精品解析：云南省昭通市昭通一中教研联盟2025届高三上学期毕业生诊断性检测（一模）数学试题

昭通市2025届高中毕业生诊断性检测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】 所以. 故选：B. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】， 所以. 故选：A. 3. 已知向量，是单位向量，且，则为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由，两边平方可得，再将平方即可得答案. 【详解】因为向量，是单位向量，所以 由则， 所以， 故选：B. 4. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，8，，14，16，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先由中位数和极差的概念得到，再由百分位数的计算方法求出即可； 【详解】该组数据的中位数为，极差为15，故， 则，，则第60百分位数为10. 故选：D. 5. 直线：与圆：的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线过的定点，再利用到圆心的距离小于半径确定有两个交点. 【详解】整理为， 则，解得，则直线恒过定点， 而，定点在圆内，则直线与圆必有2个交点， 故选：C. 6. 若函数，满足．若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 【详解】函数的定义域为， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，则或， 若，由零点存在性定理； 若，而，则，由零点存在性定理， 综上所述，则C一定正确. 故选：C. 7. 如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（ ） A. B. 2 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据侧面积求出，再根据正棱台的结构特征结合勾股定理即可得解. 【详解】设，则， 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 如图，在四边形中，过点作于点， ，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 则， 所以， 即该正四棱台的高为. 故选：A. 8. 已知函数（，）在处取得极值，则（ ） A. B. 是的极大值点 C. D. 的最大值为2 【答案】D 【解析】 【分析】利用极值点时导数为零可得A错误；求导后结合二次函数的对称轴可得B错误；由A结合已知可得C错误；由A结合基本不等式可得D正确； 【详解】A：， 因为函数在处取得极值，所以，即，故A错误； B：的对称轴为，所以是的极小值点，故B错误； C：因为，由可得，所以，故C错误； D：因为（当且仅当，即时，取等号），即，故D正确. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 是函数的一个对称中心 D. 在区间的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由图象结合五点法确定函数解析式，再由周期公式可得A正确；由解析可得B错误；由正弦函数的对称中心可得C正确；由正弦函数的单调性可得D正确； 【详解】由题意得，由图象可得， 又，所以，由五点法可得， 所以. A：由以上解析可得，，故A正确； B：由以上解析可得，故B错误； C：的对称中心的横坐标为，则对称中心为，令则C正确； D：当时，，所以最小值为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知，，，动点满足MA与MB的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的轨迹方程为（） B. 的最大值为3 C. 的最小值为 D. 过点的直线垂直AC交曲线于，，则的周长为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，根据题意列出方程即可判断A；根据椭圆得范围结合两点间得距离公式即可判断B；分直线斜率是否存在两种情况讨论，设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再利用弦长公式求出的表达式即可判断C；易得为椭圆的上，下焦点，再根据椭圆的定义即可判断D. 【详解】对于A：设， 则，整理得， 所以的轨迹方程为（），故A正确； 对于B： ， 故， 故当时，，故B正确； 对于C：当直线的斜率不存在时，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 联立，消得， 则， 所以 ， 当且仅当取等号， 综上所述，的最小值为3，故C错误； 对于D：在中，，则， 故为正三角形，则垂直平分，则， 由题意为椭圆的上，下焦点， 则的周长为 ，故D正确. 故选：ABD. 11. 函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（ ）（注） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】结合已知条件，得到函数的对称中心，对称轴，以及周期；然后由周期性和单调性可得A错误；由对称性和单调性可得B正确；由对称性和对数函数的运算可得C错误；由函数的单调性结合对数函数的运算和三角函数的单调性可得D正确； 【详解】为奇函数，则关于点中心对称，则， 又因为，令则，则故则关于直线轴对称. 又因为，故，则的周期为8. 对于A：则，又因为在区间上单调递增，则故A错误； 对于B：关于点中心对称，则，而在上也单调递增，故，则，故B正确； 对于C：在上也单调递增，故C错误； 对于D：则 而在上也单调递增，则，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够利用已知得到函数的对称轴，对称中心. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数列满足（为正整数），且与的等差中项是20，则首项______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得数列为等比数列，且公比，再根据等差中项的定义计算即可. 【详解】数列满足为正整数），则数列为等比数列，且公比， 因为与的等差中项是20，所以，即，解得. 故答案为：. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由已知等式得到，再由同角的三角函数关系和平方关系化简即可； 【详解】则， 故答案为：. 14. 如图，算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百、千、万位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数有______个． 【答案】 【解析】 【分析】利用分步乘法原理得到所有的数有个即可求解； 【详解】在个､十､百､千､万位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，所有的数有（个）. 故答案为： 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，． （1）若，求的面积； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解； （2）先利用正弦定理化边为角，再结合求出，进而可求出，再利用正弦定理求出即可得解. 【小问1详解】 由余弦定理得， 则 解得，则， 则； 【小问2详解】 ，由正弦定理得， 又， 解得， ，∴， 故或，则或， 由正弦定理得： 若，则， 故的周长为； 若，则， 故的周长为， 综上所述，的周长为或. 16. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若对于任意，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为和，单调减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析单调区间即可； （2）分离参数后构造函数，利用导数分析其单调性，求出最值即可； 【小问1详解】 若，则， . 令，可得或；令，可得， 所以单调增区间为和，单调减区间为. 【小问2详解】 因为对于任意，都有成立， 所以对于任意，都有成立， 即对于任意，. 因为，所以对于任意，. 设，其中，则， 因为，所以， 当时，. 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即，故的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，，分别为AB，PD的中点． （1）求证：平面PBC； （2）若，，，求直线CD与平面EFC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取PC的中点M，连接FM，BM， 在中，因为M，F分别为PC，PD的中点， 所以，， 在菱形ABCD中，因为，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 因此，又因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取PC的中点M，连接FM，BM，由线面平行的判定定理即可证明； （2）先证明，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求解直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，， 因为，所以， 在菱形ABCD中，， 因为E为AB的中点，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， 在正三角形中， 因为，，，， 所以向量，， 设平面EFC的法向量为，则，即， 取，得，，所以， 设直线CD与平面EFC所成角为， ， 所以直线CD与平面EFC所成角的正弦值为. 18. 为提升大学生环保意识，牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，某生物多样性保护与绿色发展基金会举办了“2024年大学生环保知识竞赛”．为了了解大学生对相关知识的掌握情况，随机抽取2000名大学生的竞赛成绩（单位：分），并以此绘制了如图的频率分布直方图． （1）从竞赛成绩在内的学生中随机抽取80名学生，用表示这80名学生中恰有名学生竞赛成绩在的概率，其中，1，2，…，80．以样本的频率估计概率． ①从这80名学生中任取一人，求这个学生的竞赛成绩在的概率； ②当最大时，求． （2）若学生中男生人，其成绩平均数记为，记方差为，女生为人，其成绩平均数为，记方差为，把总体样本数据的平均数记为，方差记为，证明：． 【答案】（1）①；② （2） 证明：根据方差的定义，记男生的成绩为 记女生的成绩为则总体的方差为 由 同理 则同理 【解析】 【分析】（1）①记事件A为抽取的任一学生的竞赛成绩在内，记事件B为抽取的任一学生的竞赛成绩在内，由条件概率的公式计算即可； ②利用二项分布的概率公式表示出概率，再解不等式组即可； （2）由方差的公式推导化简即可； 【小问1详解】 ①记事件A为抽取的任一学生的竞赛成绩在内， 记事件B为抽取的任一学生的竞赛成绩在内. 从这80名学生中任取一人，这名学生的竞赛成绩在内的概率为 ②：用X表示这80名学生中抽取的学生的成绩在的人数， 经分析服从二项分布， 由,得，即， 解得 又因为，所以. 即当时，最大. 【小问2详解】 略 19. 从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，他们就好像是从另一个焦点射出的一样．双曲线的这一光学性质也被人们广范应用．如图，已知双曲线：，为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点，由其光学性质知，由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线．设第个反射点为（，1，2，3，…）． （1）求直线的斜率； （2）证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值； （3）当为奇数时，过点向轴作垂线，垂足为，记与面积的比值为，求． 【答案】（1） （2）当为偶数时，取连续3个反射点，，， 则直线的方程为，与双曲线交于点， 联立，消去得， 由韦达定理得，两式相除得， 可得，故， 将代入直线的方程得， 所以双曲线与直线的另一个交点为， 同理，双曲线与直线的另一个交点为， 故，即， 所以当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值； （3）（为奇数） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出点的坐标，再根据斜率公式即可得解； （2）当为偶数时，取连续3个反射点，，，求出直线的方程，联立方程，利用韦达定理求出，从而可求出，再代入直线的方程，求出，同理求出的坐标，再根据斜率公式化简整理即可得出结论； （3）当为奇数时，点在第二象限，设，则，再结合（2）中的结论化简整理即可得解. 【小问1详解】 因为，， 联立，解得或（舍去），则， 已知，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当为奇数时，点在第二象限，设， 则（*）， 由（2）小题的结论知，，即， 所以，， 可得，， 两式相除，得，即. 又因为， 故数列是首项为27，公比为81的等比数列， 可得，将此式代入前面（*）， 得， 所以（为奇数）. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通市2025届高中毕业生诊断性检测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. 10 D. 3. 已知向量，是单位向量，且，则为（ ） A. B. C. 3 D. 5 4. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，8，，14，16，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 直线：与圆：的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 6. 若函数，满足．若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（ ） A. B. 2 C. 6 D. 3 8. 已知函数（，）在处取得极值，则（ ） A. B. 是的极大值点 C. D. 的最大值为2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 是函数的一个对称中心 D. 在区间的最小值为 10. 已知，，，动点满足MA与MB的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的轨迹方程为（） B. 的最大值为3 C. 的最小值为 D. 过点的直线垂直AC交曲线于，，则的周长为8 11. 函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（ ）（注） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数列满足（为正整数），且与的等差中项是20，则首项______． 13. 已知，则______． 14. 如图，算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百、千、万位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数有______个． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，． （1）若，求的面积； （2）若，求的周长． 16. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若对于任意，都有成立，求的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，，分别为AB，PD的中点． （1）求证：平面PBC； （2）若，，，求直线CD与平面EFC所成角的正弦值． 18. 为提升大学生环保意识，牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，某生物多样性保护与绿色发展基金会举办了“2024年大学生环保知识竞赛”．为了了解大学生对相关知识的掌握情况，随机抽取2000名大学生的竞赛成绩（单位：分），并以此绘制了如图的频率分布直方图． （1）从竞赛成绩在内的学生中随机抽取80名学生，用表示这80名学生中恰有名学生竞赛成绩在的概率，其中，1，2，…，80．以样本的频率估计概率． ①从这80名学生中任取一人，求这个学生的竞赛成绩在的概率； ②当最大时，求． （2）若学生中男生人，其成绩平均数记为，记方差为，女生为人，其成绩平均数为，记方差为，把总体样本数据的平均数记为，方差记为，证明：． 19. 从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，他们就好像是从另一个焦点射出的一样．双曲线的这一光学性质也被人们广范应用．如图，已知双曲线：，为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点，由其光学性质知，由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线．设第个反射点为（，1，2，3，…）． （1）求直线的斜率； （2）证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值； （3）当为奇数时，过点向轴作垂线，垂足为，记与面积的比值为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $