精品解析：云南省文山壮族苗族自治州文山市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

高二年级数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列的一个通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线平行，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 3. 设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ） A. 211 B. 210 C. 11 D. 9 4. 已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（     ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆恰有三条公切线，则（ ） A. 15 B. 23 C. 21 D. 17 6. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点， 则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和为Sn，且，，则的值为 （ ） A. 949 B. 1160 C. 1276 D. 2261 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 等差数列为单调递增数列 B. 数列是递增数列 C. 有最小值 D. 存在正整数，当时，总有 10. 已知圆 直线，则以下几个命题正确的有 （ ） A. 直线恒过定点 B. 圆C被轴截得弦长为 C 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（ ） A. B. 双曲线离心率为 C. 双曲线的焦距为 D. 的面积为 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线l外一点，直线l过原点O，且平行于向量，则点A到直线l的距离为 _________. 13. 已知正项数列{}是公比不等于1的等比数列，且 若 则 __________. 14. 过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为______. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记为数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）若，求整数最小值． 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点分别是线段上的点，且． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知椭圆经过点，离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线不经过点，且与椭圆相交于两点，直线和直线的斜率分别记为，，证明： 18. 已知为等差数列，为等比数列，，，. （1）求和的通项公式； （2）令，求数列的前项和； （3）记，是否存在实数，使得对任意的正整数，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 19. 已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，作点关于轴的对称点，记的坐标为. （1）求抛物线的方程； （2）求数列的通项公式，并求数列的前项和； （3）求面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列的一个通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用观察法归纳总结出数列的一个通项公式即可. 【详解】因为， 所以数列的一个通项公式可以是， 显然A、B中时对应项不符合，D中时对应项不符合. 故选：C 2. 已知直线与直线平行，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行的充要条件直接列式求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或. 故选：D. 3. 设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ） A. 211 B. 210 C. 11 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】设出等比数列的公比，利用等式求得，根据等比中项，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，即， 故. 故选：C. 4. 已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B 5. 已知圆与圆恰有三条公切线，则（ ） A. 15 B. 23 C. 21 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程形式，确定圆，圆的圆心和半径，根据条件可得两圆外切，结合圆的位置关系列方程求. 【详解】的标准形式为. 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切， 所以，解得. 故选：B. 6. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由关系以及离心率、可得双曲线方程，进一步代入即可求解. 【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有， 又由双曲线的离心率为，有， 可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为. 故选：B. 7. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点， 则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出抛物线的方程为，设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，从而求出的最小值即可. 【详解】 因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为：，不妨设， 联立方程，整理得，则， 故，又， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：A. 8. 已知数列的前n项和为Sn，且，，则的值为 （ ） A. 949 B. 1160 C. 1276 D. 2261 【答案】A 【解析】 【分析】先判断数列为等比数列，求出其通项公式，再求数列的通项公式，分组求和，可得问题答案. 【详解】由题意：，， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以. 所以， 所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：类似这种数列问题，一般是有规律的，可以先求出数列的前几项，观察数列的规律，再想办法证明即可. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列前项和为，且，则（ ） A. 等差数列为单调递增数列 B. 数列是递增数列 C. 有最小值 D. 