精品解析：湖南省长沙市麓山国际实验学校2024-2025学年下学期九年级入学数学试卷

长沙市2024-2025学年麓山国际实验学校九年级下入学数学试卷 一、选择题（本大題共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. ﹣3 B. |﹣4| C. ﹣ D. 2. 以下是中国四大银行（工，农，中，建）标志，其中仅是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确是（ ） A. a3＋a3＝a6 B. 2（a＋1）＝2a＋1 C （a﹣b）2＝a2﹣b2 D. a6÷a3＝a3 4. 下列说法正确的是（　　） A. 为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取全面调查的方式 B. 一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5 C. 投掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上” D. 若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定 5. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝32°，则∠BAD的度数是（ ） A. 48° B. 58° C. 60° D. 64° 9. 反比例函数的图象在第二、第四象限，点是图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形边长为4，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小愿，每小题3分，共18分） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 12. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大正方形M的边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和是_____． 13. 一种花粉颗粒的直径约为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示为___． 14. 扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为______ 15. 如图，一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，若∠1＝56°，则∠2的度数为_____． 16. 如图，平行四边形中，，，，与的平分线，交于点，连接，则的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，第17，18，19题每小题6分，第20，21题每小题8分，第22，23题每小题9分，第24，25题每小题10分） 17. 计算：﹣12020＋（）﹣2﹣|﹣2|﹣2sin60°． 18. 先化简，再求值；，从，0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入． 19. 如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树和教学楼的高，先在A处用高米的测角仪测得古树顶端H的仰角为，此时教学楼顶端G恰好在视线上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角为，点A、B、C三点在同一水平线上． （1）求古树的高． （2）求教学楼的高．（参考数据：，） 20. 王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D（较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题： （1）这次随机抽取的样本容量是______，其中C类女生有______名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为______度； （2）将条形统计图补充完整； （3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率． 21. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求BE的长． 22. “低碳生活，绿色出行”，共享单车已经成了很多人出行的主要选择，今年1月份，“摩拜”共享单车又向长沙河西新投放共享单车640辆． （1）若1月份到3月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆．求月平均增长率． （2）考虑到共享单车市场竞争激烈，摩拜公司准备用不超过60000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，且A型车不超过60辆．已知A型的进价为500元/辆，B型车进价为700元/辆，设购进A型车m辆，求出m的取值范围． （3）已知A型车每月产生利润是100元/辆，B型车每月产生的利润是90元/辆，在（2）的条件下，求公司每月的最大利润． 23. 如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，的延长线与的切线交于点． （1）求证：； （2）若，，求半径的长及的长． 24. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出长度． 25. 我们不妨约定：若点在某一函数的图象上．且点的横纵坐标相等，我们称点为这个函数的优级点，例如，对于函数（），根据函数“优级点”的定义可知，当时，代入解析式中得，变形得，因为，所以方程有两个不相等的实数根，因此函数有两个“优级点”． （1）关于的一次函数是否存在“优级点”，若存在，请求出这个“优级点”，若不存在，请说明理由． （2）若二次函数的图象上有且只有一个“优级点”，且当时，函数的最小值为，最大值为6，求的取值范围． （3）有关于的函数（，，是常数，）有两个关于原点对称的“优级点”，且，，同时满足下列两个条件：①：②，求该函数图象被轴截得的线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市2024-2025学年麓山国际实验学校九年级下入学数学试卷 一、选择题（本大題共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. ﹣3 B. |﹣4| C. ﹣ D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的性质先得出|﹣4|＝4，再根据有理数的大小比较的法则进行比较即可． 【详解】∵|﹣4|＝4， ∴﹣3＜﹣＜＜|﹣4|， ∴最小的数是﹣3， 故选：A． 【点睛】此题考查了实数大小比较，解题的关键是掌握比较大小的法则：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2. 以下是中国四大银行（工，农，中，建）标志，其中仅是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. a3＋a3＝a6 B. 2（a＋1）＝2a＋1 C. （a﹣b）2＝a2﹣b2 D. a6÷a3＝a3 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】根据同类项合并、多项式乘法、完全平方公式和同底数幂的除法计算判断即可． 【解答】解：A、a3＋a3＝2a3，错误； B、2（a＋1）＝2a＋2，错误； C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，错误； D、a6÷a3＝a3，正确； 故选：D． 4. 下列说法正确的是（　　） A. 为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取全面调查的方式 B. 一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5 C. 投掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上” D. 若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定 【答案】D 【解析】 【详解】为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取抽样调查的方式，故选项A错误， 把数据1、2、5、5、5、3、3从小到大排列1、2、3、3、5、5、5；所以中位数为：3； 5出现的次数最多，所以众数是5，故选项B错误， 投掷一枚硬币100次，可能有50次“正面朝上”，但不一定有50次“正面朝上”，故选项C错误， 若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查全面调查与抽样调查、中位数、众数、方差，解答本题的关键是明确它们各自的含义． 5. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：俯视图为， 故选：C． 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，将不等式组的解集表示在数轴上．分别解不等式，利用数轴表示解集，即可得到答案． 【详解】解：解得， 解得， 将解集表示在数轴上： ∴不等式组的解集为， 故选：A． 7. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质．先根据两点距离计算公式得到，再由矩形对角线相等即可得到． 【详解】解；如图所示，连接， ∵点的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：B． 8. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝32°，则∠BAD的度数是（ ） A. 48° B. 58° C. 60° D. 64° 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接BD.证明∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝32°即可解决问题. 【详解】解：如图，连接BD， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝∠ACD＝32°， ∴∠DAB＝90°﹣∠B＝58°， 故选：B 【点睛】此题考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等. 9. 反比例函数的图象在第二、第四象限，点是图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图像在第二、四象限，反比例函数图像在第二、四象限，y随x的增大而增大，再根据三点横坐标的特点即可得出结论. 【详解】解：∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴反比例函数图象在每个象限内y随x的增大而增大， ∵-2<4<5， ∴点B、C在第四象限，点A在第二象限， ∴<0， ， ∴. 故选B. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键. 10. 如图，正方形的边长为4，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的基础知识，中位线的判定和性质．根据题意，连接交于点，可得四点共圆，根据圆周角定理可得点在圆上，连接，当点三点共线时，的值最大，根据正方形的边长，中位线的判定，圆的半径等知识可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，如图所示，连接交于点， ∴点四边共圆，即在上，为直径， ∴，根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得，点在上， ∵正方形的边长为，即， ∴， 如图所示，连接， ∵点是中点，点是中点， ∴， ∵点在上， ∴， 当点三点共线时，的值最大， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小愿，每小题3分，共18分） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 分析】由有意义可得：再解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 12. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大正方形M的边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和是_____． 【答案】18 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理得出6个小正方形的面积和与最大正方形面积的数量关系即可得出答案． 【详解】解：根据勾股定理得到：A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是M的面积． 即A、B、C、D、E、F的面积之和为2个M的面积． ∵M的面积是32＝9， ∴A、B、C、D、E、F的面积之和为9×2＝18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了勾股定理，关键就是运用勾股定理和正方形的面积公式推导出6个小正方形的面积和等于最大正方形的面积的2倍． 13. 一种花粉颗粒的直径约为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示为___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．0.0000065第一个有效数字前有6个0（含小数点前的1个0），从而． 14. 扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据可求出半径R的值，再由可求出扇形的弧长. 【详解】由题意得，， 解得：r=5， 又， ∴， 故答案为：. 【点睛】此题考查了面积及弧长计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的两种表达形式. 15. 如图，一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，若∠1＝56°，则∠2的度数为_____． 【答案】34° 【解析】 【分析】先根据余角的性质得出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，∠1＝56°， ∴∠3＝90°﹣56°＝34°． ∵直尺的两边互相平行， ∴∠2＝∠3＝34°． 故答案为：34°． 【点睛】考核知识点：平行线性质．利用两直线平行内错角相等性质是关键． 16. 如图，平行四边形中，，，，与的平分线，交于点，连接，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作于，根据四边形是菱形，，，得到，，，从而得到，，然后利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：作于， 四边形是平行四边形， ． ． 是角平分线， ． ． ． 同理． ． 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． ，， ，，， ， ，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，求角的正切值，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共8个小题，第17，18，19题每小题6分，第20，21题每小题8分，第22，23题每小题9分，第24，25题每小题10分） 17. 计算：﹣12020＋（）﹣2﹣|﹣2|﹣2sin60°． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简即可得出答案． 【详解】原式＝﹣1＋4﹣（2﹣）﹣2× ＝﹣1＋4﹣2＋﹣ ＝1． 【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算法则． 18. 先化简，再求值；，从，0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入． 【答案】，时，原代数式的值为 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，分式化简，掌握通分，约分，完全平方公式，分式除法的运算法则是解答关键． 先利用通分，完全平方公式和提取公因式进行化简，再利用分式除法的运算法则化简，然后根据分式有意义的条件选取的值，代入化简后的代数式中进行计算求解． 详解】解： ； 从题意可知，要使有意义，，则取， 当时， 原式． 19. 如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树和教学楼的高，先在A处用高米的测角仪测得古树顶端H的仰角为，此时教学楼顶端G恰好在视线上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角为，点A、B、C三点在同一水平线上． （1）求古树的高． （2）求教学楼的高．（参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，得，即可得出结果； （2）设，则，，证明是等腰直角三角形，得，再列关于的一元一次方程即可得到结果． 【小问1详解】 解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：古树的高为米． 【小问2详解】 解：在中，， 设，则，， 在中，， 是等腰直角三角形， ，即， 解得：， ∴， ∴ 答：教学楼的高为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 20. 王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D（较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题： （1）这次随机抽取的样本容量是______，其中C类女生有______名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为______度； （2）将条形统计图补充完整； （3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）20；2；36；（2）图见详解；（3）所选两位同学恰好是一男一女的概率为． 【解析】 【分析】（1）由扇形统计图和条形统计图可知A类所占百分比为15％，人数为3人，由此可求解问题； （2）根据（1）中的数据可直接作图； （3）利用画树状图法可直接进行求解概率． 【详解】解：（1）由统计图可知：（1+2）÷15％=20（名）， ∴C类女生有20×25％-3=2（名）， 扇形统计图中D类所对应的圆心角为； 故答案为20；2；36； （2）补全图形如下： （3）画树状图如下： 一共有6种等可能的情况，其中一男一女的情况有3种， ∴所选两位同学恰好是一男一女的概率为． 【点睛】本题主要考查统计与调查及概率，解题的关键是分析题中所给统计图，进而得到相关信息． 21. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求BE的长． 【答案】（1）见解析 （2）BE=5 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论； （2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程即可求出BE长． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点， ∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF， 在△BOE和△DOF中，， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴EO=FO， ∴四边形BEDF是平行四边形； 【小问2详解】 解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF， 设BE=x，则DE=x，AE=8-x． 在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2， ∴x2=42+（8-x）2， 解得x=5，即BE=5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键． 22. “低碳生活，绿色出行”，共享单车已经成了很多人出行的主要选择，今年1月份，“摩拜”共享单车又向长沙河西新投放共享单车640辆． （1）若1月份到3月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆．求月平均增长率． （2）考虑到共享单车市场竞争激烈，摩拜公司准备用不超过60000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，且A型车不超过60辆．已知A型的进价为500元/辆，B型车进价为700元/辆，设购进A型车m辆，求出m的取值范围． （3）已知A型车每月产生的利润是100元/辆，B型车每月产生的利润是90元/辆，在（2）的条件下，求公司每月的最大利润． 【答案】(1) 25％;(2) 50≤m≤60 ;(3) 9600元. 【解析】 【详解】分析：(1)设平均增长率为x,根据1月份到3月份新投放单车数量的月平均增长率相同,3月份新投放共享单车1000辆列出方程,再求解即可; (2)设购进A型车m辆,则购进B型车(100-x)辆,根据不超过60000元的资金再购进A,B两种规格的自行车100辆,列出不等式,求出m的取值范围;(3)求出利润W的表达式,根据一次函数的性质求解即可. 详解：（1）设增长率为x，由题意 解得 答：月平均增长率为25％ (2)由题意：500m+700(100-m)≤60000 解得 m≥50 又 m≤60 ∴ 50≤m≤60 (3)由题意，设利润为W，有 W= 100m+90（100-m） = 10m+9000 ∵10＞0 ∴ W随m的增大而增大 m=60时， 答：A型车60辆、B型车40辆时，最大利润为9600元. 点睛：本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式，用一次函数的性质求解这也是本题的难点． 23. 如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，的延长线与的切线交于点． （1）求证：； （2）若，，求半径的长及的长． 【答案】（1）见解析 （2）半径的长为5；的长为8 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、三角函数，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键． （1）首先连接，由为直径，可得，又由是的切线，易证得．然后由，证得：； （2）证明得求出，可得圆的半径，连接，证明，由正弦求出的长，进而求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵为的直径， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵是的切线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵, ∴ ∴； ∴的半径为； 连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或. 【解析】 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 25. 我们不妨约定：若点在某一函数的图象上．且点的横纵坐标相等，我们称点为这个函数的优级点，例如，对于函数（），根据函数“优级点”的定义可知，当时，代入解析式中得，变形得，因为，所以方程有两个不相等的实数根，因此函数有两个“优级点”． （1）关于的一次函数是否存在“优级点”，若存在，请求出这个“优级点”，若不存在，请说明理由． （2）若二次函数的图象上有且只有一个“优级点”，且当时，函数的最小值为，最大值为6，求的取值范围． （3）有关于的函数（，，是常数，）有两个关于原点对称的“优级点”，且，，同时满足下列两个条件：①：②，求该函数图象被轴截得的线段长度的取值范围． 【答案】（1）存在， （2） （3）且 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的综合题型，熟练掌握二次函数，一次函数以及一元二次方程的综合知识是解题的关键． （1）根据“优级点”的定义，令一次函数中，得到关于的方程，求解方程得到的值，进而得到＂优级点＂．； （2）根据根与系数关系及点的坐标求出抛物线的解析式，再根据二次函数的增减性求出的取值范围即可； （3）设出两个关于原点对称的“优级点”的坐标，根据题意得出关于m，s，n的方程，根据根与系数关系及题中条件求出的取值即为被轴截得的线段长度的取值范围． 【小问1详解】 解：因为“优级点”的横纵坐标相等，对于一次函数，令， 则有， 解得， 当时，， 所以一次函数的“优级点”为． 故答案为：存在， 【小问2详解】 二次函数的图象上有且只有一个“优级点”， ∴方程有两个相等的实数根， 即， 又∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴函数可化为 ∴从抛物线的对称轴为，当时有最大值为6， 当时，即， 解得或， ∴当时函数的最小值为，最大值为6， 故答案为：； 【小问3详解】 由题知，方程即，有2个不同的解， ∴ 设两个关于原点对称的“优级点”的坐标分别为，， 由题知，方程， 即的两根为， ， ， ， 即， ∵ ∴， 解得：或 又 即， 整理得， 解得或， 综上所述，-的取值范围为：或 当函数时， 即， ， ， ， 令 ∴当时，， 当时， 当时，有最大值为， ∵， ∴ 且 即该函数图象被轴截得的线段长度的取值范围为且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$