（篇二）第四单元比例·正比例和反比例篇【八大考点】-2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第四单元比例·正比例和反比例篇【八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元比例·正比例和反比例篇 专题内容 本专题以正比例和反比例为主，其中包括正比例和反比例的意义与认识，正比例和反比例的关系判断，正比例和反比例的图像及实际应用等内容。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】正比例的意义与认识 3 【考点二】反比例的意义与认识 5 【考点三】比例关系的判断其一：直接判断 7 【考点四】比例关系的判断其二：乘积式或分数式 10 【考点五】根据正比例和反比例求变量的值 11 【考点六】正比例的图像与实际应用 14 【考点七】反比例的图像与实际应用 17 【考点八】正比例和反比例图像的绘制 20 【第三篇】典型例题篇 【考点一】正比例的意义与认识。 【方法点拨】 1. 正比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，用字母表示为(一定） 2. 判断两种量是否成正比例关系的方法。 先找变量（找两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两个数的比值是否一定），最后作出判断。 3. 正比例关系图象的特点。 正比例关系图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直观地看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。 【典型例题】 科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。 （1）说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。 解析：竹竿的高增加1m，竿影的长随之增加0.4m。 （2）写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现? 解析：竿影的长/竹竿的高=0.4，不管竹竿的高怎么变化，竿影的长和竹竿的高的比值是不变的。 （3）竹竿的高与竿影的长是不是成正比例?说明理由。 解析：竹竿的高与竿影的长成正比例，因为它们的比值一定。 【对应练习1】 乘船的人数与所付船费如下表。 （1）表格中的( )和( )是两种相关联的量，船费随着( )的变化而变化； （2）船费与人数数量中相对应的两个数的比值是( )，这个比值实际上表示( )； （3）因为每人的( )一定，所以( )和( )成( )比例关系。 解析： （1）人数；船费；人数；(2)5；每人付的船费；（3）船费；船费；人数；正 【对应练习2】 乘船的人数与所付的船费为： （1）计算船费与对应人数的比值，说一说哪个量没有变化? （2）乘船船费与人数有什么关系? 解析： （1）每张船票的价钱没有变化； （2）正比例关系 【对应练习3】 观察一辆汽车运货时间和运货吨数统计表： 运货时间（时） 1 2 3 4 5 6 … 运货吨数（吨） 5 10 15 20 25 30 … （1）表中变化的量有( )和( )。 （2）( )扩大，( )也随着扩大。 （3）3小时运货( )吨，运30吨需要( )小时。 （4）运货吨数和运货时间这两种量中相对应两个数的比值都等于( )，所以表中的两种量成( )比例。 解析：（1）运货时间；运货吨数；（2）运货时间；运货吨数；（3）15；6；（4）5；正 【考点二】反比例的意义与认识。 【方法点拨】 1. 反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系 ，用字母表示为xy=k（一定）。 2. 判断两种量是否成反比例关系的方法。 先找变量（两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两个数的乘积是否一定），最后作出判断。 【典型例题】 小红看一本书，每天看的页数和所用的天数如下表。 （1）表中( )和( )是两种相关联的量。 （2）这两种相关联的量中，相对应的两个数的积是( )，这个积表示的是( )。 （3）由此可知∶( )一定时，( )和( )成( )比例关系。 解析： （1）每天看的页数；所用的天数；(2)200；这本书的总页数；（3） 总页数；每天看的页数；所用的天数；反 【对应练习1】 某工厂生产一批零件，每天生产的个数与需要的天数如下表。 （1） 表中有哪两种量?它们是不是相关联的量? （2）写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小，想一想，这个积表示什么? （3）每天生产的个数与需要的天数成反比例关系吗?为什么? 解析： （1） 有每天生产的个数和需要的天数两种量；是相关联的量； （2）200×30=300×20=400×15=500×12=6000；积6000表示零件总个数； （3）成反比例关系；因为每天生产的个数和需要的天数的乘积一定。 【对应练习2】 运一批货物，每天运的吨数和需要的天数如下表： 每天运的吨数 300 150 100 75 60 50 需要的天数 1 2 3 4 5 6 （1）写出几组这两组量中的对应的两个数的积，并比较积的大小。 （2）说明这个积表示什么？ （3）表中相关联的两个量成反比例吗？为什么？ 解析： （1）因为积都是300，所以积相等； （2）这批货物的总吨数； （3）反比例关系．因为表中相对应的两个数的乘积一定。 【对应练习3】 生产240个零件，工作效率和工作时间如下表。 工作效率（个/时） 120 80 60 48 40 … 工作时间/时 2 3 4 … （1）填写上表，工作时间是随着哪个量的变化而变化的？ （2）相对应的两个数的乘积各是多少？ （3）这个乘积的实际意义是什么？你能用式子表示出它与工作效率、工作时间之间的关系吗？ （4）工作效率和工作时间成反比例吗？为什么？ 解析： 生产240个零件，工作效率和工作时间如下表。 工作效率（个/时） 120 80 60 48 40 … 工作时间/时 2 3 4 5 6 … （1）工作时间是随着工作效率的变化而变化的； （2）相对应的两个数的乘积是240； （3）这个乘积的实际意义是生产240个零件，工作效率×工作时间＝工作总量； （4）工作效率和工作时间成反比例。因为工作效率和工作时间是两个相关联的两个量，并且工作时间随着工作效率的变化而变化，工作效率×工作时间＝工作总量（一定），所以，工作效率和工作时间成反比例。 【考点三】比例关系的判断其一：直接判断。 【方法点拨】 判断正比例和反比例关系主要有三点要求： 1. 是否为相关联的量； 2. 是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方向相同，反比例关系两种量的变化方向相反； 3. 比值或乘积是否一定（“商正积反”）： ①若两个变量的比值一定，则成正比例； ②若两个变量的乘积一定，则成反比例。 补充： 正比例关系和反比例关系的异同点： 正比例关系 反比例关系 相同点 1.都是两种相关联的量。 2.一种量随着另一种量的变化而变化。 不同点 1.变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。 2.相对应的两个数的比值一定。 3.关系式：(一定）。 1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。 2.相对应的两个数的乘积一定。 3.关系式：xy=k(一定)。 【典型例题】 如果路程一定，那么速度和时间成( )比例关系。如果单价一定，那么总价和数量成( )比例关系。 【答案】 反 正 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量随着变化，如果相对应的两个数的比值一定，则这两种量成正比例关系；如果相对应的两个数的积一定，则这两种量成反比例关系；据此解答。 【详解】速度×时间＝路程（一定），所以速度和时间成反比例。 总价÷数量＝单价（一定），所以总价和数量成正比例。 如果路程一定，那么速度和时间成放比例关系。如果单价一定，那么总价和数量成正比例关系。 【对应练习1】 三个相关联的量，A表示单价，B表示数量，C表示总价。如果A一定，那么B和C成( )比例关系；如果C一定，那么A和B成( )比例关系。 【答案】 正 反 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 【详解】根据总价÷数量＝单价，如果A一定，那么B和C成正比例关系；根据单价×数量＝总价，如果C一定，那么A和B成反比例关系。 【对应练习2】 在横线上填上“成正比例”“成反比例”或“不成比例”。 ①总价一定，单价和数量( )。 ②圆的半径的平方和圆的面积( )。 ③红红的身高和年龄( )。 ④汽车的一公里耗油量一定，总耗油量和行程( )。 【答案】 成反比例 成正比例 不成比例 成正比例 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【详解】①因为单价×数量＝总价（一定），它们的乘积一定，所以总价一定，单价和数量成反比例。 ②因为圆的面积÷圆的半径的平方＝圆周率（一定），它们的比值一定，所以圆的半径的平方和圆的面积成正比例。 ③因为红红的身高和年龄是相关联的量，但身高和年龄的乘积和比值都不一定，所以红红的身高和年龄不成比例。 ④因为总耗油量÷行程＝每公里的耗油量（一定），它们的比值一定，所以汽车的一公里耗油量一定，总耗油量和行程成正比例。 【对应练习3】 判断下面各题中的两种是否成比例关系，如果成比例关系，成什么比例关系？ (1)玉米每公顷产量一定，玉米的总产量与公顷数。( ) (2)大豆的出油率一定，大豆的质量和榨出油的质量。( ) (3)圆锥的体积一定，圆锥的底面积与高。( ) (4)一根甘蔗，吃去的长度和剩下的长度。( ) 【答案】(1)成正比例 (2)成正比例 (3)成反比例 (4)不成比例 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【详解】（1）玉米总产量÷公顷数＝每公顷玉米的产量（一定），是比值一定，所以玉米的总产量与公顷数成正比例； （2）因为榨出油的质量÷大豆的质量×100%＝出油率（一定），是比值一定，所以大豆的质量和榨出油的质量成正比例； （3）圆锥的底面积×高＝体积×3（一定），是乘积一定，所以圆锥的底面积和高成反比例； （4）吃去的长度＋剩下的长度＝总长度（一定），是和一定，既不符合反比例的意义也不符合正比例的意义，所以吃去的长度和剩下的长度不成比例。 【考点四】比例关系的判断其二：乘积式或分数式。 【方法点拨】 已知乘积式，先把乘积式进行转换，看是否能求比值或乘积，最后再判断比例关系。 【典型例题1】“乘积式”。 x×2＝y（x不为0），x和y成( )比例；如果3x＝4y（y不为0），那么x和y成( )比例。 解析：正；正 【典型例题2】“分数式”。 若，则m和n成( )比例；若（a不为0），则a和b成( )比例。 解析：正；反 【对应练习1】 如果5A＝4B（A、B均不为0），那么A∶B＝( )，A和B成( )比例。 解析：4∶5；正 【对应练习2】 和是两个相关联的量，如果5＝9，那么和成( )比例；如果＝15÷，那么和成( )比例。 解析：正；反 【对应练习3】 ＝C（A，B，C不为0），如果A一定，那么B和C成( )比例；如果B一定，那么A和C成( )比例；如果C一定，那么A和B成( )比例。 解析：反；正；正 【考点五】根据正比例和反比例求变量的值。 【方法点拨】 已知正比例或反比例关系，求变量是多少，可以根据正比例和反比例的数量关系进行计算，即正比例是两个变量的商一定，反比例是两个变量的积一定。 【典型例题】 下图中，如果A与B成正比例，则＝( )；如果A与B成反比例，则＝( )。 A B 20 【答案】 16 25 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。如果A和B成正比例，则A∶B＝∶20；把A＝代入比例式，解比例求出B的值。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。如果A和B成反比例，则AB＝×20；把A＝代入比例式，解比例求出B的值。 【详解】如果A与B成正比例，那么： ∶＝∶20 解：＝20× ＝4 ＝4÷ ＝4×4 ＝16 如果A与B成反比例，那么： ＝×20 ＝5 ＝5÷ ＝5×5 ＝25 【对应练习1】 x 3 ？ y 90 150 （1）如果x与y成正比例关系，？处应填( )； （2）如果x与y成反比例关系，？处应填( )。 【答案】 5 1.8 【分析】正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就是成正比例的量。它们的关系是正比例关系； 反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例。 【详解】（1）150÷（90÷30） ＝150÷30 ＝5 如果x与y成正比例关系，？处应填5。 （2）3×90÷150 ＝270÷150 ＝1.8 如果x与y成反比例关系，？处应填1.8。 【对应练习2】 下面表中，若x和y成正比例，则※代表的数是( )，若x和y成反比例，则※代表的数是( )。 x 2 y 5 ※ 【答案】 50 【分析】根据题意，若x和y成正比例，则2∶5＝∶※，进而求出※的值； 若x和y成反比例，则2×5＝×※，进而求出※的值。 【详解】若x和y成正比例： 2∶5＝∶※ 2※＝5× 2※＝1 ※＝1÷2 ※＝ 如x和y成反比例： 2×5＝※ ※＝10 ※＝10÷ ※＝10×5 ※＝50 若x和y成正比例，则※代表的数是，若x和y成反比例，则※代表的数是50。 【对应练习3】 如表，若x和y成正比例，空格里应填( )；若x和y成反比例，空格里应填( )。 x 12 y 4 8 【答案】 24 6 【分析】两个相关联的量，若其比值一定，则两个量成正比例关系；若其乘积一定，则两个量成反比例关系，据此列式解即可。 【详解】当x和y成正比例时， 12∶4＝x∶8 解：4x＝12×8 4x＝96 x＝96÷4 x＝24 当x和y成反比例时列式： 8x＝4×12 解：8x＝48 x＝48÷8 x＝6 综上所述：若x和y成正比例，空格里应填24；若x和y成反比例，空格里应填6。 【考点六】正比例的图像与实际应用。 【方法点拨】 正比例关系的图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直观地看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。 【典型例题】 下一根弹簧挂上物体（质量不超过20kg）后会伸长。下图表示弹簧伸长的长度和所挂物体的质量之间的关系。 (1)弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成( )比例。 (2)根据图象判断，如果挂上7kg的物体，那么弹簧将伸长( )cm。 (3)要使弹簧伸长2.25cm，应挂上( )kg的物体。 解析： （1）2∶0.5＝4∶1＝4（比值一定） 所以物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。 （2）7÷4＝1.75（厘米） 所以挂上7kg的物体，弹簧应伸长1.75厘米。 （3）2.25×4＝9（kg） 所以要使弹簧伸长2.25cm，应挂上9kg的物体。 【对应练习1】 如图是一个水龙头打开后出水量的情况统计。 (1)看图填写下表： 时间（秒） 20 ( ) 出水量（升） ( ) 8 (2)这个水龙头打开的时间和出水量成( )比例，算一算( )秒时出水量是9.6升。 (3)20秒的出水量比50秒的出水量少( )。 解析： (1)     40     4 (2)     正     48 (3)60 【对应练习2】 下图是小冬和爸爸爬山比赛情况的统计图，认真观察，回答下列问题。 (1)( )在途中休息了( )分钟。 (2)出发( )分钟后，两人在距离起点( )m处相遇。 (3)( )先到达终点，早( )分钟到达。 (4)在比赛的过程中，小冬走过的路程和时间成( )比例关系。 解析： (1)     爸爸     5 (2)     15     300 (3)     小冬     2.5 (4)正 【对应练习3】 电信公司推出校园卡业务，下图表示长途电话通话时间与话费的关系，观察下图并回答后面的问题。 （1）校园卡每分钟话费是多少? （2）通话1小时需要话费多少? （3）淘气和国外表哥通话花费16.5元，他俩通话了多长时间? 解析： （1）0.3元；（2）18元；（3）55分钟 【考点七】反比例的图像与实际应用。 【方法点拨】 从图象中可以直观地看到反比例关系图象中两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。 【典型例题】 把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形杯子中，杯子的底面积和杯中水面的高度关系的图象如图所示： （1）底面积和水面高度成( )比例关系。 （2）底面积是10cm²的杯子中，水面的高度是( )cm，底面积是30cm²的杯子中，水面的高度是( )cm。 （3）估计一下，底面积是40cm²的杯子中，水面的高度是( )cm。 解析：（1）反；（2）30；10；（3）7.5 【对应练习1】 小丽正在读一本故事书，下图表示的是她读书的天数和每天读书的页数之间的关系。 （1）图中的一条曲线，反映了( )和( )成( )比例； （2）由图象判断，整本书有( )页，如果20天读完，每天要读( )页；如果每天读5页，需要读( )天。 解析：（1）读书的天数；每天读书的页数；反；（2）80；40；6 【对应练习2】 下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间。 （1）在这个过程中，哪种量没有变？ （2）速度和所对应的时间成什么比例关系？ （3）不计算，观察图象，如果每小时行40km，那么从甲地到乙地大约需要多少小时？ 解析： （1）路程； （2）反比例； （3）2.5小时 【对应练习3】 小强用下面的图像表示从甲地到乙地，用不同的速度和所用的时间。 把图像所表示的数据填在下面的表内。 时间/时 速度（千米/时） 回答下面问题： （1）在这一过程中，哪个量没有变？ （2）速度和时间有什么关系？ （3）不计算，从图中观察，如果每小时行40千米，大约用多少小时？ 解析： 填表如下： 时间/时 1 2 5 10 20 速度（千米/时） 100 50 20 10 5 （1）路程没有变； （2）成反比例关系； （3）2.5小时 【考点八】正比例和反比例图像的绘制。 【方法点拨】 1.结合图像观察来确定是正比例还是反比例。 2.若是正比例则利用两个量商一定的关系求解；若是反比例就利用两个量积一定的关系求解。 【典型例题】 淘气借助表格和画图的方法探究当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积和梯形的高之间的关系。梯形的上底和下底长度不变，也就是上底、下底长度的和不变，那么梯形的面积和梯形的高之间的关系如下表。 梯形的面积/平方米 0 2 4 6 8 10 … 梯形的高/米 0 1 2 3 4 5 … （1）在图中描出梯形的面积与对应高的点，并连线。 （2）当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积与梯形的高成( )比例，理由是( )。 （3）根据表格呈现的数据，这个梯形的上底与下底的和是( )米。 （4）当梯形的高是7米时，对应的梯形的面积是( )平方米。 解析： （1）如图： （2）当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积与梯形的高成正比例关系；理由是根据梯形面积公式“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”可得：梯形面积÷高＝（上底＋下底）÷2，上底和下底长度不变时，（上底＋下底）÷2的值不变，所以梯形面积和高成正比例关系。 （3）10×2÷5＝4（米） 即这个梯形的上底与下底的和是4米。 （4）7×4÷2＝14（平方米） 即对应的梯形的面积是14平方米。 【对应练习1】 把相同体积的水倒入底面积不同的杯子中，杯子的底面积和杯子中水面高度的关系如下表所示。 底面积/cm2 5 10 20 30 60 水面高度/cm 60 30 15 10 5 （1）把表中杯子的底面积和杯子中水面的高度所对应的点描在下面的方格中，再顺次连接。 （2）判断杯子的底面积和杯子中水面的高度成( )比例关系。 （3）照这样计算，底面积是50平方厘米的杯子中，水面的高度是( )厘米。 解析： （1）如图： （2）5×60＝10×30＝20×15＝30×10＝60×5＝300 乘积相等，所以杯子的底面积和杯子中水面的高度成反比例关系。 （3）5×60÷50 ＝300÷50 ＝6（厘米） 底面积是50平方厘米的杯子中，水面的高度是6厘米。 【对应练习2】 一个工程队每天铺设管道30米，照这样的效率，2天、3……能铺设管道多少米？ （1）把下表填写完整。 时间/天 1 2 3 4 5 6 管道长/米 30 60 ( ) ( ) ( ) ( ) （2）根据表中数据，把铺设管道的时间与管道长之间相对应的点在图中描出来，并连线。 （3）铺设管道的时间与管道长成什么比例关系？为什么？ （4）根据图像判断，7天能铺设( )米管道。 解析： （1）30×3＝90（米） 30×4＝120（米） 30×5＝150（米） 30×6＝180（米） 表格如下： 时间/天 1 2 3 4 5 6 管道长/米 30 60 90 120 150 180 （2）作图如下： （3）已知管道铺设的总长度÷天数＝每天铺设的管道长度（一定），工作效率不变，则铺设管道的时间与管道长成正比例； （4）30×7＝210（米） 根据图像判断，7天能铺设210米管道。 【对应练习3】 新冠肺炎疫情期间，工作人员配制消毒水，这种消毒水是由药液和水按1∶60配制而成的。 （1）请根据这个关系完成如表。 药液/克 0 1 2 3 4 5 6 水/克 0 60 120 ( ) ( ) ( ) ( ) （2）在如图中描出表示药液和相对应的水的质量的点，再把这些点按顺序连接起来。 （3）水的质量与所需药液的质量成( )比例关系。 （4）要配制976克的消毒水，需要药液( )克。 解析： （1）如表： 药液/克 0 1 2 3 4 5 6 水/克 0 60 120 180 240 300 360 （2）如图： （3）水的质量与所需药液的质量成正比例关系。 （4）1＋60＝61（份） 976×＝16（克） 要配制976克的消毒水，需要药液16克。 【对应练习4】 我国自行研制的“运”飞机运载量大，性能优越。下表是某架“运”飞机的运输时间和飞行距离的情况。 运输时间时 1 2 3 4 5 6 飞行距离/千米 600 1200 1800 2400 3000 3600 （1）“运”飞机的运输时间和飞行距离成什么比例？为什么？ （2）根据上表，把运输时间与飞行距离所对应的点在图中描出来，并连线。 （3）“运”飞机飞行45小时，可以飞行多少千米？ 解析： （1）600÷1＝600（千米）、1200÷2＝600（千米）、1800÷3＝600（千米），“运”飞机的运输时间和飞行距离成正比例；因为飞行距离和飞行时间的比值（即商）一定。 （2）如下图： （3）600×45＝27000（千米） 答：“运”飞机飞行45小时，可以飞行27000千米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 18 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 18 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第四单元比例·正比例和反比例篇【八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元比例·正比例和反比例篇 专题内容 本专题以正比例和反比例为主，其中包括正比例和反比例的 意义与认识，正比例和反比例的关系判断，正比例和反比例 的图像及实际应用等内容。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】正比例的意义与认识 ....................................................................................... 3 【考点二】反比例的意义与认识 ....................................................................................... 5 【考点三】比例关系的判断其一：直接判断 .................................................................... 7 【考点四】比例关系的判断其二：乘积式或分数式 .........................................................8 【考点五】根据正比例和反比例求变量的值 .................................................................... 9 【考点六】正比例的图像与实际应用 ..............................................................................10 【考点七】反比例的图像与实际应用 ..............................................................................12 【考点八】正比例和反比例图像的绘制 ..........................................................................15 第 3 页 共 18 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】正比例的意义与认识。 【方法点拨】 1. 正比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的 两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系， 用字母表示为 k x y  (一定） 2. 判断两种量是否成正比例关系的方法。 先找变量（找两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两个 数的比值是否一定），最后作出判断。 3. 正比例关系图象的特点。 正比例关系图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直观地 看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种 量的值。 【典型例题】 科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。 （1）说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。 （2）写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现? （3）竹竿的高与竿影的长是不是成正比例?说明理由。 第 4 页 共 18 页 【对应练习 1】 乘船的人数与所付船费如下表。 （1）表格中的( )和( )是两种相关联的量，船费随着( ) 的变化而变化； （2）船费与人数数量中相对应的两个数的比值是( )，这个比值实际上 表示( )； （3）因为每人的( )一定，所以( )和( )成( )比 例关系。 【对应练习 2】 乘船的人数与所付的船费为： （1）计算船费与对应人数的比值，说一说哪个量没有变化? （2）乘船船费与人数有什么关系? 【对应练习 3】 观察一辆汽车运货时间和运货吨数统计表： 运货时间（时） 1 2 3 4 5 6 … 运货吨数（吨） 5 10 15 20 25 30 … （1）表中变化的量有( )和( )。 （2）( )扩大，( )也随着扩大。 （3）3小时运货( )吨，运 30吨需要( )小时。 （4）运货吨数和运货时间这两种量中相对应两个数的比值都等于( )， 所以表中的两种量成( )比例。 第 5 页 共 18 页 【考点二】反比例的意义与认识。 【方法点拨】 1. 反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的 两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关 系 ，用字母表示为 xy=k（一定）。 2. 判断两种量是否成反比例关系的方法。 先找变量（两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两个数 的乘积是否一定），最后作出判断。 【典型例题】 小红看一本书，每天看的页数和所用的天数如下表。 （1）表中( )和( )是两种相关联的量。 （2）这两种相关联的量中，相对应的两个数的积是( )，这个积表示的 是( )。 （3）由此可知∶( )一定时，( )和( )成( )比例 关系。 【对应练习 1】 某工厂生产一批零件，每天生产的个数与需要的天数如下表。 （1） 表中有哪两种量?它们是不是相关联的量? （2）写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小，想一想，这 个积表示什么? （3）每天生产的个数与需要的天数成反比例关系吗?为什么? 第 6 页 共 18 页 【对应练习 2】 运一批货物，每天运的吨数和需要的天数如下表： 每天运的吨数 300 150 100 75 60 50 需要的天数 1 2 3 4 5 6 （1）写出几组这两组量中的对应的两个数的积，并比较积的大小。 （2）说明这个积表示什么？ （3）表中相关联的两个量成反比例吗？为什么？ 【对应练习 3】 生产 240个零件，工作效率和工作时间如下表。 工作效率（个/时） 120 80 60 48 40 … 工作时间/时 2 3 4 … （1）填写上表，工作时间是随着哪个量的变化而变化的？ （2）相对应的两个数的乘积各是多少？ （3）这个乘积的实际意义是什么？你能用式子表示出它与工作效率、工作时间 之间的关系吗？ （4）工作效率和工作时间成反比例吗？为什么？ 第 7 页 共 18 页 【考点三】比例关系的判断其一：直接判断。 【方法点拨】 判断正比例和反比例关系主要有三点要求： 1. 是否为相关联的量； 2. 是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方 向相同，反比例关系两种量的变化方向相反； 3. 比值或乘积是否一定（“商正积反”）： ①若两个变量的比值一定，则成正比例； ②若两个变量的乘积一定，则成反比例。 补充： 正比例关系和反比例关系的异同点： 正比例关系 反比例关系 相同点 1.都是两种相关联的量。 2.一种量随着另一种量的变化而变化。 不同点 1.变化方向相同，一种量 扩大或缩小，另一种量也 扩大或缩小。 2.相对应的两个数的比值 一定。 3.关系式： k x y  (一定）。 1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另 一种量反而缩小或扩大。 2.相对应的两个数的乘积一定。 3.关系式：xy=k(一定)。 【典型例题】 如果路程一定，那么速度和时间成( )比例关系。如果单价一定，那么总 价和数量成( )比例关系。 【对应练习 1】 三个相关联的量，A表示单价，B表示数量，C表示总价。如果 A一定，那么 B 和 C成( )比例关系；如果 C一定，那么 A和 B成( )比例关系。 【对应练习 2】 在横线上填上“成正比例”“成反比例”或“不成比例”。 第 8 页 共 18 页 ①总价一定，单价和数量( )。 ②圆的半径的平方和圆的面积( )。 ③红红的身高和年龄( )。 ④汽车的一公里耗油量一定，总耗油量和行程( )。 【对应练习 3】 判断下面各题中的两种是否成比例关系，如果成比例关系，成什么比例关系？ (1)玉米每公顷产量一定，玉米的总产量与公顷数。( ) (2)大豆的出油率一定，大豆的质量和榨出油的质量。( ) (3)圆锥的体积一定，圆锥的底面积与高。( ) (4)一根甘蔗，吃去的长度和剩下的长度。( ) 【考点四】比例关系的判断其二：乘积式或分数式。 【方法点拨】 已知乘积式，先把乘积式进行转换，看是否能求比值或乘积，最后再判断比例关 系。 【典型例题 1】“乘积式”。 x×2＝y（x不为 0），x和 y成( )比例；如果 3x＝4y（y不为 0），那么 x和 y成( )比例。 【典型例题 2】“分数式”。 若 7 m n ，则 m和 n成( )比例；若 5 b a  （a不为 0），则 a和 b成( ) 比例。 【对应练习 1】 如果 5A＝4B（A、B均不为 0），那么 A∶B＝( )，A和 B成( ) 比例。 【对应练习 2】 x和 y是两个相关联的量，如果 5 x＝9 y，那么 x和 y成( )比例；如果 y ＝ 15÷ x，那么 x和 y 成( )比例。 【对应练习 3】 A B ＝C（A，B，C不为 0），如果 A一定，那么 B和 C成( )比例；如果 第 9 页 共 18 页 B一定，那么 A和 C成( )比例；如果 C一定，那么 A和 B成( ) 比例。 【考点五】根据正比例和反比例求变量的值。 【方法点拨】 已知正比例或反比例关系，求变量是多少，可以根据正比例和反比例的数量关系 进行计算，即正比例是两个变量的商一定，反比例是两个变量的积一定。 【典型例题】 下图中，如果 A与 B成正比例，则 x＝( )；如果 A与 B成反比例，则 x ＝( )。 A 14 1 5 B 20 x 【对应练习 1】 x 3 ？ y 90 150 （1）如果 x与 y成正比例关系，？处应填( )； （2）如果 x与 y成反比例关系，？处应填( )。 【对应练习 2】 下面表中，若 x和 y成正比例，则※代表的数是( )，若 x和 y成反比例， 则※代表的数是( )。 x 2 15 y 5 ※ 【对应练习 3】 如表，若 x和 y成正比例，空格里应填( )；若 x和 y成反比例，空格里 应填( )。 第 10 页 共 18 页 x 12 y 4 8 【考点六】正比例的图像与实际应用。 【方法点拨】 正比例关系的图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直观 地看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一 种量的值。 【典型例题】 下一根弹簧挂上物体（质量不超过 20kg）后会伸长。下图表示弹簧伸长的长度 和所挂物体的质量之间的关系。 (1)弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成( )比例。 (2)根据图象判断，如果挂上 7kg的物体，那么弹簧将伸长( )cm。 (3)要使弹簧伸长 2.25cm，应挂上( )kg的物体。 【对应练习 1】 如图是一个水龙头打开后出水量的情况统计。 (1)看图填写下表： 第 11 页 共 18 页 时间（秒） 20 ( ) 出水量（升） ( ) 8 (2)这个水龙头打开的时间和出水量成( )比例，算一算( )秒时出 水量是 9.6升。 (3)20秒的出水量比 50秒的出水量少( )%。 【对应练习 2】 下图是小冬和爸爸爬山比赛情况的统计图，认真观察，回答下列问题。 (1)( )在途中休息了( )分钟。 (2)出发( )分钟后，两人在距离起点( )m处相遇。 (3)( )先到达终点，早( )分钟到达。 (4)在比赛的过程中，小冬走过的路程和时间成( )比例关系。 【对应练习 3】 电信公司推出校园卡业务，下图表示长途电话通话时间与话费的关系，观察下图 并回答后面的问题。 第 12 页 共 18 页 （1）校园卡每分钟话费是多少? （2）通话 1小时需要话费多少? （3）淘气和国外表哥通话花费 16.5元，他俩通话了多长时间? 【考点七】反比例的图像与实际应用。 【方法点拨】 从图象中可以直观地看到反比例关系图象中两种量的变化规律，不用计算就可以 根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。 【典型例题】 把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形杯子中，杯子的底面积和杯中水面的高 度关系的图象如图所示： 第 13 页 共 18 页 （1）底面积和水面高度成( )比例关系。 （2）底面积是 10cm²的杯子中，水面的高度是( )cm，底面积是 30cm² 的杯子中，水面的高度是( )cm。 （3）估计一下，底面积是 40cm²的杯子中，水面的高度是( )cm。 【对应练习 1】 小丽正在读一本故事书，下图表示的是她读书的天数和每天读书的页数之间的关 系。 （1）图中的一条曲线，反映了( )和( )成( )比例； （2）由图象判断，整本书有( )页，如果 20天读完，每天要读( ) 页；如果每天读 5页，需要读( )天。 第 14 页 共 18 页 【对应练习 2】 下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间。 （1）在这个过程中，哪种量没有变？ （2）速度和所对应的时间成什么比例关系？ （3）不计算，观察图象，如果每小时行 40km，那么从甲地到乙地大约需要多少 小时？ 【对应练习 3】 小强用下面的图像表示从甲地到乙地，用不同的速度和所用的时间。 把图像所表示的数据填在下面的表内。 时间/时 速度（千米/时） 回答下面问题： （1）在这一过程中，哪个量没有变？ （2）速度和时间有什么关系？ （3）不计算，从图中观察，如果每小时行 40千米，大约用多少小时？ 第 15 页 共 18 页 【考点八】正比例和反比例图像的绘制。 【方法点拨】 1.结合图像观察来确定是正比例还是反比例。 2.若是正比例则利用两个量商一定的关系求解；若是反比例就利用两个量积一定 的关系求解。 【典型例题】 淘气借助表格和画图的方法探究当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积和 梯形的高之间的关系。梯形的上底和下底长度不变，也就是上底、下底长度的和 不变，那么梯形的面积和梯形的高之间的关系如下表。 梯形的面积/平方米 0 2 4 6 8 10 … 梯形的高/米 0 1 2 3 4 5 … （1）在图中描出梯形的面积与对应高的点，并连线。 （2）当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积与梯形的高成( )比 例，理由是( )。 （3）根据表格呈现的数据，这个梯形的上底与下底的和是( )米。 （4）当梯形的高是 7米时，对应的梯形的面积是( )平方米。 第 16 页 共 18 页 【对应练习 1】 把相同体积的水倒入底面积不同的杯子中，杯子的底面积和杯子中水面高度的关 系如下表所示。 底面积 /cm2 5 10 20 30 60 水面高度 /cm 60 30 15 10 5 （1）把表中杯子的底面积和杯子中水面的高度所对应的点描在下面的方格中， 再顺次连接。 （2）判断杯子的底面积和杯子中水面的高度成( )比例关系。 （3）照这样计算，底面积是 50平方厘米的杯子中，水面的高度是( )厘 米。 【对应练习 2】 一个工程队每天铺设管道 30米，照这样的效率，2天、3……能铺设管道多少米？ （1）把下表填写完整。 时间/天 1 2 3 4 5 6 管道长/米 30 60 ( ) ( ) ( ) ( ) 第 17 页 共 18 页 （2）根据表中数据，把铺设管道的时间与管道长之间相对应的点在图中描出来， 并连线。 （3）铺设管道的时间与管道长成什么比例关系？为什么？ （4）根据图像判断，7天能铺设( )米管道。 【对应练习 3】 新冠肺炎疫情期间，工作人员配制消毒水，这种消毒水是由药液和水按 1∶60 配制而成的。 （1）请根据这个关系完成如表。 药 液/ 克 0 1 2 3 4 5 6 水/ 克 0 60 120 ( ) ( ) ( ) ( ) （2）在如图中描出表示药液和相对应的水的质量的点，再把这些点按顺序连接 第 18 页 共 18 页 起来。 （3）水的质量与所需药液的质量成( )比例关系。 （4）要配制 976克的消毒水，需要药液( )克。 【对应练习 4】 我国自行研制的“运 8 ”飞机运载量大，性能优越。下表是某架“运 8 ”飞机的运 输时间和飞行距离的情况。 运输时间 /时 1 2 3 4 5 6 飞行距离/千米 600 1200 1800 2400 3000 3600 （1）“运 8 ”飞机的运输时间和飞行距离成什么比例？为什么？ （2）根据上表，把运输时间与飞行距离所对应的点在图中描出来，并连线。 （3）“运 8 ”飞机飞行 45小时，可以飞行多少千米？ 第 1 页 共 27 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 27 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第四单元比例·正比例和反比例篇【八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元比例·正比例和反比例篇 专题内容 本专题以正比例和反比例为主，其中包括正比例和反比例的 意义与认识，正比例和反比例的关系判断，正比例和反比例 的图像及实际应用等内容。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】正比例的意义与认识 ....................................................................................... 3 【考点二】反比例的意义与认识 ....................................................................................... 5 【考点三】比例关系的判断其一：直接判断 .................................................................... 7 【考点四】比例关系的判断其二：乘积式或分数式 .......................................................10 【考点五】根据正比例和反比例求变量的值 .................................................................. 11 【考点六】正比例的图像与实际应用 ..............................................................................14 【考点七】反比例的图像与实际应用 ..............................................................................17 【考点八】正比例和反比例图像的绘制 ..........................................................................20 第 3 页 共 27 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】正比例的意义与认识。 【方法点拨】 1. 正比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的 两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系， 用字母表示为 k x y  (一定） 2. 判断两种量是否成正比例关系的方法。 先找变量（找两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两个 数的比值是否一定），最后作出判断。 3. 正比例关系图象的特点。 正比例关系图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直观地 看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种 量的值。 【典型例题】 科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。 （1）说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。 解析：竹竿的高增加 1m，竿影的长随之增加 0.4m。 （2）写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现? 解析：竿影的长/竹竿的高=0.4，不管竹竿的高怎么变化，竿影的长和竹竿的高的 比值是不变的。 （3）竹竿的高与竿影的长是不是成正比例?说明理由。 解析：竹竿的高与竿影的长成正比例，因为它们的比值一定。 【对应练习 1】 乘船的人数与所付船费如下表。 第 4 页 共 27 页 （1）表格中的( )和( )是两种相关联的量，船费随着( ) 的变化而变化； （2）船费与人数数量中相对应的两个数的比值是( )，这个比值实际上 表示( )； （3）因为每人的( )一定，所以( )和( )成( )比 例关系。 解析： （1）人数；船费；人数；(2)5；每人付的船费；（3）船费；船费；人数；正 【对应练习 2】 乘船的人数与所付的船费为： （1）计算船费与对应人数的比值，说一说哪个量没有变化? （2）乘船船费与人数有什么关系? 解析： （1）每张船票的价钱没有变化； （2）正比例关系 【对应练习 3】 观察一辆汽车运货时间和运货吨数统计表： 运货时间（时） 1 2 3 4 5 6 … 运货吨数（吨） 5 10 15 20 25 30 … （1）表中变化的量有( )和( )。 （2）( )扩大，( )也随着扩大。 （3）3小时运货( )吨，运 30吨需要( )小时。 （4）运货吨数和运货时间这两种量中相对应两个数的比值都等于( )， 第 5 页 共 27 页 所以表中的两种量成( )比例。 解析：（1）运货时间；运货吨数；（2）运货时间；运货吨数；（3）15；6；（4） 5；正 【考点二】反比例的意义与认识。 【方法点拨】 1. 反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的 两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关 系 ，用字母表示为 xy=k（一定）。 2. 判断两种量是否成反比例关系的方法。 先找变量（两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两个数 的乘积是否一定），最后作出判断。 【典型例题】 小红看一本书，每天看的页数和所用的天数如下表。 （1）表中( )和( )是两种相关联的量。 （2）这两种相关联的量中，相对应的两个数的积是( )，这个积表示的 是( )。 （3）由此可知∶( )一定时，( )和( )成( )比例 关系。 解析： （1）每天看的页数；所用的天数；(2)200；这本书的总页数；（3） 总页数； 每天看的页数；所用的天数；反 【对应练习 1】 某工厂生产一批零件，每天生产的个数与需要的天数如下表。 第 6 页 共 27 页 （1） 表中有哪两种量?它们是不是相关联的量? （2）写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小，想一想，这 个积表示什么? （3）每天生产的个数与需要的天数成反比例关系吗?为什么? 解析： （1） 有每天生产的个数和需要的天数两种量；是相关联的量； （2）200×30=300×20=400×15=500×12=6000；积 6000表示零件总个数； （3）成反比例关系；因为每天生产的个数和需要的天数的乘积一定。 【对应练习 2】 运一批货物，每天运的吨数和需要的天数如下表： 每天运的吨数 300 150 100 75 60 50 需要的天数 1 2 3 4 5 6 （1）写出几组这两组量中的对应的两个数的积，并比较积的大小。 （2）说明这个积表示什么？ （3）表中相关联的两个量成反比例吗？为什么？ 解析： （1）因为积都是 300，所以积相等； （2）这批货物的总吨数； （3）反比例关系．因为表中相对应的两个数的乘积一定。 【对应练习 3】 生产 240个零件，工作效率和工作时间如下表。 工作效率（个/时） 120 80 60 48 40 … 工作时间/时 2 3 4 … 第 7 页 共 27 页 （1）填写上表，工作时间是随着哪个量的变化而变化的？ （2）相对应的两个数的乘积各是多少？ （3）这个乘积的实际意义是什么？你能用式子表示出它与工作效率、工作时间 之间的关系吗？ （4）工作效率和工作时间成反比例吗？为什么？ 解析： 生产 240个零件，工作效率和工作时间如下表。 工作效率（个/时） 120 80 60 48 40 … 工作时间/时 2 3 4 5 6 … （1）工作时间是随着工作效率的变化而变化的； （2）相对应的两个数的乘积是 240； （3）这个乘积的实际意义是生产 240个零件，工作效率×工作时间＝工作总量； （4）工作效率和工作时间成反比例。因为工作效率和工作时间是两个相关联的 两个量，并且工作时间随着工作效率的变化而变化，工作效率×工作时间＝工作 总量（一定），所以，工作效率和工作时间成反比例。 【考点三】比例关系的判断其一：直接判断。 【方法点拨】 判断正比例和反比例关系主要有三点要求： 1. 是否为相关联的量； 2. 是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方 向相同，反比例关系两种量的变化方向相反； 3. 比值或乘积是否一定（“商正积反”）： ①若两个变量的比值一定，则成正比例； ②若两个变量的乘积一定，则成反比例。 补充： 正比例关系和反比例关系的异同点： 第 8 页 共 27 页 正比例关系 反比例关系 相同点 1.都是两种相关联的量。 2.一种量随着另一种量的变化而变化。 不同点 1.变化方向相同，一种量 扩大或缩小，另一种量也 扩大或缩小。 2.相对应的两个数的比值 一定。 3.关系式： k x y  (一定）。 1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另 一种量反而缩小或扩大。 2.相对应的两个数的乘积一定。 3.关系式：xy=k(一定)。 【典型例题】 如果路程一定，那么速度和时间成( )比例关系。如果单价一定，那么总 价和数量成( )比例关系。 【答案】 反 正 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量随着变化，如果相对应的两个 数的比值一定，则这两种量成正比例关系；如果相对应的两个数的积一定，则这 两种量成反比例关系；据此解答。 【详解】速度×时间＝路程（一定），所以速度和时间成反比例。 总价÷数量＝单价（一定），所以总价和数量成正比例。 如果路程一定，那么速度和时间成放比例关系。如果单价一定，那么总价和数量 成正比例关系。 【对应练习 1】 三个相关联的量，A表示单价，B表示数量，C表示总价。如果 A一定，那么 B 和 C成( )比例关系；如果 C一定，那么 A和 B成( )比例关系。 【答案】 正 反 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果 x÷y＝k（一定），x和 y成正比例关系；如果 xy＝k（一定），x和 y成反比例 关系，据此分析。 【详解】根据总价÷数量＝单价，如果 A一定，那么 B和 C成正比例关系；根据 单价×数量＝总价，如果 C一定，那么 A和 B成反比例关系。 第 9 页 共 27 页 【对应练习 2】 在横线上填上“成正比例”“成反比例”或“不成比例”。 ①总价一定，单价和数量( )。 ②圆的半径的平方和圆的面积( )。 ③红红的身高和年龄( )。 ④汽车的一公里耗油量一定，总耗油量和行程( )。 【答案】 成反比例 成正比例 不成比例 成正比例 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定， 还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反 比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【详解】①因为单价×数量＝总价（一定），它们的乘积一定，所以总价一定， 单价和数量成反比例。 ②因为圆的面积÷圆的半径的平方＝圆周率（一定），它们的比值一定，所以圆 的半径的平方和圆的面积成正比例。 ③因为红红的身高和年龄是相关联的量，但身高和年龄的乘积和比值都不一定， 所以红红的身高和年龄不成比例。 ④因为总耗油量÷行程＝每公里的耗油量（一定），它们的比值一定，所以汽车 的一公里耗油量一定，总耗油量和行程成正比例。 【对应练习 3】 判断下面各题中的两种是否成比例关系，如果成比例关系，成什么比例关系？ (1)玉米每公顷产量一定，玉米的总产量与公顷数。( ) (2)大豆的出油率一定，大豆的质量和榨出油的质量。( ) (3)圆锥的体积一定，圆锥的底面积与高。( ) (4)一根甘蔗，吃去的长度和剩下的长度。( ) 【答案】(1)成正比例 (2)成正比例 (3)成反比例 (4)不成比例 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的 第 10 页 共 27 页 比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一 定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【详解】（1）玉米总产量÷公顷数＝每公顷玉米的产量（一定），是比值一定， 所以玉米的总产量与公顷数成正比例； （2）因为榨出油的质量÷大豆的质量×100%＝出油率（一定），是比值一定，所 以大豆的质量和榨出油的质量成正比例； （3）圆锥的底面积×高＝体积×3（一定），是乘积一定，所以圆锥的底面积和 高成反比例； （4）吃去的长度＋剩下的长度＝总长度（一定），是和一定，既不符合反比例 的意义也不符合正比例的意义，所以吃去的长度和剩下的长度不成比例。 【考点四】比例关系的判断其二：乘积式或分数式。 【方法点拨】 已知乘积式，先把乘积式进行转换，看是否能求比值或乘积，最后再判断比例关 系。 【典型例题 1】“乘积式”。 x×2＝y（x不为 0），x和 y成( )比例；如果 3x＝4y（y不为 0），那么 x和 y成( )比例。 解析：正；正 【典型例题 2】“分数式”。 若 7 m n ，则 m和 n成( )比例；若 5 b a  （a不为 0），则 a和 b成( ) 比例。 解析：正；反 【对应练习 1】 如果 5A＝4B（A、B均不为 0），那么 A∶B＝( )，A和 B成( ) 比例。 解析：4∶5；正 【对应练习 2】 x和 y是两个相关联的量，如果 5 x＝9 y，那么 x和 y成( )比例；如果 y ＝ 第 11 页 共 27 页 15÷ x，那么 x和 y 成( )比例。 解析：正；反 【对应练习 3】 A B ＝C（A，B，C不为 0），如果 A一定，那么 B和 C成( )比例；如果 B一定，那么 A和 C成( )比例；如果 C一定，那么 A和 B成( ) 比例。 解析：反；正；正 【考点五】根据正比例和反比例求变量的值。 【方法点拨】 已知正比例或反比例关系，求变量是多少，可以根据正比例和反比例的数量关系 进行计算，即正比例是两个变量的商一定，反比例是两个变量的积一定。 【典型例题】 下图中，如果 A与 B成正比例，则 x＝( )；如果 A与 B成反比例，则 x ＝( )。 A 14 1 5 B 20 x 【答案】 16 25 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中 相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。如果 A 和 B成正比例，则 A∶B＝ 14 ∶20；把 A＝ 1 5代入比例式，解比例求出 B的值。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的 两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。如果A和 B成反比例，则AB＝ 14 ×20； 把 A＝ 15代入比例式，解比例求出 B的值。 【详解】如果 A与 B成正比例，那么： 1 5∶ x＝ 1 4 ∶20 第 12 页 共 27 页 解： 1 4 x＝20× 15 1 4 x＝4 x＝4÷ 14 x＝4×4 x＝16 如果 A与 B成反比例，那么： 1 5 x＝ 1 4 ×20 1 5 x＝5 1 5 x＝5÷ 15 x＝5×5 x＝25 【对应练习 1】 x 3 ？ y 90 150 （1）如果 x与 y成正比例关系，？处应填( )； （2）如果 x与 y成反比例关系，？处应填( )。 【答案】 5 1.8 【分析】正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量 就是成正比例的量。它们的关系是正比例关系； 反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随 之起相反的变化，就是反比例。 【详解】（1）150÷（90÷30） ＝150÷30 ＝5 如果 x与 y成正比例关系，？处应填 5。 （2）3×90÷150 ＝270÷150 第 13 页 共 27 页 ＝1.8 如果 x与 y成反比例关系，？处应填 1.8。 【对应练习 2】 下面表中，若 x和 y成正比例，则※代表的数是( )，若 x和 y成反比例， 则※代表的数是( )。 x 2 15 y 5 ※ 【答案】 1 2 50 【分析】根据题意，若 x和 y成正比例，则 2∶5＝ 15∶※，进而求出※的值； 若 x和 y成反比例，则 2×5＝ 15 ×※，进而求出※的值。 【详解】若 x和 y成正比例： 2∶5＝ 15∶※ 2※＝5× 15 2※＝1 ※＝1÷2 ※＝ 12 如 x和 y成反比例： 2×5＝ 15※ 1 5※＝10 ※＝10÷ 15 ※＝10×5 ※＝50 若 x和 y成正比例，则※代表的数是 12 ，若 x和 y成反比例，则※代表的数是 50。 第 14 页 共 27 页 【对应练习 3】 如表，若 x和 y成正比例，空格里应填( )；若 x和 y成反比例，空格里 应填( )。 x 12 y 4 8 【答案】 24 6 【分析】两个相关联的量，若其比值一定，则两个量成正比例关系；若其乘积一 定，则两个量成反比例关系，据此列式解即可。 【详解】当 x和 y成正比例时， 12∶4＝x∶8 解：4x＝12×8 4x＝96 x＝96÷4 x＝24 当 x和 y成反比例时列式： 8x＝4×12 解：8x＝48 x＝48÷8 x＝6 综上所述：若 x和 y成正比例，空格里应填 24；若 x和 y成反比例，空格里应 填 6。 【考点六】正比例的图像与实际应用。 【方法点拨】 正比例关系的图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直观 地看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一 种量的值。 【典型例题】 第 15 页 共 27 页 下一根弹簧挂上物体（质量不超过 20kg）后会伸长。下图表示弹簧伸长的长度 和所挂物体的质量之间的关系。 (1)弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成( )比例。 (2)根据图象判断，如果挂上 7kg的物体，那么弹簧将伸长( )cm。 (3)要使弹簧伸长 2.25cm，应挂上( )kg的物体。 解析： （1）2∶0.5＝4∶1＝4（比值一定） 所以物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。 （2）7÷4＝1.75（厘米） 所以挂上 7kg的物体，弹簧应伸长 1.75厘米。 （3）2.25×4＝9（kg） 所以要使弹簧伸长 2.25cm，应挂上 9kg的物体。 【对应练习 1】 如图是一个水龙头打开后出水量的情况统计。 (1)看图填写下表： 时间（秒） 20 ( ) 出水量（升） ( ) 8 第 16 页 共 27 页 (2)这个水龙头打开的时间和出水量成( )比例，算一算( )秒时出 水量是 9.6升。 (3)20秒的出水量比 50秒的出水量少( )%。 解析： (1) 40 4 (2) 正 48 (3)60 【对应练习 2】 下图是小冬和爸爸爬山比赛情况的统计图，认真观察，回答下列问题。 (1)( )在途中休息了( )分钟。 (2)出发( )分钟后，两人在距离起点( )m处相遇。 (3)( )先到达终点，早( )分钟到达。 (4)在比赛的过程中，小冬走过的路程和时间成( )比例关系。 解析： (1) 爸爸 5 (2) 15 300 (3) 小冬 2.5 (4)正 【对应练习 3】 电信公司推出校园卡业务，下图表示长途电话通话时间与话费的关系，观察下图 并回答后面的问题。 第 17 页 共 27 页 （1）校园卡每分钟话费是多少? （2）通话 1小时需要话费多少? （3）淘气和国外表哥通话花费 16.5元，他俩通话了多长时间? 解析： （1）0.3元；（2）18元；（3）55分钟 【考点七】反比例的图像与实际应用。 【方法点拨】 从图象中可以直观地看到反比例关系图象中两种量的变化规律，不用计算就可以 根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。 【典型例题】 把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形杯子中，杯子的底面积和杯中水面的高 度关系的图象如图所示： 第 18 页 共 27 页 （1）底面积和水面高度成( )比例关系。 （2）底面积是 10cm²的杯子中，水面的高度是( )cm，底面积是 30cm² 的杯子中，水面的高度是( )cm。 （3）估计一下，底面积是 40cm²的杯子中，水面的高度是( )cm。 解析：（1）反；（2）30；10；（3）7.5 【对应练习 1】 小丽正在读一本故事书，下图表示的是她读书的天数和每天读书的页数之间的关 系。 （1）图中的一条曲线，反映了( )和( )成( )比例； （2）由图象判断，整本书有( )页，如果 20天读完，每天要读( ) 页；如果每天读 5页，需要读( )天。 第 19 页 共 27 页 解析：（1）读书的天数；每天读书的页数；反；（2）80；40；6 【对应练习 2】 下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间。 （1）在这个过程中，哪种量没有变？ （2）速度和所对应的时间成什么比例关系？ （3）不计算，观察图象，如果每小时行 40km，那么从甲地到乙地大约需要多少 小时？ 解析： （1）路程； （2）反比例； （3）2.5小时 【对应练习 3】 小强用下面的图像表示从甲地到乙地，用不同的速度和所用的时间。 把图像所表示的数据填在下面的表内。 时间/时 速度（千米/时） 回答下面问题： 第 20 页 共 27 页 （1）在这一过程中，哪个量没有变？ （2）速度和时间有什么关系？ （3）不计算，从图中观察，如果每小时行 40千米，大约用多少小时？ 解析： 填表如下： 时间/时 1 2 5 10 20 速度（千米/时） 100 50 20 10 5 （1）路程没有变； （2）成反比例关系； （3）2.5小时 【考点八】正比例和反比例图像的绘制。 【方法点拨】 1.结合图像观察来确定是正比例还是反比例。 2.若是正比例则利用两个量商一定的关系求解；若是反比例就利用两个量积一定 的关系求解。 【典型例题】 淘气借助表格和画图的方法探究当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积和 梯形的高之间的关系。梯形的上底和下底长度不变，也就是上底、下底长度的和 不变，那么梯形的面积和梯形的高之间的关系如下表。 梯形的面积/平方米 0 2 4 6 8 10 … 梯形的高/米 0 1 2 3 4 5 … 第 21 页 共 27 页 （1）在图中描出梯形的面积与对应高的点，并连线。 （2）当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积与梯形的高成( )比 例，理由是( )。 （3）根据表格呈现的数据，这个梯形的上底与下底的和是( )米。 （4）当梯形的高是 7米时，对应的梯形的面积是( )平方米。 解析： （1）如图： （2）当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积与梯形的高成正比例关系； 第 22 页 共 27 页 理由是根据梯形面积公式“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”可得：梯形面积÷ 高＝（上底＋下底）÷2，上底和下底长度不变时，（上底＋下底）÷2的值不变， 所以梯形面积和高成正比例关系。 （3）10×2÷5＝4（米） 即这个梯形的上底与下底的和是 4米。 （4）7×4÷2＝14（平方米） 即对应的梯形的面积是 14平方米。 【对应练习 1】 把相同体积的水倒入底面积不同的杯子中，杯子的底面积和杯子中水面高度的关 系如下表所示。 底面积 /cm2 5 10 20 30 60 水面高度 /cm 60 30 15 10 5 （1）把表中杯子的底面积和杯子中水面的高度所对应的点描在下面的方格中， 再顺次连接。 （2）判断杯子的底面积和杯子中水面的高度成( )比例关系。 （3）照这样计算，底面积是 50平方厘米的杯子中，水面的高度是( )厘 米。 第 23 页 共 27 页 解析： （1）如图： （2）5×60＝10×30＝20×15＝30×10＝60×5＝300 乘积相等，所以杯子的底面积和杯子中水面的高度成反比例关系。 （3）5×60÷50 ＝300÷50 ＝6（厘米） 底面积是 50平方厘米的杯子中，水面的高度是 6厘米。 【对应练习 2】 一个工程队每天铺设管道 30米，照这样的效率，2天、3……能铺设管道多少米？ （1）把下表填写完整。 时间/天 1 2 3 4 5 6 管道长/米 30 60 ( ) ( ) ( ) ( ) （2）根据表中数据，把铺设管道的时间与管道长之间相对应的点在图中描出来， 并连线。 （3）铺设管道的时间与管道长成什么比例关系？为什么？ 第 24 页 共 27 页 （4）根据图像判断，7天能铺设( )米管道。 解析： （1）30×3＝90（米） 30×4＝120（米） 30×5＝150（米） 30×6＝180（米） 表格如下： 时间/天 1 2 3 4 5 6 管道长/米 30 60 90 120 150 180 （2）作图如下： （3）已知管道铺设的总长度÷天数＝每天铺设的管道长度（一定），工作效率不 变，则铺设管道的时间与管道长成正比例； （4）30×7＝210（米） 根据图像判断，7天能铺设 210米管道。 【对应练习 3】 第 25 页 共 27 页 新冠肺炎疫情期间，工作人员配制消毒水，这种消毒水是由药液和水按 1∶60 配制而成的。 （1）请根据这个关系完成如表。 药 液/ 克 0 1 2 3 4 5 6 水/ 克 0 60 120 ( ) ( ) ( ) ( ) （2）在如图中描出表示药液和相对应的水的质量的点，再把这些点按顺序连接 起来。 （3）水的质量与所需药液的质量成( )比例关系。 （4）要配制 976克的消毒水，需要药液( )克。 解析： （1）如表： 药液/克 0 1 2 3 4 5 6 水/克 0 60 120 180 240 300 360 （2）如图： 第 26 页 共 27 页 （3）水的质量与所需药液的质量成正比例关系。 （4）1＋60＝61（份） 976× 1 61＝16（克） 要配制 976克的消毒水，需要药液 16克。 【对应练习 4】 我国自行研制的“运 8 ”飞机运载量大，性能优越。下表是某架“运 8 ”飞机的运 输时间和飞行距离的情况。 运输时间 /时 1 2 3 4 5 6 飞行距离/千米 600 1200 1800 2400 3000 3600 （1）“运 8 ”飞机的运输时间和飞行距离成什么比例？为什么？ （2）根据上表，把运输时间与飞行距离所对应的点在图中描出来，并连线。 （3）“运 8 ”飞机飞行 45小时，可以飞行多少千米？ 解析： （1）600÷1＝600（千米）、1200÷2＝600（千米）、1800÷3＝600（千米），“运 第 27 页 共 27 页 8 ”飞机的运输时间和飞行距离成正比例；因为飞行距离和飞行时间的比值（即 商）一定。 （2）如下图： （3）600×45＝27000（千米） 答：“运 8 ”飞机飞行 45小时，可以飞行 27000千米。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第四单元比例·正比例和反比例篇【八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元比例·正比例和反比例篇 专题内容 本专题以正比例和反比例为主，其中包括正比例和反比例的意义与认识，正比例和反比例的关系判断，正比例和反比例的图像及实际应用等内容。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】正比例的意义与认识 3 【考点二】反比例的意义与认识 5 【考点三】比例关系的判断其一：直接判断 7 【考点四】比例关系的判断其二：乘积式或分数式 8 【考点五】根据正比例和反比例求变量的值 9 【考点六】正比例的图像与实际应用 10 【考点七】反比例的图像与实际应用 12 【考点八】正比例和反比例图像的绘制 15 【第三篇】典型例题篇 【考点一】正比例的意义与认识。 【方法点拨】 1. 正比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，用字母表示为(一定） 2. 判断两种量是否成正比例关系的方法。 先找变量（找两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两个数的比值是否一定），最后作出判断。 3. 正比例关系图象的特点。 正比例关系图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直观地看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。 【典型例题】 科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。 （1）说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。 （2）写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现? （3）竹竿的高与竿影的长是不是成正比例?说明理由。 【对应练习1】 乘船的人数与所付船费如下表。 （1）表格中的( )和( )是两种相关联的量，船费随着( )的变化而变化； （2）船费与人数数量中相对应的两个数的比值是( )，这个比值实际上表示( )； （3）因为每人的( )一定，所以( )和( )成( )比例关系。 【对应练习2】 乘船的人数与所付的船费为： （1）计算船费与对应人数的比值，说一说哪个量没有变化? （2）乘船船费与人数有什么关系? 【对应练习3】 观察一辆汽车运货时间和运货吨数统计表： 运货时间（时） 1 2 3 4 5 6 … 运货吨数（吨） 5 10 15 20 25 30 … （1）表中变化的量有( )和( )。 （2）( )扩大，( )也随着扩大。 （3）3小时运货( )吨，运30吨需要( )小时。 （4）运货吨数和运货时间这两种量中相对应两个数的比值都等于( )，所以表中的两种量成( )比例。 【考点二】反比例的意义与认识。 【方法点拨】 1. 反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系 ，用字母表示为xy=k（一定）。 2. 判断两种量是否成反比例关系的方法。 先找变量（两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两个数的乘积是否一定），最后作出判断。 【典型例题】 小红看一本书，每天看的页数和所用的天数如下表。 （1）表中( )和( )是两种相关联的量。 （2）这两种相关联的量中，相对应的两个数的积是( )，这个积表示的是( )。 （3）由此可知∶( )一定时，( )和( )成( )比例关系。 【对应练习1】 某工厂生产一批零件，每天生产的个数与需要的天数如下表。 （1） 表中有哪两种量?它们是不是相关联的量? （2）写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小，想一想，这个积表示什么? （3）每天生产的个数与需要的天数成反比例关系吗?为什么? 【对应练习2】 运一批货物，每天运的吨数和需要的天数如下表： 每天运的吨数 300 150 100 75 60 50 需要的天数 1 2 3 4 5 6 （1）写出几组这两组量中的对应的两个数的积，并比较积的大小。 （2）说明这个积表示什么？ （3）表中相关联的两个量成反比例吗？为什么？ 【对应练习3】 生产240个零件，工作效率和工作时间如下表。 工作效率（个/时） 120 80 60 48 40 … 工作时间/时 2 3 4 … （1）填写上表，工作时间是随着哪个量的变化而变化的？ （2）相对应的两个数的乘积各是多少？ （3）这个乘积的实际意义是什么？你能用式子表示出它与工作效率、工作时间之间的关系吗？ （4）工作效率和工作时间成反比例吗？为什么？ 【考点三】比例关系的判断其一：直接判断。 【方法点拨】 判断正比例和反比例关系主要有三点要求： 1. 是否为相关联的量； 2. 是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方向相同，反比例关系两种量的变化方向相反； 3. 比值或乘积是否一定（“商正积反”）： ①若两个变量的比值一定，则成正比例； ②若两个变量的乘积一定，则成反比例。 补充： 正比例关系和反比例关系的异同点： 正比例关系 反比例关系 相同点 1.都是两种相关联的量。 2.一种量随着另一种量的变化而变化。 不同点 1.变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。 2.相对应的两个数的比值一定。 3.关系式：(一定）。 1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。 2.相对应的两个数的乘积一定。 3.关系式：xy=k(一定)。 【典型例题】 如果路程一定，那么速度和时间成( )比例关系。如果单价一定，那么总价和数量成( )比例关系。 【对应练习1】 三个相关联的量，A表示单价，B表示数量，C表示总价。如果A一定，那么B和C成( )比例关系；如果C一定，那么A和B成( )比例关系。 【对应练习2】 在横线上填上“成正比例”“成反比例”或“不成比例”。 ①总价一定，单价和数量( )。 ②圆的半径的平方和圆的面积( )。 ③红红的身高和年龄( )。 ④汽车的一公里耗油量一定，总耗油量和行程( )。 【对应练习3】 判断下面各题中的两种是否成比例关系，如果成比例关系，成什么比例关系？ (1)玉米每公顷产量一定，玉米的总产量与公顷数。( ) (2)大豆的出油率一定，大豆的质量和榨出油的质量。( ) (3)圆锥的体积一定，圆锥的底面积与高。( ) (4)一根甘蔗，吃去的长度和剩下的长度。( ) 【考点四】比例关系的判断其二：乘积式或分数式。 【方法点拨】 已知乘积式，先把乘积式进行转换，看是否能求比值或乘积，最后再判断比例关系。 【典型例题1】“乘积式”。 x×2＝y（x不为0），x和y成( )比例；如果3x＝4y（y不为0），那么x和y成( )比例。 【典型例题2】“分数式”。 若，则m和n成( )比例；若（a不为0），则a和b成( )比例。 【对应练习1】 如果5A＝4B（A、B均不为0），那么A∶B＝( )，A和B成( )比例。 【对应练习2】 和是两个相关联的量，如果5＝9，那么和成( )比例；如果＝15÷，那么和成( )比例。 【对应练习3】 ＝C（A，B，C不为0），如果A一定，那么B和C成( )比例；如果B一定，那么A和C成( )比例；如果C一定，那么A和B成( )比例。 【考点五】根据正比例和反比例求变量的值。 【方法点拨】 已知正比例或反比例关系，求变量是多少，可以根据正比例和反比例的数量关系进行计算，即正比例是两个变量的商一定，反比例是两个变量的积一定。 【典型例题】 下图中，如果A与B成正比例，则＝( )；如果A与B成反比例，则＝( )。 A B 20 【对应练习1】 x 3 ？ y 90 150 （1）如果x与y成正比例关系，？处应填( )； （2）如果x与y成反比例关系，？处应填( )。 【对应练习2】 下面表中，若x和y成正比例，则※代表的数是( )，若x和y成反比例，则※代表的数是( )。 x 2 y 5 ※ 【对应练习3】 如表，若x和y成正比例，空格里应填( )；若x和y成反比例，空格里应填( )。 x 12 y 4 8 【考点六】正比例的图像与实际应用。 【方法点拨】 正比例关系的图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直观地看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。 【典型例题】 下一根弹簧挂上物体（质量不超过20kg）后会伸长。下图表示弹簧伸长的长度和所挂物体的质量之间的关系。 (1)弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成( )比例。 (2)根据图象判断，如果挂上7kg的物体，那么弹簧将伸长( )cm。 (3)要使弹簧伸长2.25cm，应挂上( )kg的物体。 【对应练习1】 如图是一个水龙头打开后出水量的情况统计。 (1)看图填写下表： 时间（秒） 20 ( ) 出水量（升） ( ) 8 (2)这个水龙头打开的时间和出水量成( )比例，算一算( )秒时出水量是9.6升。 (3)20秒的出水量比50秒的出水量少( )。 【对应练习2】 下图是小冬和爸爸爬山比赛情况的统计图，认真观察，回答下列问题。 (1)( )在途中休息了( )分钟。 (2)出发( )分钟后，两人在距离起点( )m处相遇。 (3)( )先到达终点，早( )分钟到达。 (4)在比赛的过程中，小冬走过的路程和时间成( )比例关系。 【对应练习3】 电信公司推出校园卡业务，下图表示长途电话通话时间与话费的关系，观察下图并回答后面的问题。 （1）校园卡每分钟话费是多少? （2）通话1小时需要话费多少? （3）淘气和国外表哥通话花费16.5元，他俩通话了多长时间? 【考点七】反比例的图像与实际应用。 【方法点拨】 从图象中可以直观地看到反比例关系图象中两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。 【典型例题】 把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形杯子中，杯子的底面积和杯中水面的高度关系的图象如图所示： （1）底面积和水面高度成( )比例关系。 （2）底面积是10cm²的杯子中，水面的高度是( )cm，底面积是30cm²的杯子中，水面的高度是( )cm。 （3）估计一下，底面积是40cm²的杯子中，水面的高度是( )cm。 【对应练习1】 小丽正在读一本故事书，下图表示的是她读书的天数和每天读书的页数之间的关系。 （1）图中的一条曲线，反映了( )和( )成( )比例； （2）由图象判断，整本书有( )页，如果20天读完，每天要读( )页；如果每天读5页，需要读( )天。 【对应练习2】 下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间。 （1）在这个过程中，哪种量没有变？ （2）速度和所对应的时间成什么比例关系？ （3）不计算，观察图象，如果每小时行40km，那么从甲地到乙地大约需要多少小时？ 【对应练习3】 小强用下面的图像表示从甲地到乙地，用不同的速度和所用的时间。 把图像所表示的数据填在下面的表内。 时间/时 速度（千米/时） 回答下面问题： （1）在这一过程中，哪个量没有变？ （2）速度和时间有什么关系？ （3）不计算，从图中观察，如果每小时行40千米，大约用多少小时？ 【考点八】正比例和反比例图像的绘制。 【方法点拨】 1.结合图像观察来确定是正比例还是反比例。 2.若是正比例则利用两个量商一定的关系求解；若是反比例就利用两个量积一定的关系求解。 【典型例题】 淘气借助表格和画图的方法探究当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积和梯形的高之间的关系。梯形的上底和下底长度不变，也就是上底、下底长度的和不变，那么梯形的面积和梯形的高之间的关系如下表。 梯形的面积/平方米 0 2 4 6 8 10 … 梯形的高/米 0 1 2 3 4 5 … （1）在图中描出梯形的面积与对应高的点，并连线。 （2）当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积与梯形的高成( )比例，理由是( )。 （3）根据表格呈现的数据，这个梯形的上底与下底的和是( )米。 （4）当梯形的高是7米时，对应的梯形的面积是( )平方米。 【对应练习1】 把相同体积的水倒入底面积不同的杯子中，杯子的底面积和杯子中水面高度的关系如下表所示。 底面积/cm2 5 10 20 30 60 水面高度/cm 60 30 15 10 5 （1）把表中杯子的底面积和杯子中水面的高度所对应的点描在下面的方格中，再顺次连接。 （2）判断杯子的底面积和杯子中水面的高度成( )比例关系。 （3）照这样计算，底面积是50平方厘米的杯子中，水面的高度是( )厘米。 【对应练习2】 一个工程队每天铺设管道30米，照这样的效率，2天、3……能铺设管道多少米？ （1）把下表填写完整。 时间/天 1 2 3 4 5 6 管道长/米 30 60 ( ) ( ) ( ) ( ) （2）根据表中数据，把铺设管道的时间与管道长之间相对应的点在图中描出来，并连线。 （3）铺设管道的时间与管道长成什么比例关系？为什么？ （4）根据图像判断，7天能铺设( )米管道。 【对应练习3】 新冠肺炎疫情期间，工作人员配制消毒水，这种消毒水是由药液和水按1∶60配制而成的。 （1）请根据这个关系完成如表。 药液/克 0 1 2 3 4 5 6 水/克 0 60 120 ( ) ( ) ( ) ( ) （2）在如图中描出表示药液和相对应的水的质量的点，再把这些点按顺序连接起来。 （3）水的质量与所需药液的质量成( )比例关系。 （4）要配制976克的消毒水，需要药液( )克。 【对应练习4】 我国自行研制的“运”飞机运载量大，性能优越。下表是某架“运”飞机的运输时间和飞行距离的情况。 运输时间时 1 2 3 4 5 6 飞行距离/千米 600 1200 1800 2400 3000 3600 （1）“运”飞机的运输时间和飞行距离成什么比例？为什么？ （2）根据上表，把运输时间与飞行距离所对应的点在图中描出来，并连线。 （3）“运”飞机飞行45小时，可以飞行多少千米？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$