存在正整数，当时，总有 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题设得公差即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，由以及等差数列前n项和性质结合一元二次函数性质即可判断；对于D，由等差数列的函数性质即可判断. 【详解】对于A，设等差数列的公差为，则， 所以等差数列为单调递增数列，故A正确； 对于B，不妨取，则不是递增数列，故B错误； 对于C，因为，， 所以由二次函数图象性质知必有最小值，故C正确； 对于D，因为，结合一次函数性质，不论为何值，存在正整数，当时，（）. 故选：ACD. 10. 已知圆 直线，则以下几个命题正确的有 （ ） A. 直线恒过定点 B. 圆C被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最短时，直线与直线垂直，从而判断选项D. 【详解】选项A中，直线的方程整理得， 由，解得，∴直线过定点，故A正确； 选项B中，在圆方程中令，得，解得， ∴轴上的弦长为，故B错误； 选项C中，，∴在圆内，直线与圆一定相交，故C正确； 选项D中，直线被圆截得弦最短时，直线且， ∴，则直线方程为，即，故D错误. 故选：AC. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 双曲线的焦距为 D. 的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知及双曲线的定义得且、，再依次判断各项的正误. 【详解】如图所示，若为直角三角形， 由双曲线的对称性知，且， 设，由双曲线的定义得. 在直角三角形中，由勾股定理得，解得， 所以， 则的面积为：，D正确； 由，得，C正确： 由知，，则，A错误： 双曲线的离心率，B正确， 故选：BCD 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线l外一点，直线l过原点O，且平行于向量，则点A到直线l的距离为 _________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量求点到直线的距离公式计算作答. 【详解】依题意，直线l的方向向量为，则在方向上的投影向量长， 所以点A到直线l的距离为. 故答案为： 13. 已知正项数列{}是公比不等于1的等比数列，且 若 则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知和函数可得，利用倒序相加即可得. 【详解】由等比数列性质可得；， 又因为函数，所以， 即，所以； 令， 则； 所以， 即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用等比数列的性质得；，进而计算的值，从而解决求值问题. 14. 过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得，再设，点坐标代入椭圆方程相减得出直线与直线斜率的关系，从而求得的关系，结合可求得得椭圆方程． 【详解】在中令得，所以椭圆右焦点为，即， 设，，， ∴，两式相减得， 所以，即，从而， ∴， 又，因此， ∴椭圆标准方程， 故答案为： 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记为数列的前项和，已知，． （1）求通项公式； （2）若，求整数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，利用构造法以及整体代换思想可得是以为首项、为公比等比数列，从而得出结论； （2）利用分组求和法以及等比数列的前n项和求解即可. 【小问1详解】 已知，， ， 是以为首项、为公比的等比数列， ． 【小问2详解】 由（1）可知，， ， ， ； 由，可得， 为整数， 的最小值为2026． 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点分别是线段上的点，且． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系得到，借助数量积公式计算即可; （2）利用向量法求出平面与平面的法向量，求出二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，且四边形是矩形， 所以两两垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 根据题意，因为，且. 所以． 因为， 所以，即． 【小问2详解】 由（1）得． 设是平面的一个法向量， 则， 令，得，所以． 因平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量为． 因为， 结合图形可得：平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知椭圆经过点，离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线不经过点，且与椭圆相交于两点，直线和直线的斜率分别记为，，证明： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据斜率公式化简，代入的值即可得证. 【小问1详解】 由题意可得，，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为，， 联立，消得， 则，解得， 则， ， 所以. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 18. 已知为等差数列，为等比数列，，，. （1）求和的通项公式； （2）令，求数列的前项和； （3）记，是否存在实数，使得对任意的正整数，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的基本量的运算列方程求公差、公比即可得解； （2）利用错位相减法求和即可； （3）化简，根据为奇数、偶数分类讨论后分离参数，求最值即可得解. 【小问1详解】 为等差数列，为等比数列. 设公差为，公比为， 由，，， 可得，即， 又，解得， 可得，； 【小问2详解】 由（1）知， 设， ， 以上两式相减，得， 所以， 即数列的前项和为； 【小问3详解】 由题设可得，要使对任意的正整数，恒有， 即，即恒成立. 当为奇数时，恒成立， 而，故且； 当为偶数时，恒成立， 而，故且， 综上，存在实数，使得对任意的正整数，恒有. 19. 已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，作点关于轴的对称点，记的坐标为. （1）求抛物线的方程； （2）求数列的通项公式，并求数列的前项和； （3）求的面积. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由代入抛物线方程，求出，即可得解； （2）依题意可得直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，即可得到，从而数列的通项公式，再由，利用裂项相消法计算可得； （3）由（2）可知：，，，求出点到直线的距离及，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，则，解得， 所以抛物线的方程； 【小问2详解】 由可知，， 因为点在抛物线上，则，且， 过，，且斜率为的直线， 联立方程，消去可得， 解得或，，可得， 所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列，所以， 又，， ； 【小问3详解】 由（2）可知：，，， 直线的方程为， 即， 点到直线的距离为， ， 所以的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$