课时测评23 向量的数量积-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评23　向量的数量积 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则a·b＝(　　) A．4 B．4 C．－4 D．－4 答案：C 解析：由图形可知：|a|＝＝2，|b|＝2，〈a，b〉＝＋＝，所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝4×＝－4.故选C． 2．已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a＋λb在向量a上的投影向量为2a，则λ＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D． 答案：A 解析：向量a＋λb在向量a上的投影向量为2a，则×＝2a，即(a＋λb)·a＝2，a，b是夹角为120°的两个单位向量，则a2＋λa·b＝2，即1＋λ×1×1×(－)＝2，解得λ＝－2.故选A． 3．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝(||2－||2)，我们称为极化恒等式．已知在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝(　　) A．－16 B．16 C．－8 D．8 答案：A 解析：由题设，||＝3，||＝10，·＝·(4||2－||2)＝×(36－100)＝－16.故选A． 4．已知向量a，b满足＝1，＝2，a·b＝1，则的值为(　　) A．1 B． C．2 D．4 答案：C 解析：因为＝1，＝2，a·b＝1，所以2＝4a2－4a·b＋b2＝4－4＋4＝4，所以＝2.故选C． 5．(多选)若向量a，b满足＝＝1，＝，则下列结论正确的是(　　) A．a·b＝1 B.a与b的夹角为 C．a⊥(a－2b) D.a－b在b上的投影向量为b 答案：BC 解析：对于A，因为＝＝1，＝，所以2＝a2＋2a·b＋b2＝3，所以a·b＝，故A错误；对于B，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈，所以θ＝，故B正确；对于C，因为a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0，所以a⊥(a－2b)，故C正确；对于D，因为·b＝a·b－b2＝－，且＝1，所以a－b在b上的投影向量为－b，故D错误．故选BC． 6．已知|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－，则〈a，b〉＝__________________. 答案： 解析：因为|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－，所以cos 〈a，b〉＝＝＝－.因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝. 7．已知＝2，b在a方向上的投影向量为－3a，则a·b＝________． 答案：－12 解析：因为b在a方向上的投影向量为－3a，＝2，所以·＝－3a，即·a＝－3a，所以a·b＝－12. 8．(双空题)已知向量a，b满足＝3，＝2，a与b的夹角为60°，则a·b＝________，若⊥a，则实数m＝________． 答案：3　 3 解析：因为＝3，＝2，a与b的夹角为60°，所以a·b＝cos 60°＝3×2×＝3；因为⊥a，所以·a＝0，即a2－ma·b＝0，故9－3m＝0，得m＝3. 9．(10分)已知向量a，b满足＝，＝1，＝1. (1)求cos 〈a，b〉；(4分) (2)若＝a，＝b，求.(6分) 解：(1)因为2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋1＋2a·b＝1， 所以a·b＝－， 所以cos 〈a，b〉＝＝＝－. (2)因为＝－＝－b＋a， 所以2＝2＝b2＋a2－2b·a＝12＋2－2×＝7， 所以＝. (10—12每题5分，共15分) 10．(新角度)如图所示，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A，B是原来小正方形的其中两个顶点，Pi(i＝1，2，…，7)是小正方形的其余顶点，在所有·(i＝1，2，…，7)中，可能取值的个数为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案：D 解析：根据向量数量积的几何意义可知，·＝·＝0，·＝·＝·＝2，·＝·＝4，所以所有·(i＝1，2，…，7)中可能取值的个数为3.故选D. 11．(多选)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点(包括边界)，则·的最小值与最大值分别是(　　) A．－2 B．－6 C．4 D．6 答案：AD 解析：根据数量积的几何意义，·可以看作||和在上的投影向量的模的乘积，因为||＝2，如图可得，当点P在点F处时数量积最小，最小为2×(－1)＝－2；当点P在点C处时数量积最大，最大为2×3＝6.故选AD. 12．(多选)已知非零单位向量a和b，若a·b＝－，向量b在向量a上的投影向量为c，向量a在向量b上的投影向量为d，则下列结论正确的是(　　) A．＝ B．a·b＝a·c C．c＝b D．c·d＝－ 答案：ABD 解析：c＝cos 〈a，b〉·＝··＝－a，d＝cos〈a，b〉·＝··＝－b，对于A，＝＝，故A正确；对于B，a·c＝－a2＝－＝a·b，故B正确；对于C，c＝－a，a，b不共线，故C错误；对于D，c·d＝－a·＝a·b＝－，故D正确．故选ABD. 13．(13分)已知向量a，b为单位向量，且＝2. (1)求cos 〈a，b〉的值；(6分) (2)向量c在a上的投影数量为－2，且向量c在a－3b上的投影数量为，求b·c的值．(7分) 解：(1)因为向量a，b为单位向量，所以＝＝1， 所以2＝a2－6a·b＋9b2＝8，即a·b＝，则cos 〈a，b〉＝＝. (2)向量c在a上的投影数量为＝－2，则a·c＝－2， 又向量c在a－3b上的投影数量为＝，又＝2， 则c·＝4，所以b·c＝－2. 14．(5分)(新情境)(多选)向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁．若向量a，b满足＝＝2，＝2，则下列结论正确的是(　　) A．a·b＝－2 B．a与b的夹角为 C．< D．a－b在b上的投影向量为－b 答案：BCD 解析：因为＝2，所以2＝2＋2＋2a·b＝12，又＝＝2，所以a·b＝2，故A错误；因为cos 〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为，故B正确；＝＝＝2，所以<，故C正确；a－b在b上的投影向量为·＝·＝－b，故D正确．故选BCD. 15．(17分)如图①，小明同学发现家里的地板是正六边形木质地板组合而成的，便临摹出了家里地板的部分图形，其平面图如图②所示，其中O为正六边形ABCDEF的中心． (1)用，表示，；(7分) (2)若＝2，求·.(10分) 解：(1)如图所示， 连接OB，OF，由正六边形性质，得四边形ABOF为平行四边形， 所以＝＋. ＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝2＋2＋＝2＋2(＋)＋＝3＋4. (2)由正六边形性质，得∠BAF＝. 因为＝＋＋＝＋＋＝2－， 所以·＝·(2－)＝62＋5·－42＝62＋5cos －42＝6×4－5×2×2×－4×4＝－2. 学生用书第78页 学科网（北京）股份有限公司 $$