第三轮传染人， 经过三轮传染后，会患流感人数为人， 答：经过三轮传染后共有个人会患流感． 19. 如图，在中，，将绕A逆时针方向旋转得到，点B经过的路径为弧，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵将绕A逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质，根据图形得到是解题的关键． 20. 课堂上，老师给出了如下一道探究题：“如图，在边长为1的正方形组成的6×8的方格中，△ABC和△A1B1C1的顶点都在格点上，且△ABC≌△A1B1C1．请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得△ABC通过一次或两次变换后与△A1B1C1完全重合．” （1）小明的方案是：“先将△ABC向右平移两个单位得到△A2B2C2，再通过旋转得到△A1B1C1”．请根据小明的方案画出△A2B2C2，并描述旋转过程； （2）小红通过研究发现，△ABC只要通过一次旋转就能得到△A1B1C1．请在图中标出小红方案中的旋转中心P，并简要说明你是如何确定的． 【答案】 （1）如图所示，△A2B2C2即为所求， （2）如图所示，则点P即为旋转中心． 【解析】 【分析】（1）根据平移的方向和距离，即可得到△A2B2C2，将△A2B2C2绕着点B1顺时针旋转90°，即可得到△A1B1C1． （2）连接CC1，BB1，作CC1的垂直平分线，BB1的垂直平分线，交于点P，根据对应点到旋转中心的距离相等，即可得到点P即为旋转中心． 【详解】解：（1）略 （2）略 21. 如图，在中，，以为直径的与相交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若弦垂直于，垂足为G，，求的直径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 是的半径 是的切线 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，可得，结合，从而可得结论； （2）连接， 求解，证明，再利用勾股定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∴， 是直径，， ∴， ， ， ， 在中 即 ∴， 即⊙O的直径为 ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，垂径定理的应用，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22. 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点C与点D关于原点成中心对称，点E是y轴右侧抛物线上一点，连接，当时，求点E的坐标； （3）在(2)的条件下，在y轴上任取一点，过P，A，B三点作新抛物线． ①当新抛物线顶点在线段上时，求m的值． ②当新抛物线与线段只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）①由待定系数法求出抛物线表达式，当时，，即可求解； ②根据图象知，当或时，新抛物线与线段只有一个公共点；求出新抛物线的表达式为：，联立上式和并整理得：，则，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：过点E作轴于点H，由抛物线的表达式知，点，则点， 则， 则， 则， 则点； 【小问3详解】 解：①令，则或3， 则点A、B的坐标分别为：、，则抛物线的对称轴为直线， 由点D、E的坐标得，设直线的表达式为：，则， 解得：， 直线的表达式为：， 当时，， 则顶点的坐标为：； 设新抛物线的表达式为：， 把代入上式得：， 解得：， 当时，， 即； ②根据图象知，当或时，新抛物线与线段只有一个公共点； 设新抛物线的表达式为：． 将点A、P的坐标代入抛物线表达式得：， 即，， 则新抛物线的表达式为：， 联立上式和并整理得：， 则， 解得：（不合题意的值已舍去）， 综上，m的取值范围为：或或． 【点睛】该题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $