精品解析：湖北省枣阳市三校联考2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟试题

2024-2025学年度九年级上册期末模拟试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列电视台台标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个根，则αβ的值是(　　) A. 2 B. 1 C. －2 D. －1 5. 将抛物线y＝（x－1）2＋2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到抛物线的解析式是（ ） A. y＝（x＋1）2＋4 B. y＝（x－4）2＋4 C. y＝（x－4）2＋6 D. y＝（x－1）2 6. 半径为6的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，DB＝7，EC＝3，则AE的长是（　　） A. B. 3 C. 4 D. 8. 已知、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，分别与相切于A，B两点，点C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：；④抛物线上有两点和，若，则．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程有一个根是，则______. 12. 已知反比例函数的图象的一支位于第二象限，则常数m的取值范围是____． 13. 《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为______． 14. 如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为_____cm．（结果用π表示） 15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m. 三、解答题（共75分） 16. 解一元二次方程：． 17. 如图，在中，，，点D在边上，且线段绕着点B按逆时针方向旋转能与重合，点F是与的交点．求证：． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求FG的长． 19. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为(单位：)，与墙平行的一边长为(单位：)，面积为(单位：)． （1）直接写出与，与之间的函数解析式(不要求写的取值范围)； （2）矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，交x轴于点C. （1）求反比例函数的解析式； （2）若P为反比例函数在第一象限内图象上的一点，当时，求点P的坐标． 21. 如图，等腰内接于，，点D为劣弧上一点，． （1）求证：为等边三角形； （2）若，求四边形的面积． 22. 商场销售一种成本为20元/千克水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克．设售价为x元/千克()，每天销售量为y千克，每天销售利润为元． （1）分别求出y与x，与x的函数解析式； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； （3）当这种水果的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 等腰中，是的外角的角平分线，，． （1）如图，请判断与的位置关系，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图，点，分别是射线，上一点，当时，求的值． 【拓展运用】 （3）如图，点为的中点，点为射线上的一个动点，连接，，当时，求的长． 24. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-1,0），B（3,0），与y轴交于点C。 （1）求抛物线解析式； （2）点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交BC于点H.当点P运动到何处时满足PC=CH？求出此时点P的坐标； （3）若m≤x≤m+1时，二次函数y=ax2+bx+3的最大值为m，求m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度九年级上册期末模拟试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案。 【详解】根据中心对称图形的概念，四个选项中只有D符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键。 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，对称轴的关系．顶点式，顶点坐标为． 已知抛物线解析式为顶点式，直接求出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， 根据顶点式的特点，顶点坐标为， 故选：B． 3. 一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用根的判别式进而判断，即可得出答案. 【详解】∵a＝1，b＝﹣2，c＝3， ∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴此方程没有实数根. 故选C. 【点睛】此题主要考查了根的判别式，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根. 4. 设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个根，则αβ的值是(　　) A. 2 B. 1 C. －2 D. －1 【答案】D 【解析】 【详解】∵α、β是一元二次方程的两个根， ∴αβ==-1， 故选：D． 5. 将抛物线y＝（x－1）2＋2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式是（ ） A. y＝（x＋1）2＋4 B. y＝（x－4）2＋4 C. y＝（x－4）2＋6 D. y＝（x－1）2 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数平移规律:上加下减,左加右减,进行求解即可． 【详解】解: 将抛物线y＝（x－1）2＋2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后， 可得: y=． 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律． 6. 半径为6的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为弦垂直平分半径，由垂径定理和勾股定理，易求出弦长． 【详解】解：根据题意，画出图形，如图， 由题意知，，，， ， 在中，， ． 故选：C． 【点睛】本题综合考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形，熟练应用定理是解题的关键． 7. 如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，DB＝7，EC＝3，则AE的长是（　　） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】可证明，利用相似三角形对应线段成比例可得，即 ，设，代入可得关于x二元一次方程组，求解即可. 【详解】解： ，即 设，可得 解得：或（舍去） 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，同时涉及了二元一次方程的求解，灵活利用相似三角形的性质求线段长是解题的关键. 8. 已知、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得出即可． 【详解】解：∵反比例函数y=中的k=5＞0， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵A（1，）、B（2，）位于第一象限， ∴＞y2＞0， ∵C（-3，）位于第三象限， ∴＜0， ∴＞＞， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键． 9. 如图，分别与相切于A，B两点，点C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理．根据切线的性质得，则利用四边形内角和可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数，再利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：在优弧上取点D，连接、，、，如图， 、分别与相切于、两点， ，， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：；④抛物线上有两点和，若，则．其中正确的有（　　） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函树图像的性质， 先根据开口方向，对称轴，与y轴交点的位置判断a，b，c，即可说明①；再令时，，判断②；然后根据对称轴说明③；最后根据点P，Q与对称轴的位置关系讨论④即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴是， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴． 则①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当时，， 即， 则②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 即， 则③正确； ∵抛物线的对称轴是，且， ∴函数值y随着x的增大而减小， ∴， 则④正确． 所以正确的有4个． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程有一个根是，则______. 【答案】-4 【解析】 【分析】首先设另一个根为z，由关于x的一元二次方程x2-ax+3=0有一个根是-1，根据根与系数的关系可得z•（-1）=3，继而求得答案． 【详解】设另一个根为z， ∵关于x的一元二次方程x2-ax+3=0有一个根是-1， ∴z•（-1）=3， ∴z=-3， ∴a=-1+z=-1-3=-4.． 故答案为-4． 【点睛】此题考查了根与系数的关系．注意若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q． 12. 已知反比例函数的图象的一支位于第二象限，则常数m的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质， 根据反比例函数的性质可知，求出解集即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象的一支位于第二象限， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质； 设正方形的边长为x，则，证明，利用相似三角形的性质求出x即可． 【详解】解：设正方形的边长为x，则， ∵正方形中，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴它的内接正方形的边长为， 故答案为：． 14. 如图，圆锥母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为_____cm．（结果用π表示） 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆锥的底面半径，然后根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式进行求解即可． 【详解】设底面圆半径为rcm， 由勾股定理得：r==6， ∴2πr=2π×6=12π， 故答案为12π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系． 15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为 通过以上条件可设顶点式，其中可通过将A点坐标 代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为 当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： 解得： 所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了 故答案是： 【点睛】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，． 17. 如图，在中，，，点D在边上，且线段绕着点B按逆时针方向旋转能与重合，点F是与的交点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，由旋转的性质可得，，证明，再证明，．即可得证 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求FG的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)FG=2. 【解析】 【分析】(1)由平行四边形的性质可得，，进而得，根据相似三角形的性质即可求得答案； (2)由平行四边形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质即可求得答案. 【详解】(1)四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ∴， ∵BE=AB，AE=AB+BE， ， ， ； (2)四边形ABCD是平行四边形， ， ， ，即， 解得，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键. 19. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为(单位：)，与墙平行的一边长为(单位：)，面积为(单位：)． （1）直接写出与，与之间的函数解析式(不要求写的取值范围)； （2）矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1），； （2）能达到，． 【解析】 【分析】（）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：能达到． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 即 ， 解得（不合，舍去），（符合题意）， ∴当时，矩形实验田的面积能达到． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，交x轴于点C. （1）求反比例函数的解析式； （2）若P为反比例函数在第一象限内的图象上的一点，当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求反比例函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入一次函数解析式求出，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，求出得到，设，得出，求解即可． 【小问1详解】 解：将代入一次函数可得：， ∴，即， 将代入反比例函数可得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，令，则， 解得：，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴． 21. 如图，等腰内接于，，点D为劣弧上一点，． （1）求证：为等边三角形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据，则可判断为等边三角形； （2）过点B作的延长线于点E，证明，根据，可得，所以，，然后根据，即可解决问题． 【小问1详解】 证明： 在中，，且 ∴ 又∵， ∴为等边三角形 【小问2详解】 如图，过点B作的延长线于点E， ∴ 由（1）得为等边三角形， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴， ∴ 在中，，， 根据勾股定理得：， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解决本题的关键是灵活运用所学知识． 22. 商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克．设售价为x元/千克()，每天销售量为y千克，每天销售利润为元． （1）分别求出y与x，与x的函数解析式； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； （3）当这种水果的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1），； （2）这种水果的售价25元/千克或35元/千克； （3）当售价应定为30元/千克时，可获得最大利润，最大利润是2000元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用二次函数的顶点式求函数的最值． （1）根据题意可以写出月销售利润y(单位：元)与售价x(单位：元/千克)之间的函数解析式； （2）根据代入，解一元二次方程，即可解答本题； （3）根据（1）中的函数解析式，化为顶点式即可解答本题． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ， ∴y与x的函数解析式是，与x的函数解析式； 【小问2详解】 解：∵每天销售利润为1500元， ∴， 解得， 答：这种水果的售价25元/千克或35元/千克； 【小问3详解】 解：∵， ， ∴当时，取得最大值，此时， 答：当售价应定为30元/千克时，可获得最大利润，最大利润是2000元． 23. 等腰中，是的外角的角平分线，，． （1）如图，请判断与的位置关系，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图，点，分别是射线，上一点，当时，求的值． 【拓展运用】 （3）如图，点为中点，点为射线上的一个动点，连接，，当时，求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等角对等边得出，根据角平分线的定义得出，进而根据三角形的外角的性质得出，即可得出，然后根据平行线的判定定理即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）延长交的延长线于点，证明，得出，再证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的外角的角平分线， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 又∵， ∴, 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-1,0），B（3,0），与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交BC于点H.当点P运动到何处时满足PC=CH？求出此时点P的坐标； （3）若m≤x≤m+1时，二次函数y=ax2+bx+3的最大值为m，求m的值. 【答案】（1）；（2）点P的坐标为（1，4）；（3）m的值为或． 【解析】 【分析】（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式求出a，b值即可； （2）求出直线BC的解析式，因点P在抛物线上，点H在直线上，故可设点P坐标为（x, ），则点H坐标为（x,-x+3），可得CM、PH的长，过点C作CM⊥PH于M，由等腰三角形的性质可得CM与PH间的数量关系，列出等式，求解即可； （3）分类讨论，若m+1≤1时函数在x=m+1处有最大值为m，若m＜1＜m+1，函数在x=1处有最大值，若m＞1，函数在x=m处有最大值，再分别求解即可. 【详解】解：（1）由题意得 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）设直线BC的解析式为y=kx+b 由题意得∴直线BC的解析式为y= -x+3. 设点P坐标为（x, ），则点H坐标为（x,-x+3）. 由此可得，CM=x，PH= 过点C作CM⊥PH于M ∵CP=CH ∴PM=MH， ∠MCH=∠MCP ∵OB=OC ∴∠OBC=45° ∵CM∥OB ∴∠MCH=∠OBC=45°∴∠PCH=90° ∴MC=即 解得x1=0(舍) x2=1 ∴当x=1时，y=4即点P的坐标为（1，4） (3)若m+1≤1，即m≤0时， 当x=m+1时，函数有最大值为-（m+1）2+2（m+1）+3＝m， 解得（舍） ； 若m＜1＜m+1，即0＜m＜1， 当x=1时，函数有最大值为m=4（舍）； 若m＞1， 当x=m时，函数有最大值为-m2+2m+3＝m， 解得 （舍）； 综上所述，m的值为或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式与图像，涉及了直线的表达式与图像，一元二次方程的应用，属于函数的综合题，灵活的运用数形结合思想是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$