第1章 1-3 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

对于D,-85一-5兴019放D正疏 3.B解析：因为相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，所 4 4(l(2)-75解折：(0因为1P=两叫，所以1 以当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，小轮此时转动 20 24T 12时：智l(2因为1n:lg 二（周）.即小轮转动的角度为}号×2m- 5 4.B解析：不妨设正方形EFGH的边长为a,则AB=a+2a+5a=16,解 180°=-75 T 得a=2,所以图中斐波那契螺旋线的长度为号×(u+a+2a+3a+5a) 5.8<ac0解折：因为B=石×1s0=30,0=2x180 6ma=12m. ≈2×57.3°= 6 T T 114.6°，所以B<a<0. 9 解折：20230=202.5,20230化为弧度为202-5元-9▣ 180T=8 6.D解析：2025°用弧度制可表示为12m3π，所以与2025°角的终边 41 6.①③解析：因为-+2·2m=4T,所以0正确，令=0，可得 4 ②正确：令k=-1.可得③正确.故答案为①②③. 相同的角构成的集合为a=-年+2km,keZ 7.73 2,所以角a是第三象限角。 解析：莱洛三角形的周长为号，可得弧长丽=风=元=名 7.C解析：因为-m<-2<- 8.7行解析：由角a(0a<2m)的终边与角的终边重合，可得a 17 则等边三角形的边长AB=BC=AC= E分=2分别以点A,B,C为圆 -4T+2m(k∈Z).又0<a<2m,当k=3时，a=- 17 7 3 4m+2x3m=4, 符合. 心，圆孤4，BC,4C所对的扇形面积均为×石×寸云 1 9.B解析：因为扇形的半径为2，圆心角为牙，故该扇形的面积为S 如图，过点C作CD⊥AB于点D,则在等边△ABC 4,所以△ABC的面积S=Lx1x3 中，CD= 2x2x4 3 10.BC解析：设扇形的半径为R,因为扇形的弧长l=2π，面积S=14T, 16 所以莱洛三角形的面积是3×24 2× 得S=14m=2×2m,得R=14,B正确：则扇形的圆心角a= R 3-5 168 行牙，c正瑰 8.解：(1)由k=4n,4n+1,4n+2,4n+3(n∈Z),可知在给定的角的集合 四重难点拨 中终边不相同的角共有四种. 1.应用弧度制解决问题的方法： (2冷-60≤k:90+45≤360，得-号≤k≤子又6eZ,放= (1)利用扇形的弧长公式和面积公式解题时，要注意角的单位必须 -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,所以在给定的角的集合中，在-360°~360 是弧度； 范围内的角共有8个。 (2)求扇形面积的最大值问题时，常转化为二次函数的最值问题， (3)给定的角的集合中，第三象限角为B1B=k·360°+225°，k∈Z}. 利用配方法使问题得到解决 9.解：(1)S= 2R2=4m2x=2则L=2R+=2R+8 1 2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、瓢长三个量中的任 R21 意两个量. R=2R+ 8 §1-§3阶段综合 R 8 黑题 阶段强化 由装本不等式可得28=22R·名=8，当且仅当2R=即 1.ABD解析：对于A,终边经过点(a,a)(a≠0)的角的终边在第 一和 8 R=2时等号成立.此时a=2-2 第三象限的角平分线上，放角的集合是{0a=年6e, ∴，当a=2rad时，L最小，最小值为8cm 故A正确； 对于B,圆的一条弦长等于半径，即弦、半径围成的三角形是等边三 (2):L=2R+aR=10cme-10-23 R 角形，则圆心角为号放B正确： 对于C,因为：是第三象限角，即26m+m<a<2km+3 三即a=2时.空 25 2 ,keZ,所 以6<分+行eZ当长为奇数时，受是第四象限角：当 当a=2rad时，S最大，最大值为2cm2 为偶数时，号是第二象限角；4hm+2m<2x<4m+3m,keZ,所以2a的 10.解：由已知，在扇形ABA,中，圆心角恰为2，弧长1=分·AB= 终边位置在第一或第二象限或y轴非负半轴上，故C错误； 对于D,M={xlx=30°+k·60°，k∈Z=x|x=(2h+1)·30°，k∈ 6可，职宁子6分受4 1π 2 Z},N={yly=60°+k·30°，k∈Z}={yly=(2+k)·30°，k∈Z},易 知MCN,故D正确. 在扇形A4,中，圆心角也为号弧长6=受·A,G=号1：受 2.C解析：在-180°~180°间阴影部分区域的两条边界终边表示的角 分别为-45°，120°，所以阴影部分的区域在-180°~180间的范围是 4 -45°≤≤120°，所以终边在阴影部分（含边界）的角的集合为α -45°+k·360°≤a≤120°+k·360°，k∈Z}. 在形6D,中，圆心角为年受石号延长么=号·6D 必修第二册·BS黑白题002 33 5.A解析：①若a是三角形的内角，则0°<<180°，所以sin>0,故充 21 分性成立： T,√3π(9+25)T ②若sina>0,可得角a的终边在第一、二象限或y轴非负半轴上， 所以点A走过的路程长=(++4=π+2+3 6 则k·360°<<180°+k·360°，(k∈Z),故必要性不成立. 综上所述，“a是三角形的内角”是“sin>0”的充分不必要条件. 点A走过的弧所在的扇形的总面积S=S,+S2+S3=π+ ，T7T 424 :6.C解析：因为sina<0,则a的终边在第三，四象限或y轴非正半轴 压轴挑战 上，因为cosa<0,则：的终边在第二、三象限或x轴非正半轴上，因 此α：的终边所在象限为第三象限. B解析：由题意，点集D所表示的图形如图，△ABC是边长为4的等边 三角形，其中AE⊥AC,AD⊥AB,GM⊥AC, D 7.B解析：因为元=314，所以7<2<3<，所以2>0，s3< HN LAC,AD=AE=GM=HIN=1, 0,sin 2cos 3<0. 因为∠DMB=2m-2233,AD=l, 8.A解析：因为sin0cos0>0,且1cos01=cos0,所以sin0>0,cos0>0, 所以角0是第一象限角， 12T 所以扇形ADE的面积为S扇形A=2×3 9(2） 解析：因为P(sin0,cos0)在第二象限，所以 12=T 3 {则0在第四象限又0e(0,2m),所以0e(?,2m） cos 0>0. 因为∠GAM=石，GM=1,所以AM=5,所以△AMG的面积为Sac= 10,A解标：由特殊角三角两数值可得，原式-号×（子） 2xw5x1=2 又MN=AC-2AM=4-23,所以长方形MNHG的面积为S长方形MNHG= 1111111 （-1)+2x3 +7x0=5+2 (4-2w3)×1=4-25. 又长方形AEFC的面积为S长方形Fc=4x1=4,点集D=PId(P,C)≤1}所表 11.B解析：由0=得=血名但9=子0可能为 示的图形面积S=3S扇形ADE+3S长方形ABFC+3S长方形MNHG+6S△AwG=T+12+ 12-63+33=24-3W/3+m. 不一定有9=石，所以0=石是血0=}的充分不必要 6 6 条件. §4正弦函数和余弦函数的概念及其性质 12. 5 解析：点r(=1）,即r(子1)低题意oma 4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 白题 基础过关 2 25 1A解标：已知点P(行)可得=√（）+()： 5 4 4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 1,由三角函数定义如a=￥，可得snc= 5 4 51 白题 基础过关 2.BD解析：若角a的终边上有一点P(a,-3a)(a≠0)， 1.B解析：由sinx≠0，得x≠kr(k∈Z),故选B. a √10 2.C解析：当simx等于-1时，y=1-sinx有最大值2. 当a>0时，cosa= √a2+(-3a)2 10lal 10,sin a= 3.A解析：令1=sinx,1∈[-1,1]，则y=2+t-1,对称轴为直线1= -3a -10,此时sna-2asa=-3V -3a-3√10 -2× 之[-1，小，所以当=-子时，y=2+-1取到最小值，最小值 2 √a2+(-3a)7101al 10 0.0 10 2 a 当a<0时，cosa=- -0 4.A解析：若a>0,则0+6=L, {a=2,所以g()=-2inx+3≤5 {-a+b=-3→{6=-1， a2+(-3a)2 10lal 10,sin a= (当sinx=-1时取“=”)； -3a310 Vc+(-3a)71o1al=10,此时sina-2sa= -3a 310 -2× 若a<0,则a6-a=-2,所以g()=2sn+3≤5（当mx=1 a+6=-3→6=-i, 10 时取“=”) (） 综上可知，g(x)的最大值为5. 2 3+c0sx_c0sx-1+4 5.1解析：y=1-c0s元1-c0s元 -1+4 ，因为-1≤0sx≤1，分 3A解析：因为--8，所以角a的终边与于的终边重合 1-cosx 4 母不为0，期01-2.期4≥2，得1，故函数y 3+cosx 因为单位圆的半径为山，则=m(?）=三， 1-cos x 2, 的最小值为1. 如(）号 四方法总结 求解y=a+cs(bd≠0)型面数的值城时，一般采用分离常数法， 4.-子或-1解析：由三角函数定义s0=其，可得s0= c+dcos x 化为只有分母中含有cosx的函数，然后利用cosx的范围，求得 2示专解得=0或=5废：-5，所以， 值域 6.C解析：c0s1530°=c0s(360×4+90°)=c0s90°=0. +(2=3或2.故m0=号或-1 1.A解析：20s后点P顺时针方向转了×20=10 3m=2m+ 行因为起 参考答案黑白题003§1-§3阶段综合 子错题本 黑题 阶段强化 限时：45min 1.*（多选)下列结论中正确的是 ( ）4.*★(2025·江西上饶高一月考)斐波那契螺 A.终边经过点(a,a)(a≠0)的角的集合 旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它 是aa=+m,keZ 的画法是：以斐波那契数1,1,2,3,5,8，…为 边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正 B.圆的一条弦长等于半径，则这条弦对的圆 方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧 所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如图， 心角是写 矩形ABCD是由若干符合上述特点的正方形 拼接而成，其中AB=16,则图中的斐波那契螺 C.若α是第三象限角，则g是第二象限角，2a 2 旋线的长度为 为第一或第二象限角 A.11m B.12m C.15m D.16m D.M={xlx=30°+k·60°，k∈Z},N={yly= 60+k·30°，k∈Z,则MCN 2.(2025·江西赣州高一月考)如图，终边 在阴影部分（含边界）的角的集合是( (第4题) (第7题) 5.*★(2025·陕西渭南高一月考)角度20230'化 成弧度为 6.*设与 11π终边相同的角的集合为M,则 4 下列命题中正确的有 .(填序号) A.{l-45°≤≤120°} ①DM三=2kT+4,k∈☑ B.{a|120°≤a≤315°} ②M中最小正角是5π， C.{al-45+h·360°≤a≤120+h·360°，k∈Z} D.{al120°+k·360°≤≤315°+k·360°，k∈Z} ③1中最大负角是3 3.*(2025·湖北武汉高一期末)已知相互啮 7.*★(2025·山东济宁高一月考)数学中处处 合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当 存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感 大轮转动一周时，小轮转动的角度（孤度）是 莱洛三角形的画法如下：先画等边三角 形ABC,再分别以点A,B,C为圆心，线段AB 12T 24T 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所 A. B. 5 5 36π 48m 示).若莱洛三角形的周长为，则其面 C. D. 5 5 积是 必修第二册·BS黑白题004 8.*(2025·江西赣州高一月考)已知集合10.整(2025·河南南阳高一月考)如图，一个 {xla=k·90°+45°，keZ}. 长为3，宽为1的长方体木块在桌面上做无 (1)该集合中有几种终边不相同的角？ 滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡 (2)该集合中有几个在-360°~360°范围内 的角？ 住，使长方体木块底面与桌面所成角为石，试 (3)写出该集合中的第三象限角. 求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形 的总面积（圆心角为正） 9.禁已知一扇形的圆心角为α(>0)，半径为 R,面积为S,周长为L (1)若S=4cm2,则扇形圆心角a为多少弧度 时，L最小？并求出L的最小值 (2)若L=10cm,则扇形圆心角α为多少弧度 时，S最大？并求出S的最大值 压轴挑战 熱(2025·重庆八中高一月考)已 知平面上的线段1及点P,任取1上 视频讲解 的一点Q,线段PQ长度的最小值称 为点P到线段l的距离，记作d(P,),若曲线C 是边长为4的等边三角形，则点集D={P1 d(P,C)≤1}所表示的图形面积为 () A.36-3√3+T B.24-33+T C.36-3√3 D.24+T 第一章黑白题005