课时测评54 球的表面积和体积-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评54　球的表面积和体积 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．如果三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积之和的(　　) A.1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 答案：C 解析：设三个球的半径由小到大依次为r1，r2，r3，则r1∶r2∶r3＝1∶2∶3，所以V3＝πr＝×27πr＝36πr，V1＋V2＝πr＋πr＝×9πr＝12πr，所以V3＝3(V1＋V2).故选C. 2．用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为，则球的表面积为(　　) A.16π B．32π C．36π D．48π 答案：C 解析：设球的半径为R，圆锥的底面半径为r，因为球心到截面的距离为1，所以有r2＝R2－1，则圆锥体积V＝×1×(R2－1)π＝，解得R＝3，故球的表面积为4πR2＝36π.故选C. 3．如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间部分是高l为的圆柱，上、下两端均是半径r为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为(　　) A.3 B．4 C.5 D．6 答案：C 解析：设实心球的半径为 R，实心金属几何体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×8＋π×4×＝π.因为 πR3＝π，所以R＝，所以该球的直径为2R＝5.故选C. 4．(多选)如图所示，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(　　) A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球面面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 答案：CD 解析：因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则圆柱的侧面积为2πR·2R＝4πR2，故A错误；圆锥的母线长l＝＝R，侧面积为πRl＝πR2，故B错误；球的表面积为4πR2，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，故C正确；因为V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3所以V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2，故D正确．故选CD. 5．(多选)某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则(　　) A.R＝3r B．R＝6r C.V2＝9V1 D．2V2＝27V1 答案：AD 解析：由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得R＝3r，圆柱的高等于球形巧克力的直径，即h＝2r，V1＝，V2＝πR2h＝18πr3，则有2V2＝27V1.故选AD. 6．若球O被平面α所截得的截面圆的面积为π cm2，且球心O到平面α的距离为 cm，则球O的表面积为________cm2. 答案：60π 解析：因为截面圆的面积为π，所以截面圆的半径为1，设球O的半径为R，所以R＝＝，球O的表面积为4πR2＝60π(cm2). 7．已知一个正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的顶点都在同一个球面上，且该正六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________． 答案：π 解析：设正六棱柱的底面边长为x，则6x＝3，所以x＝.设正六棱柱的高为h，由其体积为，知＝6×××h，解得h＝.因为正六棱柱外接球的直径2R恰好等于正六棱柱的最长体对角线长，所以2R＝，解得R＝1.故这个球的体积V球＝πR3＝π. 8．(新定义)我国古代数学名著《九章算术》中给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d＝.规定：“一个近似数与它准确数的差的绝对值叫这个近似数的绝对误差，相对误差指的是测量所造成的绝对误差与被测量[约定]真值之比．”那么用这个公式所求的直径d结果的相对误差是________． 答案：1－ 解析：设球的直径为d，则V＝π·3，由近似公式求得的直径的近似值为＝d，因为<1，所以<1，所以绝对误差为d，相对误差为＝＝1－. 9．(10分)如图所示，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球(球A和球B)，圆柱的底面直径为2＋，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球B. (1)求球A的体积；(4分) (2)求圆柱的侧面积与球B的表面积之比．(6分) 解：(1)设圆柱的底面半径为R，小球的半径为r，且r＜R， 由圆柱与球的性质知AB2＝(2r)2＝(2R－2r)2＋(2R－2r)2，即r2－4Rr＋2R2＝0，因为r＜R， 所以r＝(2－)R＝(2－)×＝1， 所以球A的体积为V＝πr3＝π. (2)球B的表面积S1＝4πr2＝4π， 圆柱的侧面积S2＝2πR·2R＝4πR2＝(6＋4)π， 所以圆柱的侧面积与球B的表面积之比为. (10—12每题5分，共15分) 10．