课时测评12 探究A对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评12　探究A对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．某同学利用“五点法”画函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x y＝A sin (ωx＋φ) 0 2 0 －2 0 请你根据已有信息推算A，ω，φ的值依次为(　　) A．2，2，－ B．2，2， C．2，π，－ D．2，2， 答案：D 解析：由已知得A＝2，解得故选D． 2．(2024·浙江杭州高一期末)将函数f(x)＝sin x的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin C．g(x)＝sin D．g(x)＝sin 答案：C 解析：函数f(x)＝sin x的图象向左平移个单位长度，得函数y＝sin 的图象，再将图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)＝sin 的图象．故选C． 3．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D 解析：因为直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，所以＝－＝，则T＝π，且ω>0，ω＝＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ)，当x＝时，f取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，则f＝sin ，则f＝sin (－)＝.故选D． 4．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图所示，则有(　　) A．ω＝3，φ＝ B．ω＝3，φ＝－ C．ω＝6，φ＝－ D．ω＝6，φ＝ 答案：A 解析：T＝＝4×＝，所以ω＝3.由题图知，3×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜π，所以φ＝.故选A． 5．(多选)已知函数f(x)＝2cos (ω>0)的最小正周期为π，则下列结论正确的是(　　) A．ω＝2 B．f(x)的图象在区间上存在对称轴 C．f(x)在区间上单调递增 D．将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到f(x)的图象 答案：AB 解析：由T＝π，得ω＝＝2，故A正确；令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，当k＝1时，x＝，所以x＝是f(x)图象的一条对称轴，故B正确；当x∈时，2x＋∈，余弦函数在此区间不单调，故C错误；将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后的解析式为y＝2sin [2(x＋)]＝2sin ＝2cos (2x－)，故D错误．故选AB． 6．函数y＝－2sin ＋1的最大值为________，取得最大值时x＝________________． 答案：3　－＋kπ，k∈Z 解析：ymax＝－2×(－1)＋1＝3，令2x－＝－＋2kπ，k∈Z，解得x＝－＋kπ，k∈Z. 7．若把函数y＝sin 2x图象上各点向右平移个单位长度，再把它们的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标也缩短到原来的一半，则所得的曲线对应的函数解析式为________________． 答案：y＝sin 解析：由题意知，函数y＝sin 2x图象上各点向右平移个单位长度后，函数解析式为y＝sin [2(x－)]＝sin ，再把它们的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标也缩短到原来的一半后，所得曲线对应的函数解析式为y＝sin . 8．把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f的图象，则当x∈时，f的取值范围为________． 答案： 解析：y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得y＝f(x)＝sin (x＋)，x∈，则x＋∈，故f∈. 9．(10分)已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式；(4分) (2)将f(x)的图象向右平移2个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象．求函数y＝g(x)(x∈[－2，1])的值域．(6分) 解：(1)由图知，A＝2，＝2×， 解得ω＝，即f＝2cos . 由图知，函数f的图象过点， 所以＋φ＝π＋2kπ， 因为0<φ<π，所以φ＝， 所以f＝2cos . (2)由题意得，g＝2cos＝－2sin. 因为x∈，所以∈， 所以g(x)∈[－，2]， 即函数y＝g的值域为[－，2]. (10—12每题5分，共15分) 10．已知函数f＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，<)的部分图象如图所示，为了得到函数g(x)＝A sin ωx的图象，只需要将y＝f的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案：D 解析：由图象知，A＝2，T＝－＝，所以T＝π，即ω＝＝2，由图可知，2sin ＝2，所以＋φ＝＋2kπ，所以φ＝＋2kπ，又<，所以φ＝，所以f＝2sin (2x＋)＝2sin ，所以f向右平移个单位长度可得函数g＝A sin ωx.故选D． 11．(多选)已知函数f(x)＝sin ，g(x)＝cos (2x－)，以下四种变换方式能得到函数g(x)的图象的是(　　) A．将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度 B．将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度 C．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 D．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 答案：BC 解析：g(x)＝cos ＝cos ＝sin ，由三角函数图象间的变换规律知：若先平移后伸缩，将函数f(x)＝sin 的图象向左平移个单位长度，得到函数h(x)＝sin (x＋)的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数g(x)＝sin ＝cos (2x－)的图象，故C正确；若先伸缩后平移，将函数f(x)＝sin 图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数m(x)＝sin 的图象，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin ＝sin ＝cos 的图象，故B正确．故选BC． 12．(新角度)(多选)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)，现有如下四个命题： 甲：该函数的最小值为－；乙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π；丙：该函数的一个零点为；丁：该函数图象可以由y＝sin 的图象平移得到．如果有且只有一个假命题，那么下列说法正确的是(　　) A．乙一定是假命题 B．φ的值可唯一确定 C．函数f(x)图象的一条对称轴为x＝ D．函数f(x)的图象可以由y＝cos 的图象伸缩变换得到 答案：BCD 解析：若甲命题正确，则A＝.若乙命题正确，则最小正周期T＝2π＝，又ω>0，则ω＝1.若丙命题正确，则A sin ＝0，即＋φ＝kπ，k∈Z.若丁命题正确，函数图象可以由y＝sin (2x＋)的图象平移得到，则A＝，ω＝2.故命题乙与命题丁矛盾．由甲、乙、丙、丁有且只有一个假命题可知，命题甲与命题丙均为真命题，命题乙与命题丁一真一假．若命题乙为真命题，则ω＝1，由＋φ＝kπ，k∈Z，0<φ<，可得φ＝，此时f(x)＝sin (x＋)；若命题丁为真命题，则ω＝2，由＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z，又0<φ<，则不存在符合条件的φ，不合题意．综上，命题丁为假命题，命题甲、乙、丙均为真命题，f(x)＝sin (x＋).故A错误，B正确．由x＋＝kπ＋，k∈Z，得函数f(x)图象的对称轴为x＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，故C正确．由y＝cos (x－)＝sin 可知，把y＝cos (x－)的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标保持不变，可以得到f(x)＝sin 的图象，故D正确．故选BCD． 13．(13分)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示． (1)求ω的值；(6分) (2)从下列两个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，并求函数f(x)在[0，]上的最大值和最小值．(7分) 条件①：函数f(x＋)是奇函数； 条件②：将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝sin ωx的图象． 解：(1)由题意知＝，即T＝π， 因为ω>0，所以＝π，解得ω＝2. (2)选择条件①：函数f(x＋)是奇函数， 则f(x＋)＝sin [2(x＋)＋φ]＝sin (2x＋＋φ)， 因为函数f(x＋)是奇函数，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)， 因为φ∈(0，)，所以φ＝， 于是，f(x)＝sin (2x＋)， 因为0≤x≤，所以≤2x＋≤， 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值为1. 当2x＋＝，即x＝时， f(x)取得最小值为－； 选择条件②：将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝sin ωx的图象， y＝sin [2(x－)＋φ]＝sin (2x－＋φ)，因为其图象与y＝sin 2x的图象相同，所以－＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z， 因为φ∈(0，)，所以φ＝， 于是，f(x)＝sin (2x＋)， 因为0≤x≤，所以≤2x＋≤， 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值为1. 当2x＋＝，即x＝时， f(x)取得最小值为－. 14．(5分)(多选)已知函数f＝sin (<)，直线x＝为f图象的一条对称轴，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(　　) A．f的最小正周期为π B．φ＝－ C．f的图象关于点对称 D．g的图象关于点对称 答案：ABD 解析：由于直线x＝为f图象的一条对称轴，所以2×＋φ＝kπ＋，φ＝kπ－，k∈Z，由于<，所以φ＝－，故B正确；则f＝sin (2x－)，f的最小正周期为＝π，故A正确；f(－)＝sin ＝sin ＝－1，故C错误；将f的图象向左平移个单位长度后得到函数g＝sin ＝sin 2x的图象．g()＝sin ＝sin π＝0，g的图象关于点对称，故D正确．故选ABD． 15．(17分)已知函数g＝sin x，将g的图象上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，然后再将所得函数图象向左平移个单位长度后得到函数f的图象． (1)求f的解析式；(7分) (2)方程f－2n＋1＝0在上有且只有两个解，求实数n的取值范围．(10分) 解：(1)已知函数g＝sin x，将g(x)的图象上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，可得函数y＝2sin 2x的图象， 再将所得函数y＝2sin 2x图象向左平移个单位长度后可得到函数f＝2sin [2(x＋)]＝2sin . 所以f的解析式为f＝2sin . (2)方程f－2n＋1＝0在上有且只有两个解，即函数y＝f与函数y＝2n－1在x∈上有且只有两个交点． f＝2sin 在上的图象如图所示， 则y＝f在上单调递增且取值范围是[，2]， 在上单调递减且取值范围是， 由图象可知，函数y＝f与函数y＝2n－1有且只有两个交点， 所以≤2n－1<2，解得≤n<， 即实数n的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$