课时测评1 周期变化-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评1　周期变化 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．(多选)下列现象是周期现象的是(　　) A．日出日落 B．潮汐 C．海啸 D．地震 答案：AB 解析：A，B是周期现象，C，D不是周期现象．故选AB． 2．已知定义在R上的函数f，且f＝f，当x∈时，f＝2x2，则f＝(　　) A．－2 B．2 C．－98 D．98 答案：B 解析：函数满足f＝f，则函数的周期为2，则f＝f＝f＝2×12＝2.故选B． 3．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在(　　) A．8点处 B．10点处 C．11点处 D．12点处 答案：B 解析：一个周期是60分钟，则100分钟是1个周期，2＋12×＝10，故100分钟后分针指在10点处．故选B． 4．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置，在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是(　　) A．点A处 B．点B处 C．O、A之间 D．O、B之间 答案：D 解析：钟摆的周期T＝1.8秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又<0.6<，所以经过1分钟后，钟摆在O、B之间．故选D． 5．(多选)若定义在R上的函数f(x)分别满足下列条件，其中可以得出f(x)的周期为2的有(　　) A．f(x)＝f(x－2) B．f(x＋2)＝f(x－2) C．f(－x)＝f(x＋2) D．f(x－1)＝f(x＋1) 答案：AD 解析：由周期函数的定义知，选项A的周期为2，选项B的周期为4，选项D的周期为2，选项C不满足周期性．故选AD． 6．如图所示，变量y与时间t(s)的图象如图所示，则时间t至少隔________s时，y＝1会重复出现1次． 答案：2 解析：由图象可知：3－1＝2(s)，所以至少隔2 s时，y＝1会重复出现1次． 7．已知函数f是定义在R上的周期为3的奇函数，若f＝2，则f＋f＝________． 答案：－2 解析：由题意知f＝f＝f(－1)＝－f＝－2，f＝0，所以f＋f(0)＝－2＋0＝－2. 8．如图所示的弹簧振子在A，B之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过M，N两点，经历的时间为t1＝1 s，过N点后，再经过t2＝1 s后第一次反向通过N点，振子在这2 s内共通过了8 cm的路程，则振子的振动周期T＝________s． 答案：4 解析：设振子的振动周期为T，则振子由平衡位置O点运动到B点的时间为，而振子以相同的速度通过M，N两点经历的时间为t1＝1 s，则O点到N点的时间为，又向右经N—B—N的时间为t2＝1 s，则N点到B点的时间为，所以＝＋＝＋＝1，所以T＝4 s． 9．(10分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数有f(x＋1)＝f(1－x)成立． (1)证明：f(x)是周期为4的函数；(4分) (2)若f(x)＝(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．(6分) 解：(1)证明：由f(x＋1)＝f(1－x)可得f(－x)＝f(x＋2). 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 有f(－x)＝－f(x)，故f(x＋2)＝－f(x)， 从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的函数． (2)由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0， x∈[－1，0)时，－x∈(0，1]，f(x)＝－f(－x)＝－， 故x∈[－1，0]时，f(x)＝－. 当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1，0]， f(x)＝f(x＋4)＝－， 从而x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式为f(x)＝－. (10—12每题5分，共15分) 10．若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向．如图所示，月相变化的周期为29.5天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图).则月球绕地球一周所用的时间T为(　　) A．24.5天 B．29.5天 C．28.5天 D．24天 答案：B 解析：由题图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月地日一条线重新回到月地日一条线，完成一个周期．故选B． 11．设定义在R上的函数f满足f＝f，且当x∈时，f＝2x－x2，则f＋f(1)＋f(2)＋…＋f＝________． 答案：1 012 解析：因为f＝f，所以函数f的周期T＝2.因为当x∈时，f＝2x－x2，所以f＝0，f＝1，所以f＝f＝f＝…＝f＝f＝0，f＝f＝f(5)＝…＝f＝1.故f＋f(1)＋f(2)＋…＋f＝1 012. 12．如图所示，一个质点在平衡位置点O附近摆动，如果不计阻力，可将这个摆动看作周期运动．它离开点O向左运动，4 s后第1次经过点M，再过2 s第2次经过点M，则该质点的运动周期为________s． 答案： 解析：质点运动轨迹为O→A→O→M→B→M，共用了6 s．其中从O→A→O→B共用了5 s，即个周期，所以该质点的运动周期为5÷＝ (s). 13．(13分)函数f是周期为2的周期函数，且f(x)＝x2，x∈[－1，1]. (1)画出函数f在区间[－2，2]上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值；(3分) (2)求f的值；(4分) (3)求f在区间[2n－1，2n＋1]上的解析式，其中n∈Z.(6分) 解：(1)由f的周期性及x∈上的解析式，得区间[－2，2]上的图象如图： 由图可知：增区间为[－2，－1)，[0，1)，减区间为[－1，0)，[1，2]； 零点为x＝－2，0，2共3个；最大值为1，最小值为0. (2)由题设f＝f(8－0.5)＝f(－0.5)＝(－0.5)2＝0.25. (3)令x∈⇒x－2n∈[－1，1]且n∈Z，则f＝(x－2n)2， 又f＝f(x)，则f(x)＝f，即f(x)＝(x－2n)2， 综上，在区间上f＝(x－2n)2，n∈Z. 14．(5分)(新角度)有下面两个命题： ①若y＝f(x)是周期函数，则y＝f(f(x))是周期函数； ②若y＝f(f(x))是周期函数，则y＝f(x)是周期函数． 则下列说法中正确的是(　　) A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 答案：B 解析：若y＝f(x)是周期函数，设周期为T，则f(x＋T)＝f(x)，则f(f(x＋T))＝f(f(x))也是周期函数，故①正确；若y＝f(f(x))是周期函数，设周期为T，则f(f(x＋T))＝f(f(x))，f(x＋T)＝f(x)不一定成立，故②错误．故选B． 15．(17分)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P(x，y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y＝f，画出点P的运动轨迹，并讨论y＝f是否为周期函数．如果是，指出周期；如果不是，请说明理由． 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动． 解：假设A落在x轴上时开始计时，下一次A落在x轴上，过程中四个顶点依次落在了x轴上， 而相邻两个顶点距离为正方形边长，即为1， 因此该函数周期为4. 若正方形向右滚动时，P点运动情况： 首先以A为圆心，正方形边长为半径运动个圆， 然后以B为圆心，正方形对角线长为半径运动个圆， 最后以C为圆心，正方形边长为半径运动个圆，最终运动轨迹如下曲线： 由图知：y＝f是周期为4的函数． 学生用书第4页 学科网（北京）股份有限公司 $$