如图所示，在正方形ABCD内作内切圆O，将正方形ABCD，圆O绕对角线AC旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为V1，V2，则V1∶V2＝(　　) A．2∶ B．2∶3 C．∶1 D．∶1 答案：D 解析：设AC＝BD＝2，则正方形ABCD旋转后得到两个底面半径为1，高为1的圆锥形成的组合体，故V1＝2××π＝，圆O绕对角线AC旋转一周得到一个半径为的球，故V2＝＝，V1∶V2＝∶1.故选D. 11．如图所示，将一个球放入一个倒立的圆锥形容器中，圆锥的高为3，底面半径为4，且圆锥的底面恰好经过球心，则该球的表面积为(　　) A.16π B．π C．π D．64π 答案：C 解析：如图所示，设球的半径为R，则由题意可得球与圆锥的母线AB相切，所以球心O到母线AB的距离等于球的半径，作OC⊥AB，所以S△OBA＝×3×4＝×R×，得R＝，所以球的表面积为4π×＝π.故选C. 12．(多选)如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是(　　) A.圆锥的轴截面为直角三角形 B.圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C.圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为π D.圆锥的体积与球的体积之比为1∶4 答案：ABD 解析：对于A，设球的半径为R，则如图所示：OB＝OA＝OC＝R，所以∠BAC＝，故A正确；对于B，圆锥的表面积为S1＝πR2＋π·R·R＝πR2＋πR2，球的表面积为S2＝4πR2，所以S1>S2，故B正确；对于C，圆锥的母线长为R，底面周长为2πR，所以圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数为＝π，故C错误；对于D，V1＝·πR2·R＝πR3，V2＝πR3，＝，故D正确．故选ABD. 13．(13分)如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC＝30°) 解：如图①，过点C作CO1⊥AB于点O1，旋转后得到的几何体如图②所示，由已知得∠BCA＝90°， 因为∠BAC＝30°，AB＝2R， 所以AC＝R，BC＝R，CO1＝R. 所以S球＝4πR2， S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2， S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2， 所以S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧 ＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR2. 又因为V球＝πR3， V圆锥AO1＝·AO1·π·CO＝πR2·AO1， V圆锥BO1＝·BO1·π·CO＝πR2·BO1， 所以V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝πR3. 14．(5分)(新情境)(多选)绿水青山就是金山银山，为响应党的号召，某小区把一处荒地改造成公园进行绿化．在绿化带旁边放置一些砌成的完全相同的石墩，石墩的上部是半径为15 cm的球的一部分，下部是底面半径为12 cm的圆柱体，整个石墩的高为48 cm，如图所示(注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高．球缺的体积V＝π·h2，其中R为球的半径，h为球缺的高)，下列说法正确的是(　　) A.石墩上、下两部分的高之比为1∶1 B.石墩表面上两点间距离的最大值为cm C.每个石墩的体积为7 488π cm3 D.将石墩放置在一个球内，则该球半径的最小值为cm 答案：ACD 解析：如图所示，设球缺的球心为O，由已知可得半径R＝15 cm，AE＝AB＝12 cm，所以OE＝＝＝9 cm，可得SE＝R＋OE＝24 cm，石墩上、下两部分的高之比为24∶24＝1∶1，故A正确；由OC＝＝3 cm，所以石墩表面上两点间距离的最大值为OC＋R＝cm，故B错误；由前面的计算可知上部分球缺的高h＝24 cm，所以石墩的体积V＝π×242＋π×122×24＝7 488π cm3，故C正确；设该球的半径为r，则(48－r)2＋122＝r2，解得r＝ cm，故D正确．故选ACD. 15．(17分)如图所示，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C. (1)求球冠所在球的半径R(结果用h，r表示)；(7分) (2)已知球冠表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π时，求的值及球冠所在球的表面积．(10分) 解：(1)如图所示，点O是球冠所在球面的球心，点O1是球冠底面圆的圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高，依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B＝h，OO1＝R－h，O1A＝r， 在Rt△OO1A中，OA2＝OO＋O1A2，即R2＝(R－h)2＋r2，整理化简得：R＝，所以球冠所在球的半径R＝. (2)因为球冠底面圆周长C＝500π， 则r＝＝250， 又球冠表面积公式为S＝2πRh，且S＝65 000π， 则h＝＝，由(1)知R＝， 即65 000＝＋2502，解得R＝650， 于是得＝＝，球O的表面积为4πR2＝4π×6502＝1 690 000π， 所以的值是，球冠所在球的表面积是1 690 000π. 学生用书第187页 学科网（北京）股份有限公司 $$