精品解析：黑龙江省哈尔滨市道外区2024-2025学年上学期九年级学业水平调研测试数学试卷

2024—2025学年度上学期九年级学业水平调研测试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题：（1～10题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气体体积（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位），当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是（ ）千帕 A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 5. 如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（ ） A. 16枚 B. 20枚 C. 24枚 D. 25枚 6. 将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A B. C. D. 7. 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即时，的大小为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在中，，，取中点D，取上的一个动点E，连接，将沿翻折至，点是点的对应点，连接，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，若在上取一点B，使，，．要使A、C、E成一条直线．那么开挖点E与点D的距离是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（11～20题，每小题3分，共计30分） 11. 将3140000用科学记数法表示为__________． 12. 函数的自变量x的取值范围是___． 13. 计算：_____． 14. 把多项式分解因式，结果是_________________． 15. 不等式组解集是_____． 16. 扇形的半径为20cm，扇形的面积为100πcm2，则该扇形的圆心角为_____度． 17. 反比例函数图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 18. 定义新运算“”，规定：，则的运算结果为_____． 19. 在中，，，则_____． 20. 如图，在中，，平分，于点，，点在上，连接，，延长交于，下列结论中：（1）；（2）；（3）；（4）若，则．以上结论正确的序号_____． 三、解答题（其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中 22. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画以为直角边的等腰直角，点D在小正方形的格点上； （2）在图中以为边画，点在小正方形的格点上，使，且； （3）连接，直接写出线段长． 23. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 24. 我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． （1）概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． （2）问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 25. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？ 26. 如图1，内接于，连接并延长交于点，． （1）求证：； （2）如图2，在劣弧上取点，连接、、，若，求证：是等边三角形； （3）如图3，在（2）的条件下，取上一点D，连接，与相切于点，连接、，且，求的半径． 27. 在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点 （1）a的值为　　　　　　． （2）如图1，在第二象限的抛物线上取点P，点D为抛物线的顶点，连接、、、，若点P的横坐标为t，四边形的面积为S，求S与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上取点，且点在x轴的上方，连接、，，，再在第二象限的抛物线上另取一点Q，点Q在点P的上方，连接交于，并在上取点，连接交于，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期九年级学业水平调研测试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题：（1～10题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 2. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，同底数幂相乘，同底数幂相除的法则，熟悉相关性质是解题的关键． 根据平方差公式，完全平方公式，同底数幂相乘，同底数幂相除的法则进行运算，然后再判断即可． 【详解】解：A. ，故原答案错误； B. ，故原答案错误； C. ，故原答案错误； D. ，故正确； 故选：D． 3. 下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐个判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 4. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气体体积（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位），当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是（ ）千帕 A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．将已知点的坐标代入到反比例函数的一般形式中即可求得其解析式；代入求得压强即可，解题的关键是根据图象建立函数关系式，并会运用函数式解答题目的问题． 【详解】解：设表达式为， 图象经过点， ， 所以表达式为； 当时，（千帕）． 故选：C． 5. 如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（ ） A. 16枚 B. 20枚 C. 24枚 D. 25枚 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察前3个图形可知每个图形需要的棋子数为序号的4倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形需要枚棋子， 第2个图形需要枚棋子， 第3个图形需要枚棋子， ……， 以此类推，可知第5个图形需要枚棋子， 故选：B． 6. 将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 抛物线平移不改变的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移个单位，再向下平移个单位，那么新抛物线的顶点为， 可设新抛物线的解析式为：， 代入得：， 所得图象的解析式为：， 故选：C． 7. 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质，由，推出，再根据可得答案，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 8. 如图，在中，，，取中点D，取上一个动点E，连接，将沿翻折至，点是点的对应点，连接，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，线段的性质，由，的中点，得到，根据折叠的性质得到，连接，当点在线段上时，最短，根据勾股定理得到，于是得到结论，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：，的中点， ， 将沿翻折至，点是点的对应点， ， 如图，连接， 当上同一直线上时，最短， ，，， ， ， 的最小值为2， 故选：B． 9. 如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，若在上取一点B，使，，．要使A、C、E成一条直线．那么开挖点E与点D的距离是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先利用三角形的外角性质可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：是的一个外角， ， ， ， 在中，， ， 开挖点与点的距离是， 故选：A． 10. 如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（11～20题，每小题3分，共计30分） 11. 将3140000用科学记数法表示为__________． 【答案】3.14 【解析】 【分析】用科学记数法将3140000表示出来即可． 【详解】解：3140000=3.14， 故答案为：3.14． 【点睛】科学记数法就是将一个数字表示成的形式，其中，为整数.确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值0时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 12. 函数的自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：在实数范围内有意义， 则；解得 故答案为 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减法法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 把多项式分解因式，结果是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法和公式法进行分解即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法是解题的关键． 15. 不等式组的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即为不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键． 【详解】解： 由①得，， 由②得，， ∴此不等式组的解集为：， 故答案为：． 16. 扇形的半径为20cm，扇形的面积为100πcm2，则该扇形的圆心角为_____度． 【答案】90 【解析】 【分析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形面积公式得出，求出即可． 【详解】设扇形的圆心角是n°， 则， 解得：n＝90， 即扇形的圆心角是90°， 故答案为90． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角是n°，半径为r的扇形的面积S=． 17. 反比例函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象上，当时，随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：。 18. 定义新运算“”，规定：，则的运算结果为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的乘方运算，化简绝对值，根据题目所给新定义的运算法则进行计算即可．根据定义的运算得到，进而求解即可． 【详解】根据题意得， ． 故答案为：7． 19. 在中，，，则_____． 【答案】4或14 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，分两种情况：当高在△内；当高在△外；然后分别进行计算即可解答，分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当高在△内，如图： 在△中，， 设，则， ， ， ， 解得：， ，， 在△中，， ， ； 当高在△外，如图： 在中，， 设，则， ， ， ， 解得：， ，， 在中，， ， ； 综上所述：或14， 故答案为：4或14． 20. 如图，在中，，平分，于点，，点在上，连接，，延长交于，下列结论中：（1）；（2）；（3）；（4）若，则．以上结论正确的序号_____． 【答案】（1）（2）（4） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质、线段垂直平分线性质、等腰三角形性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是关键． 根据角平分线性质、线段垂直平分线性质、等腰三角形性质及解直角三角形逐项分析判断即可． 【详解】解：连接，如图， 设，则， ∵在中，， ∴， ∵于点，且， ∴， 即， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴，故（1）正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故（2）正确； 将沿折叠，得到，点F对应点点I落在上，如图， ∴，， 即 ∵； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点O作交于点M，如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴，即 ∵， 在中，， ∴， ∵， 即， ∴在中，，故（3）错误； 设，则， 即有， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 中，， 即， 整理可得， 即， 可得， 解得（舍），， ∴， 即，， ∴在中，，故（4）正确； 故答案为：（1）（2）（4）． 三、解答题（其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的运算法则，特殊角的三角函数，根据分式的运算法则即可求出答案，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 原式． 22. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画以为直角边等腰直角，点D在小正方形的格点上； （2）在图中以为边画，点在小正方形的格点上，使，且； （3）连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直接三角形，解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用网格结合等腰直角三角形的判定作图即可； （2）利用网格，画且即可； （3）利用勾股定理计算即可； 【小问1详解】 如图所示，等腰直角即为所求． 【小问2详解】 如图正确所示，即为所求． 【小问3详解】 由勾股定理得：线段CD的长为． 23. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1） （2）8.36 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 24. 我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． （1）概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． （2）问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，理解新定义是解题的关键． （1）先证四边形是矩形，可得，即可求解； （2）由锐角三角函数可求，设，，，由勾股定理可求，即可求解． 【小问1详解】 证明：作于则， 四边形是正方形， 四边形是矩形． 四边形是正方形， ， ． 是等高底三角形． 【小问2详解】 解：作 于点， ，， ， ， ， ， 设， ，， ， 在 中，，， ， ， ， 设，，，则， 在中由勾股定理得：， 解得， ． 25. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？ 【答案】（1）第一次每支铅笔的进价为4元．（2）每支售价至少是6元． 【解析】 【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解．本题等量关系为：第一次购进数量－第二次购进数量=30； （2）设售价为y元，求出利润表达式，然后列不等式解答，利润表达式为：第一次购进数量×第一次每支铅笔的利润＋第二次购进数量×第二次每支铅笔的利润． 【详解】解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，由第二次每支铅笔进价为x元． 第一次购进数量－第二次购进数量=30 －=30． （2）设售价为y元，由已知 ＋≥420， 解得y≥6． 答：每支售价至少是6元． 26. 如图1，内接于，连接并延长交于点，． （1）求证：； （2）如图2，在劣弧上取点，连接、、，若，求证：是等边三角形； （3）如图3，在（2）的条件下，取上一点D，连接，与相切于点，连接、，且，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）的半径为 【解析】 【分析】（1）由已知可证明是的垂直平分线，从而推出结论； （2）在上截取，连接，证明，得出，推出是等边三角形，得，从而推出结论； （3）连接、，作于，延长至点，，连接，作于，证明得出，，再证明，得出，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程进而可推出结果． 【小问1详解】 证明：△内接于，连接并延长交于点，于， ， 是的垂直平分线， ； 【小问2详解】 证明：在上截取，连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 【小问3详解】 解：连接、，作于，延长至点，，连接，作于， ，， ， 与相切于点， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， 解得， ， ， 在中， ， 的半径为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定，圆周角定理，解直角三角形，切线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点 （1）a的值为　　　　　　． （2）如图1，在第二象限的抛物线上取点P，点D为抛物线的顶点，连接、、、，若点P的横坐标为t，四边形的面积为S，求S与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上取点，且点在x轴的上方，连接、，，，再在第二象限的抛物线上另取一点Q，点Q在点P的上方，连接交于，并在上取点，连接交于，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）证明得到，，证明得到，，在中，利用勾股定理和中点公式得到，进而求解． 【小问1详解】 解：， 由于函数经过， 则， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：作于点，轴于点， 由抛物线解析式得、、， 设， ，，， ； 【小问3详解】 解：设抛物线的对称轴交轴于，作于点， 设， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 解得（舍）， ，， ， 延长至点，连接且满足，设， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设， ，， 根据勾股定理可得， 在中，， ，， ， 为的中点， ，， 设直线解析式为， 把，代入可得，， 解得， 直线解析式为， 解方程得：，（舍去）， 故点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $