精品解析：江苏省苏州中学、海门中学、姜堰中学、淮阴中学等四校2024-2025学年高三下学期2月联考数学试卷

江苏省G4联考2025届高三下学期2月联考数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数值域求出集合，函数定义域求出集合，由交集定义求得. 【详解】依题意，， ∵，∴， ∴， 所以  故选：C. 2. 已知复数的共轭复数为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算以及共轭复数的定义，再结合乘法运算即可求得结果. 【详解】， 所以， 所以 故选：C 3. 若命题“”是假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》 【详解】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或， 即a的范围是 故选：D. 4. 高三某研究学习小组共10人，他们各自统计了自己一周每天的数学回家作业所花费的平均时间单位：分别为38，41，48，48，58，63，68，68，70，82，则这组数据的（ ） A. 众数是48 B. 极差是38 C. 中位数是 D. 下四分位数是68 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、极差、中位数、百分位数的概念计算求解即可. 【详解】数据的众数是48和68，故A错误; 极差是，故B错误; 中位数是，故C正确; 因为，所以下四分位数是48，故D错误. 故选：C 5. 过点作曲线的切线，则切线条数最多为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点为，根据条件，利用导数的几何意义，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，利用零点存在性原理，可得只有一解，即可求解. 【详解】设切点为，则， 又，所以切线斜率为， 又切线过点，所以，整理并化简得， 令，则， 令，则， 易知时，，时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，又，， 所以存在唯一，使，所以切线只有一条， 故选：B. 6. 在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，或，进而可得. 【详解】若满足条件的恰有一解，如图 则，或， 当时，， 当时，， 所以AC的取值范围是. 故选：D 7. 已知点，，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把问题转化为根据两圆的位置关系求参数的取值范围求解. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 由题意，R在以PQ为直径的圆上， ，， 以PQ为直径的圆的方程为， 圆上存在点R，使得， 两圆有交点，又m为正数， ， 又m为正数，解得， 即正数m的取值范围是. 故选：A 8. 如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点在正五角星的内部含边界，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照PQ所处的位置分类，结合向量数量积的几何意义及图形特征可得点分别在图中的处时取最小值，利用黄金分割即可求解. 【详解】要使最小，它们夹角必定为钝角或平角，若，在五角星内， 只要延长与边界相交于点，在保持夹角不变情形下，，则， 所以，必定在五角星边界上先考察点位置，根据对称性，分两种情形： 1．点在边上： ①先考虑极端情形：若点与右顶点重合， 则在上投影向量的模最长且与反向的就是（即与重合），所以此时最小， ②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由向移动时，变小， 且在上投影向量的模也变小为，故变大，不合题意； 2．点在的边上： ①先考虑极端情形：若点与顶点重合，则此时，但注意到在上投影向量的模最长且反向的是， 且根据相交弦定理知：，所以此时 ②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由向移动时，变小，而在上投影向量的模会变大， 过作的垂线，垂足为，则，，，四点共圆， 由相交弦定理知， 所以此时， 综上，当，分别与顶点，重合时，取最小值 由于黄金分割比，而，则， 同理，则， 所以 , 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，据基本不等式可得；选项B，进而根据基本不等式可得；选项C，将代入，得，进而可得；选项D，利用基本不等式，进而根据指数的运算可得 【详解】，当且仅当时取等号，故A确； ， 当且仅当时取等号，故B错误； ， 当，时取等号，故C正确； ， 当且仅当时取等号，故D正确， 故选：ACD 10. 已知函数的周期为，且向右平移个单位后所得到的函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在处取最值 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据题意得到，在根据正弦函数的性质整体代入判断即可. 【详解】因函数的周期为，故，故， 将函数的图象向右平移个单位后，得到， 由题意，得，又，故， 故， 当时，，由正弦函数的性质可知函数在上单调递减，故A正确； ，故函数的图象不关于点中心对称，故B不正确； ，故函数的图象关于直线对称，故C正确； ，故D不正确. 故选：AC 11. 如图所示，已知正三棱锥底面边长为m，侧棱长为n，分别为的中点，连接，则下列说法正确的是（ ） A. 四边形EFGH为矩形 B. 向量不共面 C. 点P在内，点P到点A距离与到底面BCD距离相等，则点P的轨迹是椭圆的一部分 D. 若侧棱长，则直线AC与平面CEF所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据中位线性质得到四边形为平行四边形，取中点，连接，再证明平面，再得到线线垂直即可；对于B，运用线共面的判定定理即可得；对于C，先证线面垂直，进而得到线线垂直，得到为二面角的平面角，是定值，得到定值，根据椭圆第二定义，可解；对于D，建立空间直角坐标系如图所示：运用向量法计算即可. 【详解】解：对于A，分别为的中点， 根据中位线定理得， ，所以四边形为平行四边形， 取中点，连接， 正三棱锥，得， 得平面， 平面，平面， ，又，，四边形EFGH为矩形，A正确； 对于B，四边形为矩形，， 向量可以由向量线性表示，向量 共面，B错误； 对于C，点P在内，过点P作底面，底面BCD，则， 过点P作，连接， 平面，所以平面，平面，得， 所以为二面角的平面角， 当确定时，二面角的平面角是定值，， 点P到点A距离与到底面距离相等， 定值，且， 根据椭圆第二定义，到定点A和到定直线BC的距离比为定值的点的轨迹为椭圆正确； 对于D，若侧棱长，正三棱锥为正四面体，设， 以中点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示： ， 设平面的法向量， ，解得其中一个解为， 法向量，，D正确. 故选： 【点睛】关键点点睛：B选项借助线共面得向量定理计算判定；C选项关键找出为二面角的平面角，得到为定值，再结合椭圆定义得解；D选项借助向量法.综合性较强，属于难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则    ________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知概率应用对称轴结合正态分布的性质计算即可. 【详解】随机变量服从正态分布， 这组数据对应的正态曲线的对称轴， 则，所以. 故答案为：. 13. 已知数列满足，，数列的前项的和为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据数据列的递推公式，求出数列的前项，确定数列数列的周期性，利用周期性求值即可. 【详解】由，，可得： ， 所以该数列的周期为，则数列的前项的和为： 故答案为： 14. 已知直线l的倾斜角为锐角，且过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点.若在该抛物线的准线上存在一点C，使得为正三角形，则直线l的斜率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设直线AB的方程为，与抛物线的方程联立利用韦达定理得到弦长，AB的中点为，由为正三角形，可得，且，建立方程求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设直线AB的方程为，代入抛物线的方程， 可得， 设，，可得，，AB的中点为， 在该抛物线的准线上存在一点C，使得为正三角形， 可得，且， 由， 可得， 设， 又CH的斜率为，可得， 解得C的横坐标为，C的纵坐标为， 所以， 由，可得，解得负的舍去 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，且 （1）求角B； （2）若，求 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理把条件转化为，再结合和角公式与三角形的内角和公式，可得，从而求角. （2）根据正弦定理，可得，根据（1）的结论，可得，再判断角的范围，求，再利用倍角公式与和角公式求值. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及， 得， 则， 又因为，所以， 又因为，所以或. 【小问2详解】 由及正弦定理，得，则， 由于，则，则A为锐角，所以， 于是，， 所以 16. 如图，在三棱柱中，平面平面ABC，平面平面 （1）证明：平面ABC； （2）已知，求直线与所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线线垂直进而应用线面垂直判定定理证明即可； （2）应用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，最后根据同角三角函数关系计算正弦即可. 【小问1详解】 在中，取点P并作，G，H为垂足， 因为，平面平面，且平面平面，平面ABC， 所以平面，因为平面，所以， 又因为，平面平面ABC，平面平面， 平面ABC，所以平面 又因为平面，所以， 因为，且，平面ABC，所以平面； 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）知，平面ABC，又因为平面，平面， 所以， 以，，为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示. 依题意，，，， 则，， 设直线与所成角为， 则， 所以， 所以直线与所成角的正弦值为 17. 有一项高辐射的危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有A、B、C三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，且互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． （1），如果按照A、B、C的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出人员数目 X的分布列和数学期望； （2）假定，试分析以怎样的先后顺序派出A、B、C三个人，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小. 【答案】（1）①；②分布列为 X 1 2 3 P ，； （2）先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小. 【解析】 【分析】（1）①利用互斥事件、相互独立事件的概率公式列式计算；②求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）求出按照某种顺序完成任务的期望，再作差比较大小即可得解. 【小问1详解】 ①设按照A、B、C的顺序先后进入，任务被完成为事件， 则， ②可取1，2，3， ，，， 所以其分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. 【小问2详解】 若按照某一指定顺序派人，A、B、C三人各自能完成任务的概率依次为，，， 其中，，是，，的一个排列， 结合（1）②知， 由，得要使X最小，前两人应从A和B中选，C最后派出， 若先派A，再派B，最后派C，则； 若先派B，再派A，最后派C，则， 而， 所以先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小. 18. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线，离心率为，点P是上任意一点．