精品解析：2025年山东省滨州市初中学业水平考试适应性训练（九年级下学期开学考数学试题）

滨州市二〇二五年初中学业水平考试适应性训练 数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的． 1. 在数轴上，点A表示的数是3的相反数，从点A出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（ ） A. 7 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数，数轴和有理数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，得到点表示的数，再根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，求出点表示的数即可． 【详解】解：由题意，点A表示的数是，从点A出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达点B， ∴点表示的数为：；   故选：D ． 2. 下列几何体中，俯视图与左视图形状相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图，分别判断出各立体图形的俯视图和左视图，即可得出结果． 【详解】解：A、俯视图为圆，左视图为三角形，不相同，不符合题意； B、俯视图为圆，左视图为长方形，不相同，不符合题意； C、俯视图和左视图均为正方形，符合题意； D、俯视图为三角形，左视图为长方形，不相同，不符合题意；   故选： C． 3. 国际数学家大会（），是由国际数学联盟（）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次．会议是数学家们为了数学交流，展示、研讨数学的发展，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．首届国际数学家大会1897年在瑞士苏黎世举行，2002年第24届国际数学家大会在我国北京举行．以下是四届大会的会徽，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，一个图形绕一点旋转180度后，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可. 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意；   故选：B ． 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D 【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行判断． 5. 三角形的三边分别为，，，其中，且满足，，若为整数，则的长是（ ） A. 3或4 B. 4或5 C. 4或6 D. 5或6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解不等式组，先由，，得，解得，结合为整数，即可作答． 【详解】解：∵三角形的三边分别为，，，其中，且，，， ∴， 解得， ∵为整数， ∴的长是4或5， 故选：B． 6. 习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”．现从某校2000名初三学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的锻炼时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图，其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为1小时的学生人数占样本总人数的，则下列说法正确的是（ ） A. 锻炼时长为1.5小时是这个样本的众数 B. 该样本中学生平均每天锻炼时长为1小时 C. 锻炼时长为1小时是这个样本的中位数 D. 该校锻炼用时为2小时的学生少于200名 【答案】A 【解析】 【分析】算出抽查总人数，再求出锻炼时长为1.5小时的人数，即可可判断A；运用平均数的公式进行列式计算，即可判断B；结合中位数的定义，则锻炼时长为1.5小时是这个样本的中位数，即可判断C；运用样本估计总体，得该校锻炼用时为2小时的学生大于200名，即可判断D．本题考查条形统计图、用样本估计总体，平均数，中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：样本容量是， 则（人）， ∴锻炼时长为1.5小时是这个样本的众数 故A正确， ， ∴该样本中学生平均每天锻炼时长为小时，故B错误， ∵， ∴锻炼时长为1.5小时是这个样本的中位数，故C错误， 依题意，， ∴该校锻炼用时为2小时的学生大于200名，故D错误， 故选A． 7. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据图象可知抛物线过点，利用对称轴求出点的对称点，结合图象求出当时的自变量的取值范围即可. 【详解】解：由图象可知：抛物线过点，对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为， 由图象可知，当时，或；   故选： B． 8. 如图，的角平分线交其外接圆于点，以下说法不正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则． 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接，过点作延长线于点，作于点，运用勾股定理得到的关系，由角平分线的性质，全等三角形的判定方法得到和，得到，由此可判定A，B，C选项；将线段绕点逆时针旋转并延长交于点，过点作延长线于点，根据含角的直角三角形，锐角三角函数的计算方法得到，，运用等腰直角三角形的判定和性质在中，得到，，由此即可判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：A、若，则， 如图所示，连接，过点作延长线于点，作于点， ∵，平分， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴，故A选项正确，不符合题意； B、若，则； 如图所示，连接，过点作延长线于点，作于点， 同理，，，，， ∴， ∴，则，即， ∴，则，， ∴，故B选项正确，不符合题意； C、若，则； 如图所示，连接，过点作延长线于点，作于点， 同理，，，， ∴，则，即， ∴，则，， ∴，故C选项正确，不符合题意； D、若，则． 如图所示，连接，过点作延长线于点，作于点， 同理，，， 将线段绕点逆时针旋转并延长交于点，过点作延长线于点， ∴， ∴在中，，则，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 整理得，，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了三角形外接圆，半圆或直径所对圆周角为直角，勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形判定和性质，锐角三角函数的计算等知识的综合运用，掌握三角形外接圆的综合知识，数形结合分析思想是解题的关键． 第II卷（非选择题 共96分） 二、填空题：本大题共7个小题，每小题3分，满分21分． 9. 从国家统计局网站获悉，截止到2024年末，全国人口140828万人（包括31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口，不包括居住在31个省、自治区、直辖市的港澳台居民和外籍人员），比上年末减少139万人．其中数据139万人，用科学记数法表示为_____人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可，确定的值，是解题的关键． 【详解】解：139万； 故答案为： ． 10. 已知直线经过点与，则_____0．（填“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，待定系数法求出函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：把点与，代入，得： ，解得：， ∴； 故答案为：． 11. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式有意义，根据分式的分母不为0时，分式有意义，二次根式的被开方数为非负数时，二次根式有意义，进行求解即可 ． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： ． 12. 如图，中，，将绕点逆时针旋转，若，，点旋转后的对应点为，则的长是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质，勾股定理，数形结合分析思想是解题的关键． 根据旋转的性质得到点三点共线，共线，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：中，，，， ∴， 根据题意，作图如下， ∵，将绕点逆时针旋转，即， ∴， ∴点三点共线，共线， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 如图，菱形的对角线相交于坐标原点，轴，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，解直角三角形，菱形的性质，设交轴与点，根据菱形的性质，同角的余角相等，推出，进而求出的长，得到点的坐标，进而求出值即可． 【详解】解：∵菱形，轴，点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； 故答案为：． 14. 如图，是的弦，是过点的切线，若，则所对的圆周角的度数为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，根据切线的性质，得到，角的和差关系求出的度数，等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而求出弦对应的优弧和劣弧的度数，从而求出所对的圆周角的度数即可． 【详解】解：∵是过点的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弦所对的劣弧的度数为：，所对的优弧的度数为：， ∴所对的圆周角的度数为或； 故答案为：或． 15. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． （1）的长等于_____； （2）只用无刻度的直尺作出的边上的高．（保留作图痕迹） 【答案】（1）（2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，无刻度尺网格作图： （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）延长至点，取格点，连接，与的交点即为点． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）如图，即为所求； 由图可得：， ∴， ∴，即：， ∴． 三、解答题：本大题共8个小题，满分75分．解答时请写出必要的演推过程． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可. 【详解】解：原式. 17. （1）解方程： （2）解不等式组： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，求不等式组的解集： （1）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； （2）， 由①，得：， 由②，得：， ∴不等式组的解集为：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，负指数幂，特殊角的三角函数值的计算，掌握分式的性质，锐角三角函数值的计算，代入求值是关键． 根据分式的性质，分式的混合运算法则先化简，再计算负指数幂，锐角三角函数值，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 已知，， ∴原式． 19. 2024年11月7日，首届世界古典学大会在北京雁栖湖国际会展中心开幕．大会主题为“古典文明与现代世界”，作为这场盛会的发起者，中国不仅是为了汇聚更多学者研究古典学，更是向世界推介“和而不同”的大国智慧．为传承国学经典，弘扬传统文化，某学校开展了“品古典文学之美，悟中华文化之魂”经典阅读活动，学生根据自己的爱好从以下四本书中选择其中一本进行阅读：A．《诗经》B．《楚辞》C．《西游记》D．《红楼梦》，为更好的了解学生选择阅读书目情况，通过抽样调查方式对部分学生进行问卷调查，根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为_____人，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B所对应的圆心角度数是_____； （3）9年级3班选派甲、乙两位同学参加全校经典阅读汇报活动，请用画树状图或者列表法，求甲、乙两位同学选择同一种经典书籍进行汇报的概率． 【答案】（1） 100，补全条形图如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了列树状图或列表法进行求概率，条形统计图与扇形统计图，求圆心角，画条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用类别的人数除以其的占比，求出总人数，再运用减法求出类别的人数，即可作答． （2）直接运用B类别的占比乘，进行计算，即可作答． （3）先画出树状图，得出等可能结果共有16种，满足条件的等可能结果有4种，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（人）， ∴学校此次被调查的学生总人数为100人． ∴（人）， 图如答案所示； 故答案为：100， 【小问2详解】 解：依题意， 因此B所对应的圆心角度数是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：依题意，画树状图如下： 由树状图可知，出现的等可能结果共有16种， 即，，，，，，，，，，，，，，，，这些结果出现的可能性相等． 其中甲、乙同学选择同一种经典书籍（记为事件）的等可能结果有4种， 分别为，，，， ∴． 20. （1）如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．若，，要使这三家农户所得土地的形状、大小相同，请你试着分一分．用两种不同的作图方法作出来．