课时测评24 向量数量积的坐标表示-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评24　向量数量积的坐标表示 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知a＝(1，－1)，b＝(2，4)，则a·(a＋b)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：B 解析：因为a＝(1，－1)，b＝(2，4)，所以a＋b＝(1，－1)＋(2，4)＝(3，3)，所以a·(a＋b)＝3×1＋3×(－1)＝0.故选B. 2．设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则cos 〈a＋b，b〉＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为a＝(x，1)，b＝(1，－2)，又a⊥b，所以x－2＝0，得到x＝2，所以a＝(2，1)，得到a＋b＝(3，－1)，所以cos 〈a＋b，b〉＝＝＝＝.故选B. 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 答案：D 解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)，可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 4．(多选)已知a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，－5)，则下列结论正确的是(　　) A．(a＋2b)⊥c B．(a＋2b)∥c C．|a＋c|＝2 D．|a＋c|＝2|b| 答案：BD 解析：a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，－5)，对于A，a＋2b＝(－3，5)，(a＋2b)·c＝－3×3＋5×(－5)≠0，a＋2b与c不垂直，故A不正确；对于B，a＋2b＝(－3，5)＝－c，所以(a＋2b)∥c，故B正确；对于C，a＋c＝(4，－2)，有|a＋c|＝＝2，故C不正确；对于D，|b|＝＝，由选项C知|a＋c|＝2，所以|a＋c|＝2|b|，故D正确．故选BD. 5．(多选)设向量a＝(k，2)，b＝(1，－1)，则下列叙述正确的是(　　) A．若k<－2，则a与b的夹角为钝角 B．的最小值为2 C．与b共线的单位向量只有一个，为 D．若＝2，则k＝2或－2 答案：AB 解析：对于A，若a与b的夹角为钝角，则a·b<0且a与b不共线，则解得k<2且k≠－2，故A正确；对于B，＝≥＝2，当且仅当k＝0时，等号成立，故B正确；对于C，＝，与b共线的单位向量为±，即与b共线的单位向量为或，故C错误；对于D，＝2＝2，即＝2，解得k＝±2，故D错误．故选AB. 6．已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为1，则a·b＝________． 答案：－6 解析：由题图可得a＝(2，1)，b＝(－3，0)，故a·b＝－6. 7．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则a·b－2b2＝________． 答案：－30 解析：因为a∥b，所以m＝2×2＝4，所以a·b－2b2＝1×2＋2×4－2×＝－30. 8．在直角梯形ABCD中，∠DAB＝90°，AB∥CD，且AB＝2CD＝2，若·＝1，则·＝_______________. 答案：－1 解析：如图所示，以AB，AD所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，设＝t(t>0)，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，t)，D(0，t)，＝(1，t)，＝(－2，t)，＝(0，t)，·＝t2＝1，所以t＝1(负值舍去)，即有·＝－2＋t2＝－1. 9．(10分)(一题多问)已知点A，B，C，求： (1)·的值；(3分) (2)∠ACB的大小；(3分) (3)点A到直线BC的距离．(4分) 解：(1)由题意知，得＝－(－2，1)＝(4，2)， ＝－＝， 所以·＝4×6＋2×＝20. (2)因为cos ∠ACB＝＝＝， 又∠ACB∈，所以∠ACB＝. (3)点A到直线BC的距离为d＝sin ∠ACB＝×＝. (10—12每题5分，共15分) 10．已知平面向量 ＝，＝，若△ABC是直角三角形，则k的取值是(　　) A．2 B．－2 C．2或7 D．2或5 答案：C 解析：因为＝，＝，所以＝－＝，若A＝90°，则·＝0，即－2＋k＝0，解得k＝2，若B＝90°，则·＝0，即－3＋k＝0，无实数解，若C＝90°，则·＝0，即6＋1－k＝0，解得k＝7.综上所述，k＝2或k＝7.故选C． 11．已知向量a，b满足a＝(，1)，＝，＝，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由＝⇒a2＋2a·b＋b2＝2＋12＋2a·b＋2＝2，所以2a·b＝－4，所以cos 〈a，b〉＝＝＝－，因为〈a，b〉∈，所以〈a，b〉＝.故选C． 12．(开放题)已知向量a＝(1，1)，非零向量b满足|a＋b|＝|a－b|，请写出b的一个坐标__________． 答案：(1，－1)(答案不唯一) 解析：设向量b＝(x，y)，x2＋y2≠0，由|a＋b|＝|a－b|，可得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝0，又a＝(1，1)，所以x＋y＝0，令x＝1，可得b＝(1，－1)，所以向量b的坐标可为(1，－1). 13．(13分)已知向量＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3). (1)若∥，求x与y之间的关系式；(6分) (2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．(7分) 解：(1)因为＝＋＋＝(x＋4，y－2)， 所以＝－＝(－x－4，2－y). 又∥，且＝(x，y)， 所以x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0. (2)＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3). 因为⊥，所以·＝0， 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0. 由(1)知x＋2y＝0，与上式联立，消去x并化简得y2－2y－3＝0，解得y＝3或y＝－1. 当y＝3时，x＝－6， 此时＝(0，4)，＝(－8，0)； 当y＝－1时，x＝2， 此时＝(8，0)，＝(0，－4)， 所以S四边形ABCD＝||·||＝16. 14．(5分)(多选)已知a＝(1，2)，b＝(4，t)，则下列叙述正确的是(　　) A．若a∥b，则t＝8 B.若a⊥b，则t＝2 C．|a－b|的最小值为5 D.若向量a与向量b的夹角为钝角，则t＜－2 答案：AD 解析：对于A，若a∥b，则1×t－2×4＝0，解得t＝8，故A正确；对于B，若a⊥b，则4＋2t＝0，解得t＝－2，故B错误；对于C，因为a－b＝(－3，2－t)，所以|a－b|2＝(－3)2＋(2－t)2＝(t－2)2＋9，则当t＝2时，|a－b|＝9，所以|a－b|min＝3，故C错误；对于D，若向量a与向量b的夹角为钝角，则a·b＝4＋2t＜0，解得t＜－2，由上可知，此时两向量不共线，故D正确．故选AD. 15．(17分)(新定义)已知A(1，1)，B(－3，4)，P(－1，－2)，直线l经过A，B两点，我们把向量以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量，则向量在直线l的法向量上的投影向量的模就是点P到直线l的距离． (1)求直线l的一个法向量；(7分) (2)运用上述方法，求点P到直线l的距离．(10分) 解：(1)设直线l的法向量n＝(x，y). 由题知直线l的一个方向向量为＝(－4，3). 由直线l的法向量n与直线l垂直，得·n＝0. 所以－4x＋3y＝0，取x＝3，y＝4， 则直线l的一个法向量n＝(3，4).(满足－4x＋3y＝0即可) (2)因为向量在法向量n上的投影向量m＝cos 〈，n〉， 所以|m|＝. 又因为＝(2，3)，n＝(3，4)， 所以|m|＝＝. 则点P到直线l的距离为. 学生用书第81页 学科网（北京）股份有限公司 $$