精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县多校2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

英吉沙县2024-2025学年第一学期期末考试 高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点和点的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2 直线与平行，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 1 5. 圆 的圆心和半径分别为（ ） A. ，2 B. ， C. ，2 D. 6. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好没有遇到红灯的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，异面直线与所成的角为60°，，分别为棱，的中点，若，，则（ ） A. B. 2 C. 或 D. 2或 8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为不同的平面，为不同的直线，下列命题不正确的是（ ） A. 若，，则 B 若，，，则 C. 著，，，，则 D. 若，，，则 10. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（    ） A. B. 如果，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 11. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 方向上的单位向量坐标是 C. 是平面ABC的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则mn的值为______. 13. 若圆：与圆内切，则_______ 14. 求圆上的动点到直线距离的最大值_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知两条直线:和 （1）若，求实数a的值; （2）若，求与之间的距离. 16. 若圆C经过点和，且圆心x轴上，则： （1）求圆C的方程． （2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 17. 一组学生参加了一次考试，他们的分数分布如下：80 85 90 75 88 92 78 82 85 90. （1）随机选择一个学生，他得到85分的概率是多少? （2）这组学生中，得分超过80分的概率是多少? （3）选择两个学生，他们的分数都在80分以上的概率是多少（学生得分相互不影响）? 18. 已知在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD矩形，，，底面ABCD，，E为PB中点． （1）求证：； （2）求平面EAD与平面PCD所成锐二面角余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 英吉沙县2024-2025学年第一学期期末考试 高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点和点的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由两点间斜率公式求出直线斜率，再结合斜率定义即可求倾斜角. 【详解】由题过点和点的直线的斜率为， 设过点和点的直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：C. 2. 直线与平行，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行得斜率相等且截距不等，即可得解. 【详解】直线与平行，且的斜率为2， 它们在轴上的截距不相等，且直线的斜率也为2， 即. 故选：D. 3. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求出. 【详解】在直三棱柱中，，分别为棱，的中点， . 故选：D 4. 点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题点到直线的距离为. 故选：D. 5. 圆 的圆心和半径分别为（ ） A. ，2 B. ， C. ，2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可. 【详解】由可得，， 所以圆心为，半径为， 故选:B. 6. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好没有遇到红灯的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合对立事件概率，由独立事件的概率公式计算． 【详解】由题意各路口没有遇到红灯的概率分别为， 所以经过三个路口没有遇到红灯的概率是． 故选：A． 7. 如图，在三棱锥中，异面直线与所成的角为60°，，分别为棱，的中点，若，，则（ ） A. B. 2 C. 或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】利用线线角以及余弦定理求得. 【详解】设是的中点，连接， 由于，分别为棱，的中点， 所以, 所以是异面直线与所成的角或其补角， 当时，在三角形中， 由余弦定理得. 当时，在三角形中， 由余弦定理得. 所以为或. 故选：C 8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出关于的对称点，根据题意，则为最短距离，即可得答案； 【详解】设点关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为， 根据题意，为最短距离，先求出的坐标， 的中点为，直线的斜率为1， 故直线为， 由，解得，， 所以， 故， 故选：A. 【点睛】本题考查点关于直线对称及圆外一点到圆上点距离的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为不同的平面，为不同的直线，下列命题不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 著，，，，则 D 若，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正方体模型举例说明ABD错误，由面面垂直的性质定理知C正确. 【详解】A项，若，， 与可能异面. 例如，如图长方体中， 平面，平面， 但与异面，不平行，故A错误； B项，若，，，与可能异面， 例如，如图长方体中， 平面平面，平面，平面， 但与不平行，二者异面，故B错误； C项，根据面面垂直的性质定理可得，故C正确； D项，若，，，则与不一定垂直. 例如，如图长方体中， 平面平面，平面，平面， 但，不与垂直，故D错误. 故选：ABD. 10. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（    ） A. B. 如果，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐个分析判断即可 【详解】对于选项A，，故选项A错误； 对于选项B，如果 ， 那么，选项B正确； 对于选项C， 如果与互斥，那么 ， 所以选项C正确； 对于选项D，如果与相互独立，那么 ，所以选项D正确. 故选：BCD 11. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 方向上的单位向量坐标是 C. 是平面ABC的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：求出的坐标，进而可求模；对于B：根据求单位向量；对于C：通过计算来判断；对于D：通过计算来判断. 【详解】对于A：，则，A错误； 对于B：方向上的单位向量坐标是，B正确； 对于C：，， 又与不平行，故是平面ABC的一个法向量，C正确； 对于D：在上的投影向量的模为，D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则mn的值为______. 【答案】-2 【解析】 【分析】运用向量平行的坐标运算公式即可. 详解】∵， ∴，解得：，， ∴. 故答案为：. 13. 若圆：与圆内切，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，解得答案. 【详解】因为两圆内切，所以圆心距等于半径之差的绝对值，所以， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆和圆的位置关系求参数，意在考查学生的对于圆和圆位置关系的理解和应用. 14. 求圆上的动点到直线距离的最大值_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，由此距离加半径为最大值求解. 【详解】圆可化为，其圆心为，半径为1， 圆心到直线距离， 所以圆上的点到直线距离的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知两条直线:和 （1）若，求实数a的值; （2）若，求与之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的充要条件列出方程解之即得； （2）根据两直线平行的充要条件列出不等式组解之即得 【小问1详解】 由可得，，解得. 此时，，有，故； 【小问2详解】 由可得，解得，. 此时即，，有， 与之间的距离. 16. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： （1）求圆C的方程． （2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程； （2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得. 【小问1详解】 因为和，线段的中点为，且， 则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在轴上，令，得， 故圆心为，半径， 则圆圆C的方程为. 【小问2详解】 由圆心到直线的距离，. 故线段的长度为. 17. 一组学生参加了一次考试，他们的分数分布如下：80 85 90 75 88 92 78 82 85 90. （1）随机选择一个学生，他得到85分的概率是多少? （2）这组学生中，得分超过80分的概率是多少? （3）选择两个学生，他们的分数都在80分以上的概率是多少（学生得分相互不影响）? 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （3）根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，得到85分的学生有2人，所以概率为，即概率为. 【小问2详解】 解：由题意，得分超过80分的学生有7人，所以概率为. 小问3详解】 解：由题意，分数都在80分以上的学生有7人（得分为85、90、88、92、82、85、90）， 所以概率为. 18. 已知在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】确立圆的方程需要三个独立的变量，求解时，可以先确定圆心的坐标，再求圆的半径，也可以运用圆的一般方程，通过待定系数法求得. 【小问1详解】 设圆的方程为，因为点在圆上， 所以，解得，， 所以圆的方程为， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知，圆心到直线的距离. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为； 若直线的斜率存在，设其为，则直线的方程为, 所以，解得，,所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 【点睛】对于本题而言，选择圆的一般式方程方程求解较易，求直线方程时要防止漏掉斜率不存在的情况，重视数形结合的运用. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，底面ABCD，，E为PB中点． （1）求证：； （2）求平面EAD与平面PCD所成锐二面角余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法解决问题. 【小问1详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，，，，，,，,所以. 【小问2详解】 设平面的法向量为，,, ,所以 设平面的法向量为，，， ,，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$