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在，，，，在、上各有一个动点，，要使的值最小，请画出示意图（画图工具不限）确定，的位置，并直接写出的最小值． 【答案】（1）如图所示，即为所求作： （2）如图所示，，的最小值为 【解析】 【分析】（1）作的角平分线，再过点作的垂线，根据角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质即可求解； （2）根据（1）的作图及证明方法可得点是的角平分线，，则，所以，所以的最小值即为的值，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴先作的角平分线，交于点，再过点作的垂线， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴这三家农户所得土地的形状、大小相同； （2）根据（1）的作图及证明方法可得点是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小 值即为的值， 在中，，，， ∴，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，作垂线，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握尺规作图的方法，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 【问题呈现】 某宾馆有45个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【模型构建】 方法 函数模型 方法一：设，宾馆利润为元． 方法二：设每间房增加元，宾馆利润为元． 方法三：设，宾馆利润为元． （1）从下列三个选项中选择其中一个填空． ①房价提高后，每间房的利润为元；②房价提高后，每间房定价为元；③每间房增加元． 方法一函数模型中的表示_____（填序号）；方法三函数模型中的表示_____（填序号）． （2）请把方法二的函数模型补充完整，填在下面的横线上． _______________________________________________________________________． 【问题解答】 （3）请你从以上三种方法中选择其中一种完整解答本题． 【答案】（1）③，② （2） （3）方法一： ， ∴当时，取得最大值， （元）； 答：当房价定为560元时，宾馆利润最大； 方法二： ， ∴当时，取得最大值， （元）； 答：当房价定为560元时，宾馆利润最大； 方法三： ， ∴当时，取得最大值， 答：当房价定为560元时，宾馆利润最大． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，结合函数解析式，得出表示的意义即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可； （3）利用二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）方法一：中，表示的是每间房增加元； 方法三：中，表示的是房价提高后，每间房定价为元； 故答案为③，②； （2）设每间房增加元，宾馆利润为元，由题意，得：； 故答案为：； （3） 略 22. 如图，在中，，三条边，，及边上的高分别记为，，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出，，，这4个量的一个等量关系，然后给出证明． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∵三条边，，及边上的高分别记为，，，， ∴； （2）证明：∵在中，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴； （3） 解：，证明如下： 连接并延长，交于点，连接，则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等积法即可得证； （2）利用勾股定理，结合（1）中结论即可得证； （3）连接并延长，交于点，连接，圆周角定理，得到，进而得到，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 【背景】 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．我们可以用数学的方法定义“美感”，把“美感”量化． 【初识】 把上面的问题一般化，如图1，在线段上找一点，把分为和两段，是较短的一段，则当时，雕像富有“美感”．人们把此时的比值叫做黄金比值．易知，如果较长一段与整个线段的比是黄金比，那么较短一段与较长一段的比也是黄金比．点叫线段的黄金分割点，显然，一条线段有两个黄金分割点． （1）为简单起见，不失一般性，令，，则，请求出的值． 　　　　　　图1 【拓展】 在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形． （2）如图2，矩形为黄金矩形，点，，，在四条边上，，交于点，且四边形，都是正方形，找出图中一对面积相等的四边形，并进行证明． 图2 【迁移】 类似的，数学上称底与腰的比等于黄金比的等腰三角形为黄金三角形． （3）如图3，在中，，．求证：是黄金三角形． 图3 （4）如图4，，，为的内接正二十边形的边，连接，．求证：． 图4 【答案】（1）（2），证明见解析（3）见解析（4）见解析 【解析】 【分析】（1）根据，得到，代值，解一元二次方程即可； （2）根据矩形为黄金矩形，得到，推出，进而得到，等量代换得到，进而得到，即可得出结论； （3）作平分，证明，得到，设，求出的值，进而求出，即可得证； （4））连接，证明为黄金三角形，得到，根据三线合一，结合正弦的定义，即可得证． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∵，，， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （2） 证明：矩形是黄金矩形， ， 四边形是正方形 ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ； 即． （3）∵，， ∴， 作平分，则：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 不妨设，则：，， 则：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴是黄金三角形． （4）连接，交于点， ∵，，为的内接正二十边形的边， ∴，， ∴，平分， ∴，， 由（3）可知，顶角为的等腰三角形为黄金三角形， ∴为黄金三角形， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查黄金分割，相似三角形的判定和性质，圆与正多边形，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握黄金分割，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨州市二〇二五年初中学业水平考试适应性训练 数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的． 1. 在数轴上，点A表示的数是3的相反数，从点A出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（ ） A. 7 B. 1 C. D. 2. 下列几何体中，俯视图与左视图形状相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 国际数学家大会（），是由国际数学联盟（）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次．会议是数学家们为了数学交流，展示、研讨数学的发展，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．首届国际数学家大会1897年在瑞士苏黎世举行，2002年第24届国际数学家大会在我国北京举行．以下是四届大会的会徽，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 三角形的三边分别为，，，其中，且满足，，若为整数，则的长是（ ） A. 3或4 B. 4或5 C. 4或6 D. 5或6 6. 习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”．现从某校2000名初三学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的锻炼时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图，其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为1小时的学生人数占样本总人数的，则下列说法正确的是（ ） A. 锻炼时长为1.5小时是这个样本的众数 B. 该样本中学生平均每天锻炼时长为1小时 C. 锻炼时长为1小时是这个样本的中位数 D. 该校锻炼用时为2小时的学生少于200名 7. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 8. 如图，的角平分线交其外接圆于点，以下说法不正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则． 第II卷（非选择题 共96分） 二、填空题：本大题共7个小题，每小题3分，满分21分． 9. 从国家统计局网站获悉，截止到2024年末，全国人口140828万人（包括31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口，不包括居住在31个省、自治区、直辖市的港澳台居民和外籍人员），比上年末减少139万人．其中数据139万人，用科学记数法表示为_____人． 10. 已知直线经过点与，则_____0．（填“”） 11. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 12. 如图，中，，将绕点逆时针旋转，若，，点旋转后的对应点为，则的长是_____ 13. 如图，菱形的对角线相交于坐标原点，轴，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，则_____ 14. 如图，是的弦，是过点的切线，若，则所对的圆周角的度数为_____． 15. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． （1）的长等于_____； （2）只用无刻度的直尺作出的边上的高．（保留作图痕迹） 三、解答题：本大题共8个小题，满分75分．解答时请写出必要的演推过程． 16. 计算： 17. （1）解方程： （2）解不等式组： 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 2024年11月7日，首届世界古典学大会在北京雁栖湖国际会展中心开幕．大会主题为“古典文明与现代世界”，作为这场盛会的发起者，中国不仅是为了汇聚更多学者研究古典学，更是向世界推介“和而不同”的大国智慧．为传承国学经典，弘扬传统文化，某学校开展了“品古典文学之美，悟中华文化之魂”经典阅读活动，学生根据自己的爱好从以下四本书中选择其中一本进行阅读：A．《诗经》B．《楚辞》C．《西游记》D．《红楼梦》，为更好的了解学生选择阅读书目情况，通过抽样调查方式对部分学生进行问卷调查，根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为_____人，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B所对应的圆心角度数是_____； （3）9年级3班选派甲、乙两位同学参加全校经典阅读汇报活动，请用画树状图或者列表法，求甲、乙两位同学选择同一种经典书籍进行汇报的概率． 20. （1）如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．若，，要使这三家农户所得土地的形状、大小相同，请你试着分一分．用两种不同的作图方法作出来．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在，，，，在、上各有一个动点，，要使的值最小，请画出示意图（画图工具不限）确定，的位置，并直接写出的最小值． 21. 【问题呈现】 某宾馆有45个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【模型构建】 方法 函数模型 方法一：设，宾馆利润为元． 方法二：设每间房增加元，宾馆利润为元． 方法三：设，宾馆利润为元． （1）从下列三个选项中选择其中一个填空． ①房价提高后，每间房的利润为元；②房价提高后，每间房定价为元；③每间房增加元． 方法一函数模型中的表示_____（填序号）；方法三函数模型中的表示_____（填序号）． （2）请把方法二的函数模型补充完整，填在下面的横线上． _______________________________________________________________________． 【问题解答】 （3）请你从以上三种方法中选择其中一种完整解答本题． 22. 如图，在中，，三条边，，及边上的高分别记为，，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出，，，这4个量的一个等量关系，然后给出证明． 23. 【背景】 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．我们可以用数学的方法定义“美感”，把“美感”量化． 【初识】 把上面的问题一般化，如图1，在线段上找一点，把分为和两段，是较短的一段，则当时，雕像富有“美感”．人们把此时的比值叫做黄金比值．易知，如果较长一段与整个线段的比是黄金比，那么较短一段与较长一段的比也是黄金比．点叫线段的黄金分割点，显然，一条线段有两个黄金分割点． （1）为简单起见，不失一般性，令，，则，请求出的值． 　　　　　　图1 【拓展】 在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形． （2）如图2，矩形为黄金矩形，点，，，在四条边上，，交于点，且四边形，都是正方形，找出图中一对面积相等的四边形，并进行证明． 图2 【迁移】 类似的，数学上称底与腰的比等于黄金比的等腰三角形为黄金三角形． （3）如图3，在中，，．求证：是黄金三角形． 图3 （4）如图4，，，为的内接正二十边形的边，连接，．求证：． 图4 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $