课时测评21 平面向量基本定理-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评21　平面向量基本定理 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知向量e1，e2是平面内的一组基，若向量a＝2e1＋3e2与b＝λe1－2e2共线，则λ的值为(　　) A．1 B．－1 C． D．－ 答案：D 解析：因为向量a＝2e1＋3e2与b＝λe1－2e2共线，所以存在唯一实数k，使a＝kb，即2e1＋3e2＝k(λe1－2e2)，所以2e1＋3e2＝kλe1－2ke2，所以解得k＝－，λ＝－.故选D. 2．(多选)已知e1，e2是平面内的一组基，则下列说法中正确的是(　　) A．若实数m，n使me1＋ne2＝0，则m＝n＝0 B.平面内任意一个向量a都可以表示成a＝me1＋ne2，其中m，n为实数 C．对于m，n∈R，me1＋ne2不一定在该平面内 D.对平面内的某一个向量a，存在两对以上实数m，n，使a＝me1＋ne2 答案：AB 解析：根据基的定义知A，B正确；对于C，对于m，n∈R，me1＋ne2在该平面内，故C错误；对于D，m，n是唯一的，故D错误．故选AB. 3．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝3DA．记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．－3m＋4n D．3m＋2n 答案：C 解析：如图所示，因为＝＋，又因为BD＝3DA，所以＝＋3＝＋3(＋)＝－3＋4，所以＝－3m＋4n.故选C． 4．如图所示，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b B.a－b C．－a＋b D.－a＋b 答案：C 解析：如图所示，由于C，D是半圆弧上的两个三等分点，连接CD，所以△AOC，△COD，△DOB是等边三角形，所以OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝CD＝BD，所以四边形OACD是菱形，四边形OBDC是菱形，所以＝＝－＝－＝－a＋b.故选C． 5．(多选)如图所示，已知P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA上靠近点A，B，C的四等分点，若＝a，＝b，则以下向量表示正确的是(　　) A．＝－a－b B．＝－a＋b C．＝－a＋b D．＝a－b 答案：BC 解析：由已知可得＝－＝b－a，故D错误；因为P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA上靠近点A，B，C的四等分点，得＝－＝－＝－a－(b－a)＝－a－b，故A错误；＝－＝－＋＝－b＋(b－a)＝－a＋b，故B正确；＝－＝－＝－a＋b，故C正确．故选BC． 6．已知a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋2e2，若以b，c为一组基，则用b与c表示a＝________． 答案：b＋c 解析：因为b，c为一组基，所以b，c不共线，从而e1，e2不共线，令a＝mb＋nc(m，n∈R)，则－e1＋3e2＝m(4e1＋2e2)＋n(－3e1＋2e2)，即－e1＋3e2＝(4m－3n)e1＋(2m＋2n)e2，所以解得所以a＝b＋c． 7．在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若＝m＋n，则m－n的值为______． 答案：－ 解析：因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，所以m＝，n＝，则m－n＝－. 8．在平行四边形ABCD中，如图，E，F依次是对角线AC上的两个三等分点，设＝a，＝b，试用a与b表示和，则＝________，＝________． 答案： a－b　－a＋b 解析：＝＋＝－＋＝－b＋(a＋b)＝a－b，＝＋＝－＋＝－a＋＝－a＋b. 9．(10分)平行四边形ABCD中，点M在AB上，且＝2，点N在上，且3＝，记＝a，＝b. (1)以a，b为基表示；(4分) (2)求证：M，N，C三点共线．(6分) 解：(1)＝＋＝＋＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b. (2)证明：因为＝＋＝a＋b， ＝a＋b， 所以＝4，所以∥，且MN，MC有公共点M，所以M，N，C三点共线． (10—12每题5分，共15分) 10．如图所示，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，E为AD的中点，F为CO的中点，若＝x＋y，则x－2y＝(　　) A．1 B．2 C． D． 答案：B 解析：因为＝－＝－＝－(－)＝－，所以x＝1，y＝－，x－2y＝2.故选B. 11．(多选)如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点，且＝3，F是AE的中点，则下列关系式正确的是(　　) A．＝－＋ B．＝＋ C．＝－－ D．＝－＋ 答案：ABC 解析：对于A，因为＝＋＋＝－＋＋＝－＋，因为＝3，所以＝＝＝－＋，故A正确；对于B，因为＝＝(＋)，而＝－＋，代入可得，＝(－＋)＝＋，故B正确；对于C，因为＝＋＋＝－－＋，而＝＋，代入得，＝－－，故C正确；对于D，因为＝－，而＝＋，所以＝－＋，故D不正确．故选ABC． 12．(开放题)已知非零向量a＝x，b＝e1＋ye2，其中e1，e2是一组不共线的向量．能使得a与b的方向相反的一组实数x，y的值为x＝________，y＝________． 答案：－1(不唯一)　1 解析：设a＝λb(λ<0)，则有x＝λ(e1＋ye2)，即xe1＋xe2＝λe1＋λye2，所以所以x＝xy(x<0)，解得x<0，y＝1，取x＝－1，y＝1.故答案为：－1(不唯一)，1. 13．(13分)如图所示，△ABC中，AQ为边BC的中线，＝t，＝x，＝λ，＝μ，其中t>0，x>0，λ>0，μ>0. (1)当t＝时，用向量，表示；(6分) (2)证明：＋为定值．(7分) 解：(1)当t＝时，＝， 因为AQ为边BC的中线， 所以＝＋＝＋ ＝＋＝＋， 所以＝＋. (2)证明：由(1)可知＝＋， 所以＝t＝. 而＝x，＝λ，＝μ， 所以＝－＝x－x， 即－λ＝xμ－xλ， 整理可得＝. 而，是不共线向量， 所以－λ＋xλ＝xμ－＝0⇒ 两式相加可得＋＝2，是定值，证毕． 14．(5分)(新情境)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中利用“赵爽弦图”巧妙的证明了勾股定理，该图形是以弦为边长得到的正方形，由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若＝3，＝3，则＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由＝3，知＝3，＝3.所以＝3＝3＝－＝－－＝－＝－＝＋－×＝＋－，所以＝＋，所以＝＋，则λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝＋＝.故选A． 15．(17分)(新定义)已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ)”．此结论往往称为向量的爪子模型． (1)给出这个结论的证明；(7分) (2)在△OAB的边OA，OB上分别取点E，F，使＝，＝，连接BE，AF交于点G.设＝a，＝b.利用上述结论，求出用a，b表示向量的表达式．(10分) 解：(1)证明：先证充分性．若＝λ＋(1－λ)， 则＝λ(－)＋，－＝λ(－)， 即＝λ，所以∥，又直线NP与NM有公共点N，故M，P，N三点共线． 再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数λ，使得＝λ， 即－＝λ(－)，＝λ(－)＋， 故＝λ＋(1－λ). 综上知，结论成立． (2)利用A，G，F和B，G，E共线的充要条件，存在实数λ，μ使得＝λa＋(1－λ)＝μ＋(1－μ)b， 则解得 故＝a＋b. 学科网（北京）股份有限公司 $$