抛物线， （1）求的方程； （2）过点P作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值； （3）是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：设，不妨设OA为渐近线，OB为渐近线， 直线AP的方程为， 联立方程，解得，所以 同理可得， 所以由于直线OA的斜率，因此， 所以， 所以平行四边形PAOB的面积为， 因为点P在双曲线C上，所以，即， 所以平行四边形PAOB的面积为 （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率即可求解； （2），求得坐标，进而得到再结合面积公式求解即可； （3）设，，，通过导数求得切线方程，结合韦达定理求得弦长，点到线的距离公式求得高，代入面积公式，进而可求解； 【小问1详解】 解：设双曲线的焦半距为c，则， 又因为离心率为，所以， 代入得，解得， 所以双曲线的方程为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，，， 因为函数的导数为，所以直线PC的方程为， 由于在直线PC上，则，， 同理， 所以，均满足方程， 所以直线CD的方程为， 联立方程，得， 所以，， 则， 又因为P到直线CD的距离， 所以面积， 又因为， 所以，当P为时T取最小值， 所以面积最小值为 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 19. 函数 （1）时，证明：； （2）讨论函数的零点个数； （3）当时，记所有零点之和为若无零点则，证明：参考数据： 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）写出函数解析式，令，求出其导数，得到函数的单调区间，从而知道最小值，然后得到，得到，从而证明； （2）由得到，因为在上单调递增，所以，令，的零点即为的零点.对求导，从而知道的单调区间，然后得到的最小值，讨论与的关系，得到最小值与0的关系，然后知道函数零点个数; （3）由（2）的结论知的零点即为的零点，分类讨论，得到时，不等式成立. 时，设，为恰有两个零点，设，令，求导数，得到函数的单调性，从而得到，则，由函数单调性得到，从而得到，即得到，分别取，代入后不等式成立.再设函数，求其导数后得到函数在区间上的单调性，从而得到，然后当时，列出不等式，然后数列求和即可得证. 【小问1详解】 时， 令，， 当时，，单调递减;当时，，单调递增， 所以，所以恒成立当且仅当时等号成立 令，得，即恒成立当且仅当时等号成立， 所以，由于等号不能同时取到， 所以，即 【小问2详解】 等价于，即， 因为，，所以，由定义域知， 又因为在上单调递增，所以，， 令，的零点即为的零点. 因为， 当时，，单调递减;当时，，单调递增. 所以， 当时，因为，所以无零点，即无零点; 当时，因为，当且仅当时等号成立， 所以恰有一个零点，即恰有一个零点; 当时，，，，且， 由于函数图像连续不间断，函数零点存在性定理， 存在，，使得， 结合单调性，恰有两个零点，即恰有两个零点. 综上所述，当时，无零点; 当时，恰有一个零点; 当时，恰有两个零点. 【小问3详解】 由知，的零点即为的零点，，，2时命题成立; 当时，恰有两个零点，设为，，不妨设， 令，则， 因为，所以在上单调递增， 因为，所以，则， 又因为，，在上单调递增， 所以，， 所以， 所以，， ，，4，5时命题成立; 令，，在上单调递减， 又因为，所以当时，， 所以，， 当时，， 综上所述， 【点睛】方法点睛，函数零点个数问题转化为求方程解的个数问题.再利用方程的特殊性建立新的函数，利用函数与方程的关系进行等价转换.再由函数的单调性和函数最值得到函数零点个数，从而知道函数零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省G4联考2025届高三下学期2月联考数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的共轭复数为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 若命题“”是假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 高三某研究学习小组共10人，他们各自统计了自己一周每天的数学回家作业所花费的平均时间单位：分别为38，41，48，48，58，63，68，68，70，82，则这组数据的（ ） A. 众数是48 B. 极差是38 C. 中位数是 D. 下四分位数是68 5. 过点作曲线的切线，则切线条数最多为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点在正五角星的内部含边界，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的周期为，且向右平移个单位后所得到的函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在处取最值 11. 如图所示，已知正三棱锥底面边长为m，侧棱长为n，分别为的中点，连接，则下列说法正确的是（ ） A. 四边形EFGH为矩形 B. 向量不共面 C. 点P在内，点P到点A距离与到底面BCD距离相等，则点P的轨迹是椭圆的一部分 D. 若侧棱长，则直线AC与平面CEF所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则    ________. 13. 已知数列满足，，数列的前项的和为_______. 14. 已知直线l的倾斜角为锐角，且过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点.若在该抛物线的准线上存在一点C，使得为正三角形，则直线l的斜率为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，且 （1）求角B； （2）若，求 16. 如图，在三棱柱中，平面平面ABC，平面平面 （1）证明：平面ABC； （2）已知，求直线与所成角的正弦值． 17. 有一项高辐射的危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有A、B、C三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，且互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． （1），如果按照A、B、C的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出人员数目 X的分布列和数学期望； （2）假定，试分析以怎样的先后顺序派出A、B、C三个人，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小. 18. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线，离心率为，点P是上任意一点．抛物线， （1）求的方程； （2）过点P作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值； （3）是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 19. 函数 （1）时，证明：； （2）讨论函数的零点个数； （3）当时，记所有零点之和为若无零点则，证明：参考数据： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $