第01讲 等腰三角形（8个知识清单+11类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第01讲 等腰三角形 目 录 题型归纳........................................................................................................................................................................................1 题型01三角形边角的不等关系....................................................................................................................................................4 题型02等腰三角形的定义............................................................................................................................................................9 题型03等腰三角形的性质和判定................................................................................................................................................11 题型04等边对等角........................................................................................................................................................................15 题型05根据等边对等角证明.......................................................................................................................................................18 题型06根据等角对等边证明等腰三角形...................................................................................................................................21 题型07根据等角对等边证明边相等...........................................................................................................................................24 题型08根据等角对等边求边长...................................................................................................................................................26 题型09三线合一...........................................................................................................................................................................29 题型10作等腰三角形(尺规作图)................................................................................................................................................34 题型11等边三角形的判定和性质..............................................................................................................................................36 分层练习.....................................................................................................................................................................................40 夯实基础.....................................................................................................................................................................................40 能力提升......................................................................................................................................................................................62 知识点1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点2．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点3．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点4．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点5．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点6．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点7．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点8．反证法 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 题型01三角形边角的不等关系 1．（辽宁沈阳·一模）如图，点A的坐标是（1，1），若点B在x轴上，且△ABO是等腰三角形，则点B的坐标不可能是（　　） A．（2，0） B．（，0） C．（-，0） D．（1，0） 【答案】B 【知识点】三角形边角的不等关系 【分析】本题应该分几种情况讨论，已知边AB可能是底边，也可能是腰，当AB是底边时，就有两个满足条件的三角形．当AB是腰时再分点A是顶角顶点或点B是顶角顶点两种情况讨论． 【详解】解：由题意得OA＝， 当AB为底边时，B点为（1，﹣1），B点不在x轴上，故不存在； 当AB为腰时，有三种情况，当B点为（-，0），（1，0），（2，0）． 故选B． 【点睛】对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 2．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】三角形边角的不等关系、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 3．（20-21八年级下·陕西西安·期中）（1）如图①，点P为直线l上一个动点，点A，B是直线l外同侧的两个定点，连接PA，PB，AB．若AB＝2，则PA﹣PB的最大值为　 　． （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，对角线AC⊥BD，垂足为点O，OA＝2OC，点E为OC中点，点F在AB上，且BF＝3AF，点P为BD上一动点，连接PE，PF，若AC＝6，求PF﹣PE的最大值． （3）如图③，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝150°，点P为平面内一动点，连接PA，PB，PC．若PA＝2，求PB﹣PC的最大值． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、三角形边角的不等关系 【分析】（1）根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，所以只有当A、B、P共线时PA﹣PB有最大值为2； （2）由（1）的原理确定F、E、P共线，PF﹣PE有最大值为FE'，作点E关于BD的对称点E'，连接FE'并延长交BD于P'，根据题中数量关系求出FE'即可； （3）以A为圆心AP为半径画圆，P点的轨迹在圆上，可确定当B、P、C共线时PB﹣PC有最大值，根据题中数量关系求值即可． 【详解】（1）∵三角形任两边之差小于第三边， ∴只有当A、B、P共线时PA﹣PB有最大值为AB＝2， 故答案为：2； （2）如图②，作点E关于BD的对称点E'，连接，连接FE'并延长交BD于P'，则 ， 同理，由（1）可知，此时F、、P共线时，在最大值FE'，从而PF﹣PE有最大值为FE'， ∵AC＝6，OA＝2OC，OA+OC＝AC， ∴OA＝4，OC＝2， ∵点E为OC中点， ∴OE＝OC＝1， 根据对称性得：OE'＝OE＝1， ∵AB＝AD，∠BAD＝90°，AC⊥BD， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴AB＝AO＝4， ∵BF＝3AF，AF+BF＝AB， ∴AF＝， 作FH⊥AC于H， ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴∠BAE＝45°， 即△AFH也为等腰直角三角形， ∴AH＝FH＝AF＝1， ∴HE'＝AO﹣AH﹣OE'＝4﹣1﹣1＝2， ∴在中，由勾股定理得：FE'＝＝＝， 故PF﹣PE的最大值为； （3）如图③，把绕点A逆时针旋转150゜到△ACD ，连接PD， 则△ABP≌△ACD， ∴AP=AD=2，PB=CD，∠BAP=∠CAD， ∴∠PAD=∠PAC+∠CAD=∠PAC+∠BAP=∠BAC=150゜． 过点D作DE⊥PA交PA的延长线于点E， 则∠EAD=180゜-∠PAD=30゜， ∴， 由勾股定理得：， ∴PE=AP+AE=． 在Rt△DEP中，由勾股定理得：． ∵CD-PC≤PD， ∴PB-PC≤PD， ∴当C、P、D三点共线时，PB-PC最大，且最大值为． 【点睛】本题主要考查三角形三边的不等关系，等腰三角形的判定与性质，点的对称，图形的旋转等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 题型02等腰三角形的定义 4．（23-24八年级下·广东河源·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】等腰三角形的定义、构成三角形的条件 【分析】本题主经考查了等腰三角形的存在性．解题的关键是熟练掌握等腰三角形定义，三角形的三边关系． 分类讨论，当腰长是时，三角形不存在，当腰长是时，周长是． 【详解】解：当腰长是时， ∵， ∴不符合三角形的三边关系，排除； 当腰长是时， ∵， ∴符合三角形三边关系， 此时周长是． 故选：A． 5．（23-24八年级下·广东潮州·阶段练习）周长的等腰三角形，其底边长与腰长的函数关系式为 ．(要求写出自变量取值范围) 【答案】 【知识点】函数解析式、等腰三角形的定义、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了函数关系式，根据周长等于三边之和可得出和的关系式，再由三边关系可得出的取值范围． 【详解】解：由题意得：， ， 根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：，， ， 故答案为． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）在如图的网格中，小正方形的边长都是，试判定的形状． 【答案】是等腰三角形 【知识点】勾股定理与网格问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握勾股定理．先根据勾股定理求出、、，再根据等腰三角形的定义即可判断． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ，，， ， 是等腰三角形． 题型03等腰三角形的性质和判定 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点…都在 x 轴上，点…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数的规律探究问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，点坐标规律的探索；利用等腰直角三角形的性质求得，是解题的关键． 利用直线上点的坐标特点及等腰直角三角形的性质，可分别求得，，由此归纳总结即可求得的坐标． 【详解】解：是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵ 是等 腰 直 角 三 角 形， ∴， 又∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形． ∴ ∴． 同理可得， ∴点的坐标是． 故选 A． 8．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，，，现将拓展为等腰，且使得点在射线上，则的长为 ． 【答案】或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】是直角三角形，要把拓展成等腰，因为等腰三角形是有两条边相等的三角形，所以本题需要分三种情况考虑：当时，当时，当时． 【详解】解：在中，，，， ， 若将拓展为等腰， 当时，如下图所示， 则有， 又， ； 当时，如下图所示， 在和中 ， ， ； 当时，如下图所示， ， ， ， 两边同时平方得：， 解得：． 故答案为：或或 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握利用方程根据勾股定理建立方程求解以及进行全面思考、分类讨论是解题的关键. 9．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）如图，是的角平分线，，交于点E． (1)求证：． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，，可得，从而可得结论； （2）先证明，，，可得，再进一步可得结论． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 由（1）得， ∴． 题型04等边对等角 10．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）已知等腰三角形的一个角为，则其顶角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】此题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的灵活应用．等腰三角形的一个顶角为或等腰三角形的一个底角是，则另一个底角也是，据此用三角形内角和减去两个底角的度数，就是顶角的度数． 【详解】解：等腰三角形的一个顶角为或等腰三角形的一个底角为， 当等腰三角形的一个底角为时，其顶角为： ， ∴它的顶角是或． 故选：D． 11．（22-23八年级下·辽宁丹东·阶段练习）如图，在中，，，，则底边上的高 ． 【答案】5 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的特征，由等腰三角形的性质推出，由含角的直角三角形的性质推出，即可得到边上的高． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴ ∵， ∴， ， ， 故答案为： 12．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，在中，为中线，E为上一点，交于点F，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据等角对等边求边长、等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，先延长到G使，连接，再证明得出再由等边对等角得，则最后由等角对等边得出即可作答． 【详解】证明：延长到G使，连接， ∵为中线， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 题型05根据等边对等角证明 13．（23-24八年级下·福建三明·期中）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等边对等角证明 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌据等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， 故选：B． 14．（23-24八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，以，为直角边分别作等腰直角三角形，连接，与交于点，连接，，，，．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的为 ． 【答案】①②③④ 【知识点】用勾股定理解三角形、根据等边对等角证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，根据等腰三角形的性质，证明，即可判断①；设和交于点，过作于，于，得到，推出，即可判断③；根据，得到，即可判断②；利用勾股定理即可判断④． 【详解】解：∵，，， ， ， ，，故①正确， 设和交于点，过作于，于， ∵， ∴，即， ∵， ， ，即平分，故③正确， ， ， ，故②正确， ，，，， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 15．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，先证明，得到，再由等边对等角可得． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 题型06根据等角对等边证明等腰三角形 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，已知，，分别是，，的对边，则下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（      ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是等腰三角形； B、∵ ∴， ∴不是等腰三角形； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； D、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 故选：B． 17．（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）在中，，，则的长 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型． 首先证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（23-24八年级下·广东佛山·期中）已知：如图，的高相交于点，且．求证：是等腰三角形； 【答案】见解析 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要是全等三角形判定与性质以及等腰三角形的判定问题； 先运用全等三角形的判定方法可得； 再运用全等三角形的性质可得，进而求解即可. 【详解】证明：∵的高相交于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 题型07根据等角对等边证明边相等 19．（23-24八年级下·陕西·期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，首先根据等角对等边得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 20．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知平分，平分，且，设，，则的周长是 ． 【答案】30 【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定：等角对等边，平行线的性质等知识；由角平分线的性质及平行线的性质得：，则有，从而得的周长为，由此即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴的周长为： ， 故答案为：30． 21．（24-25八年级下·广东广州·开学考试）已知：如图，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查三角形全等的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的性质．根据题意选用正确的判定三角形全等的方法是解题的关键． 先用“角角边”判定图中的两个三角形全等，再得出对应相等的两边即可． 【详解】证明：， ， 在和中 ， ， ． 题型08根据等角对等边求边长 22．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故选：B． 23．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东方向，航行50海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东方向上．则 ；轮船到灯塔P的距离 海里．（结果保留根号） 【答案】 /45度 【知识点】根据等角对等边求边长、含30度角的直角三角形、解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理，直角三角形的性质．根据三角形内角和定理可求出；过点B作于点C，则，可得，在中，根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴； 如图，过点B作于点C，则， ∴， ∴， ∴， ∵，海里， ∴海里， ∴海里， 故答案为：；． 24．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在中，，点在上，．求的长．    【答案】 【知识点】根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的判定是解题的关键．根据勾股定理可得，根据，利用等角对等边，得，在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解： ， ， ， ， ， 在中， ， 故的长为． 题型09三线合一 25．（2025八年级下·全国·专题练习）在中，则的面积为（　　） A．4 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出三角形的高，此题难度一般．利用勾股定理求出以为底边的高，再利用三角形的面积公式求出答案． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点， ，， ， 在中，， ， ， 故选B． 26．（24-25八年级下·广东广州·开学考试）如图，，点E是的中点，平分，若，，则的长度为 ． 【答案】12 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、三线合一 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 延长、交于，可证明，得，，由，，得，则，所以，由，，得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长、交于F， ， ， ∵点E是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 平分， ， ， ，， ， ， 故答案为：12． 27．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边向点运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒．点运动的速度为每秒个单位长度． (1)当时，__________，__________； (2)求当为何值时，是直角三角形，说明理由； (3)求当为何值时，是以或为底的等腰三角形？并说明理由． 【答案】(1)， (2)秒或秒，理由见解析 (3)秒或秒，理由见解析 【知识点】三线合一、等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形 【分析】（）根据速度时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出，再根据代入数据进行计算即可得解； （）分①时，利用的面积列式计算即可求出，然后利用勾股定理列式求解得到，再根据时间路程速度计算；②时，点和点重合，然后根据时间路程速度计算即可得解； （）分①时，；②时，过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再由（）的结论解答即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形性质，运用分类讨论的思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：时，， ，，， ，； 故答案为：，； （2）解：①时，， 即， 解得， ， ∴秒； ②时，点和点重合，秒， 综上所述，或秒； （3）解：①时，， ∴； ②时，如图，过点作于， 则，， ， 综上所述，秒或秒时，是以或为底的等腰三角形． 题型10作等腰三角形(尺规作图) 28．（广东广州·一模）如图，直线a∥b，以直线a上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线a、b于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC＝65°，则∠1＝（　　） A．115° B．80° C．65° D．50° 【答案】D 【知识点】作等腰三角形(尺规作图)、等边对等角 【分析】首先由题意可得：AB＝AC，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由直线l1∥l2，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠1的度数． 【详解】解：根据题意得：AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝65°， ∵直线l1∥l2， ∴∠1+∠ACB+∠ABC＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°． 故选D． 【点睛】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与等边对等角定理的应用． 29．（江西·中考模拟）如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个4×4的方格纸中，找出格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C共有 个． 【答案】8． 【知识点】作等腰三角形(尺规作图) 【详解】考点：勾股定理；等腰三角形的性质． 分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理分别求出以AB为腰的等腰三角形的个数和以AB为底边的等腰三角形的个数即可得出答案． 解：如图所示： 以AB为腰的等腰三角形共4个，其底边长为=2的共有4个； 以AB为底边的等腰三角形共有4个，其中腰长为的2个，腰长为2的有2个． 故答案为8． 30．（22-23八年级下·陕西榆林·期末）如图，已知线段a，b，求作以3a为底边、以b为高的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【知识点】作等腰三角形(尺规作图) 【分析】先作然后作的垂直平分线，在垂直平分线上截取b为高即可． 【详解】解：如图，即为所作：    【点睛】本题考查尺规作图，掌握尺规作图的方法是解题的关键． 题型11等边三角形的判定和性质 31．（23-24八年级下·全国·开学考试）等腰的顶角为，过底边上一点作底边的垂线交于，交的延长线于，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定，综合利用了等腰三角形和直角三角形的性质．根据是等腰三角形，且，可得，，由，可得，推出，，结合对顶角相等即可求解． 【详解】解：根据题意画出示意图如图， 是等腰三角形，且， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形． 故选：A． 32．（24-25八年级·广东肇庆·期末）如图，中，为角平分线，若，，则的长度为 ． 【答案】2 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定及等腰三角形的三线合一性质，先由及三角形的内角和，得出，从而为等边三角形，再由等腰三角形的“三线合一”性质，得出，而已知，则可得答案． 【详解】解∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵为角平分线， ∴， 故答案为：2． 33．（2025八年级下·全国·专题练习）已知中，，点是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点对应点为点． (1)如图1，当点恰好落在边上，求证：是等边三角形； (2)如图2，当点恰好落在内，且的延长线恰好经过点，，求的大小； (3)如图3，当点恰好落在外，交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)3 【知识点】等边三角形的判定和性质、折叠问题、三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形 【分析】（1）利用平行线的性质得出，再利用翻折变换的性质得出，进而得出，即可得出结论； （2）由折叠的性质得出，，得出，由等腰三角形的性质得出，设，由三角形的外角性质得出，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； （3）同（1）得出是等边三角形，，得出，由折叠的性质得出，由直角三角形的性质得出，得出，由已知得出，求出，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，，， ， 沿折叠，点对应点为点， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：，， ， 沿折叠，点对应点为点， ，， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ； （3）解：同（1）得：，是等边三角形，， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了折叠变换的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 夯实基础 一、单选题 1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等角对等边，即可得出结论． 【详解】解：在中，，则：； 故选A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握同一个三角形中，等角对等边． 2．一个等腰直角三角形的面积为8，则它的直角边长为（    ）． A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】设等腰直角三角形的直角边为x,根据面积为8，列方程求解即可得． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边为x, 或（舍去） 所以它的直角边长为4， 故选B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形，解题的关键是根据题意找出等量关系列方程． 3．如图，△ABC中，∠A＝∠ABE，CD平分∠BCE，且CD⊥BE于点D，AC＝5，BC＝3，则DE的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】由∠A＝∠ABE，CD平分∠BCE，CD⊥BE，即可得到，，，再由，即可得到． 【详解】解：∵△ABC中，∠A＝∠ABE，CD平分∠BCE，CD⊥BE， ∴，，， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的性质． 4．若一个等腰三角形的顶角度数为y，底角度数为x，则它们的函数关系式应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质、函数关系式，熟练掌握相关知识点是解题的关键 已知三角形内角和是，两底角相等，可列出顶角和底角的关系式 【详解】解：∵三角形内角和是，且等腰三角形两底角相等， ∴顶角度数y与底角度数x之间的函数关系式为：； 其中x的取值范围是： 故选A 5．如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（   ） A．6 cm B．7 cm C． D．8cm 【答案】D 【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，证明，即可证明，进一步计算即可得出答案． 【详解】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G， ∵，， ∴， ∴， 在和中； ， ∴， ∴BF=CG， ∵， ∴均为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形判定与性质，全等三角形判定与性质以及勾股定理等知识点，正确画出辅助线是解决本题的关键． 6．如图，中，，为等边三角形，则、、之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质推出，根据三角形的内角和定理求出，根据等边三角形的性质和邻补角定义求出，代入上式即可求出答案． 【详解】解：如答图， ， ， ， ， 等边， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能推出和是解此题的关键． 7．在直角坐标系中，已知A（2，－2），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，①以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；②如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，所以符合条件的点一共4个． 【详解】分二种情况进行讨论： ①当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心OA为半径的圆弧与y轴有一个交点； ②当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点， ∴符合条件的点一共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题关键是根据两腰相等，分四种情况进行讨论． 8．如图所示，在一张长为，宽为的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积不可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别画出能满足条件的等腰三角形，找到三角形的底和高，求解即可． 【详解】解：如图，，，    当时，一个腰长为6的等腰三角形， 面积为：， 如图，当时，    ， ， 面积为， 如图，当时，    ， ， 面积为， 综上，剪下的等腰三角形的面积不可能是， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理和三角形面积，利用勾股定理求解是解题的关键． 二、填空题 9．已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这个三角形的周长为 ． 【答案】19cm 【解析】略 10．如图，于点，则的长为 ．    【答案】 【分析】在直角三角形中，运用角所对的直角边等于斜边的一半解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质，运用含角的直角三角形的性质计算是解题的关键． 11．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点E是△ABC内一点，点D是BC的中点，连接DE、AE，且DE＝DB，点F是DE的中点，则AE＋CF的最小值是 ．（提示：连接CE，等腰三角形两腰上的中线相等） 【答案】 【分析】取CD的中点G，根据等腰三角形两腰上的中线相等得到AE＋CF= AE＋EGAG，当点A、E、G共线时，AE＋CF有最小值，最小值为线段AG的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：取CD的中点G，连接CE、EG、AG， ∵点D是BC的中点，且DE＝DB， ∴DE＝DC，即△DEC是等腰三角形， ∵点CF、EG是等腰三角形△DEC两腰上的中线， ∴DG＝DF＝ED＝CD， 在△DEG和△DCF中，， ∴CF＝EG， ∴AE＋CF= AE＋EGAG， ∴当点A、E、G共线时，AE＋CF有最小值，最小值为线段AG的长， ∵点D是BC的中点，点G是DC的中点，且BC=4， ∴BG=3， 又AB=3，且∠B=90°， AG=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，得到当点A、E、G共线时，AE＋CF有最小值，最小值为线段AG的长是解题的关键． 12．如图，在五边形中，，，在、上分别找一点M、N，使得的周长最小，则此时 的度数为 ．    【答案】/度 【分析】取点作点A关于的对称点P，关于的对称点Q，连接与相交于点M，与相交于点N， 则，，然后求出周长，根据轴对称确定最短路线问题，的长度即为的周长最小值，根据三角形的内角和等于求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，，然后求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点P，关于的对称点Q，    连接与相交于点M，与相交于点N， 则，， ∴，， ∴周长， 由轴对称确定最短路线，的长度即为的周长最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观． 13．如图，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角，等边对等角，先证明，得到，三角形的外角求出，再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 14．如图，在中，，是的中点，，垂足为，，则的度数是 ． 【答案】65 【分析】首先根据三角形的三线合一的性质得到AD平分∠BAC，然后求得其一半的度数，从而求得答案． 【详解】∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAC＝50°， ∴∠DAC＝25°， ∵DE⊥AC， ∴∠ADE＝90°−25°＝65°， 故答案为65°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形三线合一的性质，难度不大． 三、解答题 15．如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数． 【答案】60° 【分析】易证△ABD≌△BCE，可得∠BAD=∠CBE，根据∠APE=∠ABE+∠BAD，∠ABE+∠CBE=60°即可求得∠APE=∠ABC，即可解题． 【详解】∵等边△ABC中，CD=AE， ∴BD=CE，∠ABD=∠C=60°， ∴△ABD≌△BCE， ∴∠BAD=∠CBE， ∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠ABE+∠CBE=60°，∠BPD=∠APE， ∴∠BPD=∠ABC=60°． 【点睛】本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，全等三角形的判定和性质，全等三角形对应角相等的性质，本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠APE=∠ABC是解题的关键． 16．如图，E为等边三角形ABC的AC边上一点，∠1＝∠2，CD＝BE，试判断△ADE的形状，并说明理由． 【答案】△ADE是等边三角形 【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=AE，全等三角形对应角相等可得∠CAD=∠BAE，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断出△ADE是等边三角形． 【详解】△ADE是等边三角形． 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， 又∵∠1＝∠2，BE＝CD， ∴△ABE≌△ACD(SAS)， ∴∠DAE＝∠BAE＝60°，AE＝AD， ∴△ADE是等边三角形. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键． 17．如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数． 【答案】 【分析】根据条件证明，得出，再根据外角的性质得到，进一步可得结论． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、外角的性质，解题的关键是熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和． 18．已知a,b为一个等腰三角形的两条边长,并满足b=2 + +5,求此等腰三角形的周长. 【答案】等腰三角形的周长为11或13. 【详解】试题分析：根据非负数的性质可得a=3，b=5，又a、b为一个等腰三角形的两条边长，所以分两种情况讨论：当腰为3，底为5时，当腰为5，底为3时，分别计算即可. 试题解析：由题知：a—3≥0且3—a≥0， 解得a≥3且a≤3， 所以，a=3， 所以，b=5， 当腰为3，底为5时，周长3+3+5=11； 当腰为5，底为3时，周长为5+5+3=13． ∴这个等腰三角形的周长为11或13 考点：1.非负数的性质；2.等腰三角形的性质. 19．如图，在中，，点从点出发沿线段移动，同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点移动的速度相同，与线段相交于点．求证：．    【答案】见解析 【分析】过点作交于点，由题意可得，由平行线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，通过证明即可得证． 【详解】证明：如图，过点作交于点，   ， 点和点同时出发，且速度相同， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 20．如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60° （1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB； （2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF； （3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 　 　． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF=HG-BD． 【分析】（1）先证明∠ACE=∠CBD，即可利用AAS证明△AEC≌△CDB； （2）在直线l上位于C点左侧取一点E，使得∠AEC=60°，连接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，CE=BD，然后证明△FAE≌△HFG得到GH=EF，则CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF； （3）在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N，先证明△BDM是等边三角形，得到∠DBM=∠DMB=60°，然后证明∠ACE=∠ABD=∠CBM，即可利用AAS证明△AEC≌△CMB得到CE=BM=BD；最后证明△AEF≌△FGH得到HG=EF，则EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC，∠ACB=60°， ∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°， ∵∠BDC=60°， ∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°， ∴∠ACE=∠CBD， 在△AEC和△CDB中， ， ∴△AEC≌△CDB（AAS） （2）如图所示，在直线l上位于C点左侧取一点E，使得∠AEC=60°，连接AE， 由（1）可知△AEC≌△CDB， ∴CE=BD， ∵∠ACE=60°， ∴∠AEF=120°， ∴∠AEF=∠AFH=120°， ∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°， ∴∠FAE=∠HFG， 在△FAE和△HFG中， ， ∴△FAE≌△HFG（AAS）， ∴GH=EF， ∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF； （3）如图所示，在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N ∵∠BDC=60°，BM=BD， ∴△BDM是等边三角形， ∴∠DBM=∠DMB=60°， ∵三角形ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC ∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD， ∴∠ABD=∠CBM， ∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB， ∴∠ACE=∠ABD=∠CBM， ∵∠CMB=180°-∠DMB=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°， ∴∠CMB=∠AEC， 在△AEC和△CMB中， ， ∴△AEC≌△CMB（AAS）， ∴CE=BM=BD； ∵∠AFH=120°， ∴∠AFC+∠GFH=60°， ∵∠GFH+∠FHG=180°-∠HGF=60°， ∴∠AFC=∠FHG， 在△AEF和△FGH中， ， ∴△AEF≌△FGH（AAS）， ∴HG=EF， ∴EF=CE+CF=CF+BD即CF=HG-BD． 故答案为：CF=EF-BD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 能力提升 一、单选题 21．如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（　　） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 【答案】C 【分析】求出第一个是3×1；第二个是4×1；第三个是5×1，得出规律：第n个是（n+2）×1，代入求出即可． 【详解】解：一个等边三角形的周长是：1+1+1=3×1=3； 第二个图形的周长是1+1+1+1=4×1=4， 第三个图形的周长是1+1+1+1+1+1=5×1=5； 第四个图形的周长是1+1+1+1+1+1=6×1=6； … 则第2008个图形的周长是：（2008+2）×1=2010． 故选：C． 【点睛】本题考查对等边三角形的性质的理解和掌握，能通过计算得出规律是解此题的关键． 22．如图，在等边中，，分别为，边上的两个动点，且总使，与交于点F，于点，则以下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】由题意知，，证明，进而可判断①的正误；由可得，由三角形外角的性质可知，，进而根据含度角的直角三角形的性质，可判断②的正误；由是动点，可知与的值不一定相等，进而可判断③的正误． 【详解】解：由题意知， 在和中， ∵ ∴， 故①正确； 由可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故②正确； ∵是动点， ∴与的值不一定相等，仅当时，，则， 故③错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的灵活运用． 二、填空题 23．请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画一个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形_______． 【答案】图见解析． 【分析】题目要求等腰三角形的至少一边为无理数，则说明等腰三角形的至少一边不与网格线重合，可据此来作等腰三角形． 【详解】本题答案不唯一，下列画法供参考： 24．如图，在中，，D、E、F分别是，，上的点，且，，，则的度数是 ． 【答案】48 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理；此题能够发现全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现．再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行推导． 根据已知条件可推出，从而可知，则，再求解即可． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ∵， ， ， ， 故答案为：48． 三、解答题 25．已知a,b为一个等腰三角形的两条边长,并满足b=2 + +5,求此等腰三角形的周长. 【答案】等腰三角形的周长为11或13. 【详解】试题分析：根据非负数的性质可得a=3，b=5，又a、b为一个等腰三角形的两条边长，所以分两种情况讨论：当腰为3，底为5时，当腰为5，底为3时，分别计算即可. 试题解析：由题知：a—3≥0且3—a≥0， 解得a≥3且a≤3， 所以，a=3， 所以，b=5， 当腰为3，底为5时，周长3+3+5=11； 当腰为5，底为3时，周长为5+5+3=13． ∴这个等腰三角形的周长为11或13 考点：1.非负数的性质；2.等腰三角形的性质. 26．如图所示，在中，，在的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由向和由向爬行，经过后，它们分别爬行到了D，E处，设与的交点为． (1)证明：． (2)小蚂蚁在爬行过程中，与所成的的大小有无变化？请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)无变化，详见解析 【分析】本题考查的是三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． （1）由小蚂蚁的路程相等得到，利用证明即可， （2）利用E的性质结合内角和定理可得答案． 【详解】（1）证明：两只小蚂蚁分别同时从，出发，速度相同， 后两只小蚂蚁爬行的路程相等， 即． 在和中， ． （2）解：无变化．理由如下： ， ． ， ． 由，得， ． ， 的大小为定值，即的大小无变化． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 等腰三角形 目 录 题型归纳........................................................................................................................................................................................1 题型01三角形边角的不等关系....................................................................................................................................................4 题型02等腰三角形的定义............................................................................................................................................................9 题型03等腰三角形的性质和判定................................................................................................................................................11 题型04等边对等角........................................................................................................................................................................15 题型05根据等边对等角证明.......................................................................................................................................................18 题型06根据等角对等边证明等腰三角形...................................................................................................................................21 题型07根据等角对等边证明边相等...........................................................................................................................................24 题型08根据等角对等边求边长...................................................................................................................................................26 题型09三线合一...........................................................................................................................................................................29 题型10作等腰三角形(尺规作图)................................................................................................................................................34 题型11等边三角形的判定和性质..............................................................................................................................................36 分层练习.....................................................................................................................................................................................40 夯实基础.....................................................................................................................................................................................40 能力提升......................................................................................................................................................................................62 知识点1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点2．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点3．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点4．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点5．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点6．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点7．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点8．反证法 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 题型01三角形边角的不等关系 1．（辽宁沈阳·一模）如图，点A的坐标是（1，1），若点B在x轴上，且△ABO是等腰三角形，则点B的坐标不可能是（　　） A．（2，0） B．（，0） C．（-，0） D．（1，0） 2．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    3．（20-21八年级下·陕西西安·期中）（1）如图①，点P为直线l上一个动点，点A，B是直线l外同侧的两个定点，连接PA，PB，AB．若AB＝2，则PA﹣PB的最大值为　 　． （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，对角线AC⊥BD，垂足为点O，OA＝2OC，点E为OC中点，点F在AB上，且BF＝3AF，点P为BD上一动点，连接PE，PF，若AC＝6，求PF﹣PE的最大值． （3）如图③，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝150°，点P为平面内一动点，连接PA，PB，PC．若PA＝2，求PB﹣PC的最大值． 题型02等腰三角形的定义 4．（23-24八年级下·广东河源·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（    ） A． B． C． D．或 5．（23-24八年级下·广东潮州·阶段练习）周长的等腰三角形，其底边长与腰长的函数关系式为 ．(要求写出自变量取值范围) 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）在如图的网格中，小正方形的边长都是，试判定的形状． 题型03等腰三角形的性质和判定 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点…都在 x 轴上，点…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，，，现将拓展为等腰，且使得点在射线上，则的长为 ． 9．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）如图，是的角平分线，，交于点E． (1)求证：． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 题型04等边对等角 10．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）已知等腰三角形的一个角为，则其顶角为（   ） A． B． C． D．或 11．（22-23八年级下·辽宁丹东·阶段练习）如图，在中，，，，则底边上的高 ． 12．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，在中，为中线，E为上一点，交于点F，且．求证：． 题型05根据等边对等角证明 13．（23-24八年级下·福建三明·期中）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，以，为直角边分别作等腰直角三角形，连接，与交于点，连接，，，，．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的为 ． 15．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．求证：． 题型06根据等角对等边证明等腰三角形 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，已知，，分别是，，的对边，则下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（      ） A．，， B． C．， D． 17．（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）在中，，，则的长 ． 18．（23-24八年级下·广东佛山·期中）已知：如图，的高相交于点，且．求证：是等腰三角形； 题型07根据等角对等边证明边相等 19．（23-24八年级下·陕西·期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知平分，平分，且，设，，则的周长是 ． 21．（24-25八年级下·广东广州·开学考试）已知：如图，，．求证：． 题型08根据等角对等边求边长 22．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 23．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东方向，航行50海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东方向上．则 ；轮船到灯塔P的距离 海里．（结果保留根号） 24．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在中，，点在上，．求的长．    题型09三线合一 25．（2025八年级下·全国·专题练习）在中，则的面积为（　　） A．4 B．12 C．16 D．24 26．（24-25八年级下·广东广州·开学考试）如图，，点E是的中点，平分，若，，则的长度为 ． 27．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边向点运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒．点运动的速度为每秒个单位长度． (1)当时，__________，__________； (2)求当为何值时，是直角三角形，说明理由； (3)求当为何值时，是以或为底的等腰三角形？并说明理由． 题型10作等腰三角形(尺规作图) 28．（广东广州·一模）如图，直线a∥b，以直线a上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线a、b于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC＝65°，则∠1＝（　　） A．115° B．80° C．65° D．50° 29．（江西·中考模拟）如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个4×4的方格纸中，找出格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C共有 个． 30．（22-23八年级下·陕西榆林·期末）如图，已知线段a，b，求作以3a为底边、以b为高的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）    题型11等边三角形的判定和性质 31．（23-24八年级下·全国·开学考试）等腰的顶角为，过底边上一点作底边的垂线交于，交的延长线于，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形 32．（24-25八年级·广东肇庆·期末）如图，中，为角平分线，若，，则的长度为 ． 33．（2025八年级下·全国·专题练习）已知中，，点是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点对应点为点． (1)如图1，当点恰好落在边上，求证：是等边三角形； (2)如图2，当点恰好落在内，且的延长线恰好经过点，，求的大小； (3)如图3，当点恰好落在外，交于点，连接，若，，求的长． 夯实基础 一、单选题 1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．一个等腰直角三角形的面积为8，则它的直角边长为（    ）． A．2 B．4 C．8 D． 3．如图，△ABC中，∠A＝∠ABE，CD平分∠BCE，且CD⊥BE于点D，AC＝5，BC＝3，则DE的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 4．若一个等腰三角形的顶角度数为y，底角度数为x，则它们的函数关系式应是（   ） A． B． C． D． 5．如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（   ） A．6 cm B．7 cm C． D．8cm 6．如图，中，，为等边三角形，则、、之间的关系为（    ） A． B． C． D． 7．在直角坐标系中，已知A（2，－2），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图所示，在一张长为，宽为的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积不可能是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这个三角形的周长为 ． 10．如图，于点，则的长为 ．    11．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点E是△ABC内一点，点D是BC的中点，连接DE、AE，且DE＝DB，点F是DE的中点，则AE＋CF的最小值是 ．（提示：连接CE，等腰三角形两腰上的中线相等） 12．如图，在五边形中，，，在、上分别找一点M、N，使得的周长最小，则此时 的度数为 ．    13．如图，，，，，，则 ． 14．如图，在中，，是的中点，，垂足为，，则的度数是 ． 三、解答题 15．如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数． 16．如图，E为等边三角形ABC的AC边上一点，∠1＝∠2，CD＝BE，试判断△ADE的形状，并说明理由． 17．如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数． 18．已知a,b为一个等腰三角形的两条边长,并满足b=2 + +5,求此等腰三角形的周长. 19．如图，在中，，点从点出发沿线段移动，同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点移动的速度相同，与线段相交于点．求证：．    20．如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60° （1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB； （2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF； （3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 　 　． 能力提升 一、单选题 21．如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（　　） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 22．如图，在等边中，，分别为，边上的两个动点，且总使，与交于点F，于点，则以下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题 23．请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画一个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形_______． 24．如图，在中，，D、E、F分别是，，上的点，且，，，则的度数是 ． 三、解答题 25．已知a,b为一个等腰三角形的两条边长,并满足b=2 + +5,求此等腰三角形的周长. 26．如图所示，在中，，在的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由向和由向爬行，经过后，它们分别爬行到了D，E处，设与的交点为． (1)证明：． (2)小蚂蚁在爬行过程中，与所成的的大小有无变化？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$