精品解析：甘肃省天水市第一中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

天水一中高三下学期开学考试试卷 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，即得解. 【详解】解：由题得， 所以复数在复平面内对应的点的坐标是. 故选：B 2. 已知集合，，则A∪B＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的并集定义计算即可. 【详解】∵， ∴． 故选：B． 3. 若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和充分不必要条件的定义可得答案. 【详解】由题意可知，，，， 若，则，或1（舍去）， 若，，或13， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 4. 莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大､内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟､莫高窟三层楼16号窟､藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合知识求得基本事件的个数后可得概率． 【详解】8个开放洞窟中有3个最值得参观， 所求概率为． 故选：B． 5. 设等差数列的前n项和为，且，，则取最小时，（ ） A. 4045 B. 4044 C. 2023 D. 2022 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，利用等差数列前n项和公式及其性质得，，进而得出结论． 【详解】等差数列的前项和为，且，， ，， ，， ，公差，则当时最小． 故选：D 6. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知条件得、及直线为，联立直线与渐近线方程求坐标，根据得，最后及离心率计算公式即可得出结果． 【详解】如下图示， 因为，，是中点， 所以是中点且，则，， 因为直线是双曲线的渐近线， 所以，，直线的方程为， 联立，解得，则，整理得， 因为，所以，. 故选：A 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项后可得正确结论． 【详解】由已知，为奇函数，排除BD； 又时，，时，，，即时，，所以恒成立，排除C． 故选：A． 8. 设，，，这三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式得到，结合的单调性，比较出，先利用多次求导，得到，，从而得到，比较出. 【详解】， ∵，而在上单调递增， ∴ 且时，，以下是证明过程： 令，， ，令， 故，令， 故，令， 则，令， 故，令， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以，故在上单调递增， ∴， ∴， ∴. 故选：C． 【点睛】方法点睛：麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下： ， ， ， ， ， . 二.多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知两非零向量，，若，则，的夹角为锐角 B. 若向量，则 C. 在中，若，则，反之也对 D. 在锐角中，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由 与 同向时夹角为不是锐角，判断A错误； 若向量，则，判断B正确； 由正弦定理可判断C正确； 根据锐角三角形三个内角都是锐角可求得，D正确． 【详解】对于A， 与 同向时，满足，此时夹角为，不是锐角，故A错误； 对于B，由向量垂直的定义可知，若向量，则，故B正确； 对于C，由正弦定理得，，故C正确； 对于D，由，可得，即，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知一只钟表的时针与分针长度分别为和，设点为时刻，的面积为，时间t（单位：时），则以下说法中正确的选项是（ ） A. 时针旋转的角速度为 B. 分针旋转的角速度为 C. 一小时内（即时），为锐角的时长是 D. 一昼夜内（即时），取得最大值为44次 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意判断选项A与B，或，，即可判断选项C，再根据，即可判断选项D. 【详解】旋转的角速度为，A对． 旋转的角速度为，B错． 或，， 则或，，C对． 的周期为且每个周期仅出现一次最大值 故最大值取得的次数为，D对， 故选：ACD． 11. 已知是两个不同平面，是两条不同直线，则下述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是异面直线，则与相交 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A选项，与相交时满足；对于B选项，由线面垂直与线面平行性质可判断；对于C选项，与相交或；对于D选项，根据线面垂直判定定理判断. 【详解】解：对于A选项，当，与相交时，，故错误； 对于B选项，线面垂直与线面平行性质知当，则，正确； 对于C选项，若是异面直线，则与相交或，故错误； 对于D选项，根据线面垂直的判定定理得：若，则，故正确. 故选：BD 三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，可知展开式中含的项，以及展开式中含的项，再根据组合数的运算即可求出结果. 【详解】解：由题意可得，展开式中含的项为， 而展开式中含的项为， 所以的系数为. 故答案为：. 13. 已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点，则函数的极小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的导数与，即可求出切线方程，又切线过点，代入求出参数的值，再利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极小值. 【详解】解：因为，所以，即切点， 又，， 所以切线为，又切线过点， ∴，解得， 所以，则， 所以当或时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即． 故答案为： 14. 在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，现将△ABC沿对角线AC翻折，得到四面体D-ABC，则该四面体外接球的体积为________；设二面角D－AC－B的平面角为θ，当θ在内变化时，BD的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别过点，作，计算得到，得到半径和体积，根据，计算，得到答案. 【详解】如图1，分别过点，作，垂足分别为F，E， 则在四面体中也满足． 因为，，所以，， 则，． 在四面体ABCD中，三角形ABC和三角形DAC均为直角三角形， 设点O为AC的中点，如图2，连接OB，OD，则， 即点O为四面体ABCD外接球的球心，则外接球的半径， 所以外接球的体积． 在四面体ABCD中，， 因为二面角的平面角为θ，且， 所以和的夹角为， 所以 因为，所以，则． 故答案为：； 四.解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若，，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式对已知等式进行化简可得值，又由，可求A． （2）利用平面向量数量积的运算可得的积，进而由余弦定理即可求解． 【小问1详解】 （1）， ，可得， ，，又，． 【小问2详解】 ， ，，. 又由，根据余弦定理得： ． 16. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式列方程组求解即可. （2）根据错位相减法及等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，则前项和为. 所以，即， 解得，，所以. 因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 . ， ， 所以 ， 即， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点． （1）证明：平面． （2）若平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 取的中点G，连接， 分别为的中点， ， 又底面ABCD为菱形，， ， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点G，连接，根据线面平行的判定定理只需证明,要想证明，也就是要证明四边形为平行四边形，即证且. （2）由已知可得两两垂直，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 平面，平面， ， 四边形为菱形，， 为等边三角形， F为的中点， ， ， ， 两两垂直， 以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 由可知， 则， 设平面的法向量， 则，令，得，，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 18. 为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成． （1）求小明至少正确完成其中3道题的概率； （2）设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望； （3）现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由． 【答案】（1） （2） X 2 3 4 P ，3 （3） 由（1）知，小明进入决赛的概率为； 记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则； 因为，故小宇进决赛的可能性更大， 所以应选择小宇去参加比赛． 【解析】 【分析】（1）小明至少正确完成其中3道题包含两种情况：一是小明正确完成3道题，二是小明正确完成4道题，然后由互斥事件的概率公式求解即可； （2）由题意得X的可能取值为2，3，4，然后求各自对应的概率，从而可求出X的分布列及数学期望； （3）分别计算出他们两人至少完成其中3道题的概率，通过比较概率的大小可得答案. 【小问1详解】 记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则 ． 【小问2详解】 X的可能取值为2，3，4 ， ， ， X的分布列为； X 2 3 4 P 数学期望． 【小问3详解】 略 19. 已知函数在处的切线方程为 （1）求实数，的值； （2）设函数，当时， 恒成立，求的最小值． 【答案】（1）， （2）0 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）当时， 恒成立，只要即可，利用导数求出上的最大值即可得出答案. 【小问1详解】 定义域为，， 由题意知， 解得，； 【小问2详解】 ， 则， 令，其中，则， 所以函数在上单调递增， 因为，，所以存在唯一， 使得，即，可得， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减． 所以当时，， 因为，，所以， 当且仅当，即时，取等号， 又因，所以， 即，因为，， 所以当时，， 因为当时， 恒成立， 所有. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点在于把恒成立问题通过分离参数转化为新函数的最值问题，转化后利用导数判断出其定义域上的单调性求出值域或最值问题就解决了. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水一中高三下学期开学考试试卷 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知集合，，则A∪B＝（ ） A. B. C. D. 3. 若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大､内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟､莫高窟三层楼16号窟､藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前n项和为，且，，则取最小时，（ ） A. 4045 B. 4044 C. 2023 D. 2022 6. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，这三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二.多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知两非零向量，，若，则，的夹角为锐角 B. 若向量，则 C. 在中，若，则，反之也对 D. 在锐角中，若，则 10. 已知一只钟表的时针与分针长度分别为和，设点为时刻，的面积为，时间t（单位：时），则以下说法中正确的选项是（ ） A. 时针旋转的角速度为 B. 分针旋转的角速度为 C. 一小时内（即时），为锐角的时长是 D. 一昼夜内（即时），取得最大值为44次 11. 已知是两个不同平面，是两条不同直线，则下述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是异面直线，则与相交 D. 若，则 三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数是___________. 13. 已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点，则函数的极小值为__________． 14. 在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，现将△ABC沿对角线AC翻折，得到四面体D-ABC，则该四面体外接球的体积为________；设二面角D－AC－B的平面角为θ，当θ在内变化时，BD的取值范围为________． 四.解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若，，求a的值． 16. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点． （1）证明：平面． （2）若平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成． （1）求小明至少正确完成其中3道题的概率； （2）设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望； （3）现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由． 19. 已知函数在处的切线方程为 （1）求实数，的值； （2）设函数，当时， 恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $