1.1 周期变化-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦三角函数中周期变化这一核心知识点，从实际周期现象（如日出日落、钟表运动）入手，逐步抽象出周期函数、周期及最小正周期的概念，通过基础训练与题型分类（判断周期现象、函数周期、利用周期求值）搭建从具体到抽象的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，以“微点助解”细化概念要点，结合世界杯举办、潮汐等实例培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过证明函数周期等问题发展数学思维的推理能力。课中助力教师分层授课，课后通过针对训练帮助学生巩固概念、查漏补缺，提升用数学语言表达周期问题的能力。

　三 角 函 数 　　　　　　　　　§1　周期变化 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解周期变化,能判断简单实际问题中的周期变化. 2.初步了解周期函数、周期、最小正周期的概念,能判断简单的函数的周期. 1.周期函数 一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x+T∈D,且满足f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期. |微|点|助|解| (1)周期T是一个非零常数,是使函数值重复出现的自变量x的增加量. (2)周期函数的周期不是唯一的,如果T是函数f(x)的周期,那么nT(n∈N+)也一定是它的周期. (3)不是所有的周期函数都有最小正周期,如函数f(x)=1是周期函数,但无最小正周期. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“春去春又回”是周期现象. (　　) (2)某同学每天上数学课的时间是周期现象. (　　) (3)钟表上分针的运动是一个周期现象,其周期为60分钟. (　　) (4)由f(-3+6)=f(-3),可得f(x)的周期为6. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.如果钟摆每经过2 s就回到竖直状态,则每经过__________s可以再回到最左边位置.  解析:回到竖直状态的时间间隔为2 s,即半个周期,而再回到最左边位置的间隔时间,也就是一个周期,所以是4 s. 答案:4 3.已知函数f(x)是周期函数,10是f(x)的一个周期,且f(2)=,则f(22)=__________.  解析:f(22)=f(22-20)=f(2)=. 答案: 题型(一)　周期变化的现象 [例1]　判断下列现象是不是周期现象: (1)每届世界杯的举办时间; (2)北京天安门广场的国旗,日出时升旗,日落时降旗,则其每天的升旗时间; (3)中央电视台每晚7:00的新闻联播. 解:(1)世界杯每4年一届,所以其举办时间是周期现象. (2)北京每天的日出、日落随节气变化而变化,并非恒定,相邻两天的升旗时间间隔是变化的,不是常数,所以不是周期现象. (3)每24小时,新闻联播播出一次,所以是周期现象. 　　|思|维|建|模| 　　 判断周期现象的关键点 首先要认真审题,明确题目的实际背景,然后牢牢抓住“间隔相同,现象(或值)重复出现”这一重要特征.常用方法有: (1)根据我们熟知的自然规律、生活常识等判断; (2)将问题涉及变量的值列在表格中分析判断; (3)将问题涉及的数据用散点图表示出来观察判断. 　 　　[针对训练] 1.[多选]下列现象是周期现象的是 (　　) A.日出日落 B.潮汐 C.海啸 D.地震 解析:选AB　每天日出日落,周期为一天;潮汐是指海水在天体(主要是月球和太阳)引潮力作用下所产生的周期性运动;而海啸和地震是随机现象. 2.钟表上分针的运动是一个周期现象,其周期为60分钟,现在分针恰好指在2点处,则100分钟后分针指在 (　　) A.8点处 B.10点处 C.11点处 D.12点处 解析:选B　一个周期是60分钟,则100分钟是个周期,故100分钟后分针指在10点处.故选B. 题型(二)　判断函数的周期 [例2]　已知函数f(x)的周期为T. 求证:(1)函数f(2x)的周期为; (2)函数f的周期为2T. 证明:(1)由f(x+T)=f(x), 可得f(2x+T)=f(2x), 即f=f(2x), 故f(2x)的周期为. (2)由f(x+T)=f(x),可得f=f, 即f=f, 故f的周期为2T. 　　|思|维|建|模|　确定函数周期的几种方法 观察法 通过列举前几项结果,观察发现其周期并验证 图象法 通过观察函数的图象,根据图象的特征判定并得到周期 定义法 确定非零实数T,通过证明f(x+T)=f(x)对定义域内任意x都成立 　　[针对训练] 3. 设函数y=f(x),x∈R.若函数y=f(x)为偶函数并且图象关于直线x=a(a≠0)对称,求证:函数y=f(x)为周期函数. 证明:由图象关于直线x=a对称得f(2a-x)=f(x),即f(2a+x)=f(-x).因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),从而f(2a+x)=f(x),所以f(x)是以2a为周期的周期函数. 题型(三)　利用函数的周期求值 [例3]　(2025·全国Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f= (　　) A.- B.- C. D. 解析:∵f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),∴f=f=f=f=5-2×=-,故选A. 答案:A 　　|思|维|建|模| (1)利用周期性求函数值、解析式、研究函数的性质,关键是利用性质f(x+kT)=f(x)(其中T为f(x)的周期,k∈Z且k≠0)转化到对应的区间上. (2)常用结论 已知a>0且a为常数,若函数y=f(x)对定义域内任一实数x: ①满足f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期T=2a;②满足f(x+a)=±,则f(x)的周期T=2a;③满足f(x+a)=f(x-a), 则f(x)的周期T=2a. 　　[针对训练] 4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=f(x+4),且f(1)=1,则f(2 023)+f(2 024)= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:选A　因为f(x)=f(x+4), 所以函数的周期T=4, 所以f(2 023)=f(-1),f(2 024)=f(0). 又f(x)是R上的奇函数,f(1)=1, 所以f(-1)=-f(1)=-1,f(0)=0, 所以f(2 023)+f(2 024)=-1+0=-1. 5.已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=,求实数a的取值范围. 解:因为f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数, 所以f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1), 因为f(1)<1,f(5)=, 所以<1,即<0,解得-1<a<4. 故a的取值范围为(-1,4). 学科网（北京）股份有限公司 $