精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题（五四学制）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区九年级（上）期末数学模拟试卷（五四学制） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 以下各点中，不在反比例函数的图象上的点为（ ）． A. B. C. D. 2. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到拋物线，则这个变换可以（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向上平移2个单位 C. 向右平移2个单位 D. 向下平移2个单位 4. 如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体组成，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 在正方形网格中，如图所示放置，则等于( ) A. 3 B. C. D. 6. 某十字路口的交通信号灯有以下规律：红灯亮50秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，按照这个规律，不考虑其他因素，小明到达该十字路口恰好遇到绿灯的概率是（　　） A B. C. D. 7. 如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角最小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AC、BD是⊙O的两条相交弦，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝，则⊙O的直径是（　　） A. 2 B. 4 C. D. 9. 如图，在中，点分别在边上，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 抛物线的对称轴是________． 13. 已知，分别是反比例函数图象上的两点，则_____．（用“＞”，“＜”或“＝”填空） 14. 如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________米. 15. 如图，是的直径，点D在的延长线上，DC切⊙O于点C，若，则的度数为 ___________． 16. 如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进米到点，又测得仰角为，已知该高楼的高度为米，则________米． 17. 不透明的袋子中装有2个红球，3个黄球，它们除颜色外，其它都相同，从中随机一次摸出两个球，颜色不同的概率是 __________________． 18. 某扇形的面积是，半径是，则此扇形的弧长为_______cm． 19. 如图一，矩形纸片中，已知，先按图二操作，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在边上的点E处，折痕为；再按图（三）操作：沿过点F的直线折叠，使点C落在上的点H处，折痕为，则的余弦值 ____________________． 20. 如图，在四边形中，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得，当恰好过点时，为等腰三角形，若，则长度为 ______． 三．解答题（共7小题，满分60分） 21. 先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x＝2cos45°+1． 22. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的； （2）画出绕原点O顺时针旋转的，并求在旋转过程中，点A到点所经过的路径长． 23. 为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且，A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（∠ACD）可以根据用户的舒适度需求在0°~90°调节． （1）求C到地面DE距离； （2）该人身高为1.8米，通过尝试h身高0.8倍运动起来更加舒服． ①求此时点C到手柄AB的距离； ②求此时支架与踏板之间夹角的度数（参考数据：，，） 24. 如图，在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为． （1）求的度数． （2）若，，求点A，B到直线的距离的和． 25. 某商店购入一批产品进行销售，进价为10元/件，计划采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y件与售价x元/件满足一次函数的关系，部分数据如下表： x（元/件） 10 11 12 13 14 y（件） 900 850 800 750 700 （1）求y与x的函数关系式； （2）若线上售价保持比线下每件少2元，且线上的月销量都是700件．当线下售价为多少时，线上与线下的月总利润最大？最大利润是多少？ 26. 如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终． （1）如图1，当点M、N分别在线段上时，请写出线段之间的数量关系并证明； （2）如图2，当点M、N分别在的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明；若不成立，写出正确的结论，并证明； （3）如图3，在中，，D、E在上，，若，求线段围成的三角形的面积，直接写出结果． 27. 如图1，二次函数（a、b为参数，其中的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）若，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）； （2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且．求抛物线的解析式； （3）如图2，已知，E、F分别是CA和CB上的动点，且，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区九年级（上）期末数学模拟试卷（五四学制） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 以下各点中，不在反比例函数的图象上的点为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了满足反比例函数图象的点坐标．熟练掌握点在反比例函数图象上即点坐标满足反比例函数解析式是解题的关键．将点坐标代入，计算判断作答即可． 【详解】解：将代入得，，在反比例函数图象上，故A不符合要求； 将代入得，，在反比例函数图象上，故B不符合要求； 将代入得，，不在反比例函数图象上，故C符合要求； 将代入得，，在反比例函数图象上，故D不符合要求； 故选：C． 2. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 由定义可判定A、C、D选项的图形不是中心对称图形，故不符合题意； B选项图形是中心对称图形，符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到拋物线，则这个变换可以是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向上平移2个单位 C. 向右平移2个单位 D. 向下平移2个单位 【答案】D 【解析】 【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 拋物线的顶点坐标为， ∴抛物线向下平移2单位得到拋物线， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解决问题的关键． 4. 如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体组成，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：从左边看去，左边是两个正方形，右边是一个正方形，即可得出答案， 故选：A． 5. 在正方形网格中，如图所示放置，则等于( ) A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用网格求锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义式是解题的关系． 先确定直角三角形，再根据余弦的定义式求解即可． 【详解】解：在网格中确定格点直角三角形，如图所示： 观察图形可得：，， ∴ ∴， 故选：D． 6. 某十字路口的交通信号灯有以下规律：红灯亮50秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，按照这个规律，不考虑其他因素，小明到达该十字路口恰好遇到绿灯的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 直接运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵红灯亮50秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒， ∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率为． 故选：B． 7. 如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角最小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，第一次与重合时，即为最小的旋转角，即，求得即可． 【详解】，， ， 旋转， ， 点、、在同一条直线上， ． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，邻补角的概念，直角三角形的两锐角互余，理解题意求得是解题的关键． 8. 如图，AC、BD是⊙O的两条相交弦，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝，则⊙O的直径是（　　） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接OC，过点O作于点E，圆周角∠A所对的弧是，∠BDC所对的弧是弧，则两圆周角相等，在等边△ABC中，OC平分 ∠ACB，CE是AC的，在Rt△OCE中，∠OCE的余弦值为邻边与斜边的比值，据此可求解． 【详解】解∶如图，在⊙O中 ，连接OC，作OE⊥AC于E，则CE=AC ∵∠A，∠BDC所对的弧是， ∴∠A=∠BDC=60°， ∵∠ACB=∠BDC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠OCE=＝30°， 又CE=AC= ， OC= =2， ∴⊙O的直径是4， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理及推论，垂径定理，锐角三角函数的定义，等边三角形的判定和性质，侧重考查对知识的理解和应用． 9. 如图，在中，点分别在边上，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由得，再根据平行线分线段成比例定理即可得解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 10. 已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数关系．①由抛物线的开口方向，可得的符号；②抛物线与轴交点的位置、对称轴、的符号即可确定、的符号，即得的符号；③由抛物线与轴有两个交点判断即可；④由对称轴，，可得． 【详解】解：①由开口向下，可得，故①正确； ②又由抛物线与轴交于正半轴，可得，然后由对称轴在轴左侧，得到与同号，则可得，，故②错误； ③由抛物线与轴有两个交点，可得，故③正确； ④抛物线对称轴，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有2个． 故选：B． 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，熟练掌握相关知识是解题关键．根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 抛物线的对称轴是________． 【答案】直线 【解析】 【分析】根据顶点坐标公式计算即可得到答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线x=， 故答案为：直线． 【点睛】此题考查了求抛物线的顶点坐标，熟记抛物线顶点坐标公式是解题的关键． 13. 已知，分别是反比例函数图象上的两点，则_____．（用“＞”，“＜”或“＝”填空） 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：比例函数中，， 此函数图象在二、四象限， ， ，在第二象限， 函数图象在第二象限内为增函数， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象在每个象限内的增减性是解答此题的关键． 14. 如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________米. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得；即DC2=ED?FD，代入数据可得答案． 【详解】根据题意，作△EFC， 树高为CD，且∠ECF=90°，ED=3，FD=12， 易得：Rt△EDC∽Rt△DCF， 有，即DC2=ED×FD， 代入数据可得DC2=36， DC=6， 故答案为6． 15. 如图，是的直径，点D在的延长线上，DC切⊙O于点C，若，则的度数为 ___________． 【答案】##27度 【解析】 【分析】连接，利用切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 16. 如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进米到点，又测得仰角为，已知该高楼的高度为米，则________米． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用三角形的外角性质可得，从而可得米，即可解答． 【详解】由题意得：， 在中，， ∴(米)， ∵是的一个外角，， ∴， ∴， ∴米， ∴， 故答案为：30． 17. 不透明的袋子中装有2个红球，3个黄球，它们除颜色外，其它都相同，从中随机一次摸出两个球，颜色不同的概率是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查利用列表法或树状图法求概率，理解题意，根据题意画出树状图，然后求解即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有20种等可能的结果，颜色不同的有12种情况， ∴从中随机一次摸出两个球，颜色不同的概率是：． 故答案为：． 18. 某扇形的面积是，半径是，则此扇形的弧长为_______cm． 【答案】5π 【解析】 【分析】由扇形的面积=×弧长×半径，即可求得答案． 【详解】解：∵扇形的面积= ×弧长×半径， ∴弧长=2×扇形面积÷半径， 即弧长= 2×20π÷8=5π（cm）， 故答案为：5π ． 【点睛】此题考查了扇形面积公式，解题的关键是熟记扇形的公式． 19. 如图一，矩形纸片中，已知，先按图二操作，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在边上的点E处，折痕为；再按图（三）操作：沿过点F的直线折叠，使点C落在上的点H处，折痕为，则的余弦值 ____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用折叠的性质，掌握解直角三角形的一般方法．设，，根据折叠的性质，结合勾股定理求出，过H作，垂足为M，解直角三角形，求出，最后根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：过点H作交与P， 设，， 由折叠的性质可得，，，， ∴四边形为矩形，四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， x， 在F中，，由勾股定理得， x， 在中，，，由勾股定理得， ， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 如图，在四边形中，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得，当恰好过点时，为等腰三角形，若，则的长度为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，过点作于，可得四边形是矩形，得到，，进而得到为等腰直角三角形，即得，设，则，，由勾股定理得，解得，得到，进而得，再由得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针方向旋转后得， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共7小题，满分60分） 21. 先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x＝2cos45°+1． 【答案】， 【解析】 【分析】先按照分式运算法则化简，再求出x，代入求值即可 【详解】解：（1﹣）÷ = = = x＝2cos45°+1=， 把x＝代入，原式=． 【点睛】本题考查了分式化简求值和特殊角三角函数值，解题关键是熟练进行分式化简，准确代入数值进行计算． 22. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的； （2）画出绕原点O顺时针旋转的，并求在旋转过程中，点A到点所经过的路径长． 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析，． 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图、旋转作图、弧长公式等知识点，掌握轴对称的性质和旋转的性质是解本题的关键． （1）根据轴对称的性质即可画出关于x轴对称的； （2）根据旋转的性质即可画出绕原点O顺时针旋转的，根据弧长公式即可求出点A到点所经过的路径长． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ． 【小问2详解】 解：如图：即所求； ∵， ∴点A到点所经过的路径长为：． 23. 为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且，A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（∠ACD）可以根据用户的舒适度需求在0°~90°调节． （1）求C到地面DE距离； （2）该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服． ①求此时点C到手柄AB的距离； ②求此时支架与踏板之间夹角的度数（参考数据：，，） 【答案】（1）； （2）①，② 【解析】 【分析】（1）过C作CN⊥DE于G，由坡度坡角的关系求出∠CDN=30°，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）①延长NC交AB于M，则CM⊥AB，求出h=MN=1.44（m），由（1）得CN=0.8m，然后求出CM的长即可； ②由锐角三角函数定义求出∠ACM≈37°，再由（1）得∠DCN=90°-∠CDN=60°，然后求出∠ACD的度数即可． 【小问1详解】 解：过点C作CN⊥DE，垂足N， 在Rt△CND中，， ∴∠CDN＝30°， CN＝0.5×1.6＝0.8， 【小问2详解】 ①延长NC，交AB的延长线于点M ∵AB∥DE， ∴CM⊥AB， ∴h＝MN＝1.8×0.8＝1.44， ∴CM＝1.44－0.8＝0.64， ②在Rt△ACM中，， ∵cos37°≈0.8， ∴∠MCA＝37°， ∴， 由（1）得：∠DCG=90°-∠CDG=60°， ∴∠ACD=180°-∠ACF-∠DCG≈180°-37°-60°=83°． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 24. 如图，在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为． （1）求的度数． （2）若，，求点A，B到直线的距离的和． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由弧与圆心角的关系可得，，再结合等腰三角形的性质可得答案； （2）过A作于Q，过B作于F，可得，再利用直角三角形的性质可得答案； 小问1详解】 解：∵在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为， ∴，，，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：过A作于Q，过B作于F，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 由勾股定理得：，， 解得：， ， 所以点A，B到直线的距离的和是． 【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，弧与圆心角的关系，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25. 某商店购入一批产品进行销售，进价为10元/件，计划采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y件与售价x元/件满足一次函数的关系，部分数据如下表： x（元/件） 10 11 12 13 14 y（件） 900 850 800 750 700 （1）求y与x的函数关系式； （2）若线上售价保持比线下每件少2元，且线上的月销量都是700件．当线下售价为多少时，线上与线下的月总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润是10600元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质解答． （1）根据线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元件，）满足一次函数的关系和表格中的数据，利用待定系数法可以求得与的函数关系式； （2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和的函数关系式，再利用二次函数的性质，求线上和线下月利润总和达到最大，并求出此时的最大利润． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 把，代入解析式得， 解得， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设总利润为元， ， ，， 当时，取得最大值，此时， 答：当时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润是10600元． 26. 如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终． （1）如图1，当点M、N分别在线段上时，请写出线段之间的数量关系并证明； （2）如图2，当点M、N分别在的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明；若不成立，写出正确的结论，并证明； （3）如图3，在中，，D、E在上，，若，求线段围成的三角形的面积，直接写出结果． 【答案】（1），理由见解析； （2）（1）中的结论不成立，正确结论是，理由见解析； （3）2． 【解析】 【分析】（1）如图1，延长至F，使，连接，可证得，得出，再证得，进而证明结论； （2）如图2，在射线上截取，连接，可证得，得出，再证得，进而证明结论； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得，则，得围成的三角形面积，据此即可求解． 【小问1详解】 解：．理由如下： 如图1，延长至F，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：（1）中的结论不成立，正确结论是，理由如下： 如图2，在射线上截取，连接，   ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图3，     则， ∴， ∴， 同（2）得：， ∴， ∴围成的三角形面积为围成的三角形面积． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识点，本题综合性强，正确作出辅助线得出全等三角形是解题的关键． 27. 如图1，二次函数（a、b为参数，其中的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）若，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）； （2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且．求抛物线的解析式； （3）如图2，已知，E、F分别是CA和CB上的动点，且，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值． 【答案】（1）； （2）抛物线的解析式为或； （3）MN的最大值为 【解析】 【分析】（1）将b=-10a代入y=ax²-3ax+b，求得点A和点B的坐标，用a表示出点C的坐标，利用正切函数的定义即可得出tan∠CBA的值； （2）由二次函数y=ax²-3ax+b的顶点为D，可得点D的横坐标，过D作DH⊥x轴，交轴于点H，判定△AOP∽△AHD，从而得比例式，根据AP∶DP=2∶3，可得出点A、点B的坐标，代入解析式可得y=ax²-3ax-4a，从而可用a表示出点C的坐标，再分三种情况计算：①若AB=BC，②若AB=AC，③显然不存在BC=AC．前两种情况分别根据两点距离公式可解得a的值，则可求得抛物线的解析式； （3）由点A、点B、点C的坐标求得直线AC和直线BC 的k值；由圆周角定理可得∠ECF=90°，则可得 ，从而解得a的值，求得点C的坐标，取EF的中点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，则Q在以C为圆心，为半径的圆上运动，在Rt△QHN中，QN=，求HN的最大值等价于求QH的最小值，求得HN的最大值，即可求出MN的最大值． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 令，得， ∵， ∴，， ∴A（－2，0），B（5，0），C（0，－10a）， ∴． 【小问2详解】 解：∵二次函数的顶点为D， ∴． 过D作轴，交x轴于点H，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴B（4，0）， ∴， ∴C（0，－4a）， ①若，则， ∴， 解得或（舍）， ∴； ②若，则， ∴， 解得或（舍）， ∴； ③显然不存在． ∴抛物线的解析式为或； 【小问3详解】 解：∵A（－1，0），B（4，0），C（0，－4a） ∴，， ∵以EF为直径的圆经过点C， ∴， ∴，即， 解得或（舍）， ∴C（0，2）， ∵， ∴， 取EF的中点Q，过点Q作轴于点H，则Q在以C为圆心，为半径的圆上运动， 由垂径定理得：， 在Rt△QHN中，，求HN的最大值等价于求QH的最小值，求得HN的最大值即可求出MN的最大值， ∵QH的最小值为：， ∴HN的最大值为：， ∴MN的最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象与坐标轴的交点、一元二次方程的应用、圆的基本性质及相关计算、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及两点距离公式等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$