课时测评5 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评5　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．函数y＝－cos x在区间上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 答案：C 解析：因为y＝cos x在区间上先增后减，所以y＝－cos x在区间上先减后增．故选C． 2．y＝3cos α，α∈(－，]的最大值与最小值分别为(　　) A．3，－3 B．3，－ C．3， D．3，－ 答案：A 解析：如图所示，当α＝0时，ymax＝3×1＝3，当α＝π时，ymin＝3×(－1)＝－3.故选A． 3．(多选)如果cos θ<0，则θ可能是(　　) A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 答案：BC 解析：根据余弦函数的定义，cos θ＝，其中r>0，所以cos θ＝<0，即x<0，所以在象限角中，θ可能是第二象限或第三象限的角．故选BC． 4．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为(　　) A．ymax＝3，x＝ B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z) C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z) D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z) 答案：C 解析：因为y＝2－sin x，所以当sin x＝－1时，ymax＝3，此时x＝－＋2kπ(k∈Z).故选C． 5．(多选)函数y＝sin x在区间[，]上的单调递增区间和最大值分别为(　　) A． B． C．1 D． 答案：AC 解析：在单位圆中作出角，的终边，如图所示，则y＝sin x的单调递增区间为，且最大值为1.故选AC． 6．y＝3sin x，x∈的值域为____________． 答案： 解析：借助单位圆可知，函数f(x)＝sin x，x∈在x＝处取得最大值1，在x＝－和x＝处同时取得最小值－，即－≤sin x≤1，所以－≤3sin x≤3，即值域为. 7．函数y＝的定义域为________________． 答案： 解析：要使函数有意义，则－cos α≥0，即cos α≤，如图所示，角α的终边需落在阴影部分(包括边界)，所以函数的定义域为{α＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}． 8．函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是________． 答案：(－π，0] 解析：因为y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以只有－π<a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]. 9．(10分)已知f(x)＝－sin x. (1)试写出f(x)的单调区间；(4分) (2)若f(x)在上单调递减，求实数a的取值范围．(6分) 解：(1)因为f(x)＝－sin x， 根据正弦函数y＝sin x的单调性可知，f(x)的单调递减区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)， 单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z). (2)因为f(x)在上单调递减， 所以⊆，即－<a≤. 所以实数a的取值范围为. (10—12每题5分，共15分) 10．若x是△ABC中的最小内角，则y＝sin x的值域为(　　) A．[－1，1] B．(0，1] C． D． 答案：C 解析：在△ABC中，可知A＋B＋C＝π，因为x是△ABC中的最小内角，所以3x≤π，可得0<x≤，又由函数y＝sin x在区间上单调递增，且sin 0＝0，sin ＝，所以sin x∈，即函数y＝sin x的值域为.故选C． 11．(多选)下列说法正确的是(　　) A．y＝|sin x|的定义域为R B．y＝3sin x＋1的最小值为1 C．y＝－sin x为周期函数 D．y＝sin x－1的单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z) 答案：AC 解析：对于B，y＝3sin x＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于D，y＝sin x－1的单调递增区间为，k∈Z，故B，D错误，易知A，C正确． 12．(开放题)写出一个同时具有下列性质①②的函数f＝________．(注：f不是常函数) ①f＝；②f＝f. 答案：sin x＋(答案不唯一) 解析：由f＝f知函数的一个周期是2π，则f＝sin x＋满足条件②.因为f＝sin 0＋＝，所以f＝sin x＋满足条件①. 13．(13分)已知点P在第一象限，α在[0，2π)内，求α的取值范围． 解：因为点P(sin α－cos α，)在第一象限， 所以 即α的终边在第一象限或第三象限，且sin α>cos α， 如图所示，由三角函数的定义知，当α∈[0，2π)时，α∈∪. 14．(5分)(多选)函数y＝sin x和y＝cos x具有相同单调性的区间是(　　) A． B． C． D． 答案：BD 解析：对于A，y＝sin x在上单调递增，y＝cos x在上单调递减，所以A不符合题意；对于B，y＝sin x在上单调递减，y＝cos x在上单调递减，所以B符合题意；对于C，y＝sin x在上单调递减，y＝cos x在上单调递增，所以C不符合题意；对于D，y＝sin x在上单调递增，y＝cos x在上单调递增，所以D符合题意．故选BD． 15．(17分)(一题多问)已知函数f(x)＝. (1)判定函数f(x)是否为周期函数；(4分) (2)求函数f(x)的单调递增区间；(5分) (3)当x∈时，求f(x)的值域．(8分) 解：(1)函数f(x)的定义域是R. 因为f(x＋2π)＝＝＝f(x)，所以f(x)是周期函数． (2)由正弦函数的基本性质，可知在区间[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上，函数y＝sin x单调递增，而此时函数h(x)＝2－sin x单调递减且h(x)值域为[1，3]，从而可知此时函数f(x)单调递增， 故可知函数f(x)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z). (3)设t＝sin x，则t∈， 所以1≤2－t<，则<≤1. 故f(x)的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$