8 5.1 直线与平面垂直-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

5.1　直线与平面垂直 　 第六章 §5　垂直关系 知识目标 1．了解直线与平面垂直的定义，了解直线与平面夹角，直线到平面的距离等概念．　 2．掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题．　 3．掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直． 素养目标 通过学习直线与平面垂直的性质定理、判定定理，提升学生直观想象、数学抽象等素养；通过利用直线与平面垂直的性质定理、判定定理的应用，提升学生逻辑推理素养． 知识点一　直线与平面垂直的定义 1 知识点二　直线与平面垂直的性质 2 课时测评 7 综合应用 5 内容索引 随堂演练 6 知识点三　直线与平面的夹角 3 知识点四　直线与平面垂直的判定 4 知识点一　直线与平面垂直的定义 返回 问题导思 问题1．如图所示，假设旗杆AB与地面的交点为点B，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，那么旗杆所在的直线AB与其影子BC所在的直线是否保持垂直？ 提示： 旗杆所在的直线AB与其影子BC所在的直线保持垂直． 问题2．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 提示： 有且只有一条． 新知构建 1．直线与平面垂直 定义 如果直线l与平面α内的____________直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直 记法 l___α 有关 概念 直线l称为平面α的______，平面α称为直线l的______，它们唯一的公共点P称为______ 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边______ 任何一条 ⊥ 垂线 垂面 垂足 垂直 2.过一点有且只有____________与一个平面垂直，过一点有且只有____________与一条直线垂直． 一条直线 一个平面 微提醒 从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离，也就是点到平面垂线段的长． 若直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l与α的位置关系是 A．直线l和平面α相互平行 B．直线l和平面α相互垂直 C．直线l在平面α内 D．不能确定 例1 √ 如图所示，由图可知l和α相互平行、垂直、相交(不垂直)以及l在平面α内都有可能．故选D． 规律方法 直线与平面垂直定义的“双向”作用 1．证明线面垂直：若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直，即线线垂直→线面垂直． 2．证明线线垂直：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直→线线垂直．　　 对点练1．下列命题中正确的个数是 A．如果直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α B．如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α C．如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线 D．如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 √ 对于A，与平面内两条平行直线垂直时，不一定成立；对于B，由直线与平面垂直的定义知垂直于一条直线无法判断“线面垂直”；对于C，如果直线l不垂直于α，则α内存在与l垂直的直线；D正确．故选D． 返回 知识点二　直线与平面垂直的性质 返回 问题导思 问题3．在平面内，如果两条直线同垂直于另一条直线， 那么这两条直线平行；这个性质能推广到空间吗？ 提示：不能，如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中， 棱AA′⊥AD，AB⊥AD，不能得到AA′∥AB． 问题4．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′，BB′，CC′，DD′所在的直线都垂直于面ABCD，它们之间有什么位置关系？根据此结论，对于直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？ 提示：棱AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．平行． 新知构建 1．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______ 符号语言 ⇒______ 图形语言 平行 a∥b 2．如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到_____________就是这条直线到这个平面的距离；如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到_____________的距离都相等，我们把它叫作这两个平行平面间的距离． 平面的距离 另一个平面 微思考 两条异面直线能垂直于同一平面吗？ 提示：不能，根据直线与平面垂直的性质定理可以得到垂直于同一个平面的两条直线平行． 如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平 面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点． 求证：DF∥平面ABC． 证明：如图所示，取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝ AE.因为CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，所以CD∥AE，且CD＝ AE，所以FG∥CD，FG＝CD．所以四边形CDFG是矩形，所以DF∥CG.又因为CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，所以DF∥平面ABC． 例2 规律方法 证明线线平行的常用方法 1．利用线线平行定义：证共面且无公共点． 2．利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线． 3．利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． 4．利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行． 5．利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．　　 对点练2．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，DE⊥平面BCC1B1. 求证：AB＝AC． 证明：如图所示，取BC的中点F，连接EF，AF， 则EF∥B1B且EF＝ B1B．从而EF∥DA且EF＝DA．则四边形ADEF为平行四边形，从而AF∥DE. 又DE⊥平面BCC1B1，故AF⊥平面BCC1B1.从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，故AB＝AC． 返回 知识点三　直线与平面的夹角 返回 问题导思 问题5．当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面夹角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面的夹角怎样定义？ 提示：铅笔和它在桌面上的射影的夹角． 问题6．如图所示，如果AB是平面α内的任意一条不与直线 AO重合的直线，那么直线PA与直线AB的夹角和直线PA与 这个平面的夹角的大小关系是什么？ 提示：直线PA与这个平面的夹角是直线PA与平面内任意直线的夹角中最小的角． 新知构建 对应图形 斜线 一条直线与一个平面______，但不与这个平面______，这条直线称为这个平面的斜线，如图中_________ 斜足 斜线和平面的______，如图中______ 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面作______，过______和______的直线称为斜线在这个平面上的投影，如图中斜线PA在平面α上的投影为___________ 直线与平 面的夹角 定义：平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面的夹角，如图中________．规定：一条直线垂直于平面，则它们的夹角是_____；一条直线与平面平行，或在平面内，则它们的夹角是___ 取值范围 设直线与平面的夹角为θ，则_____________ 相交 垂直 直线PA 交点 点A 垂线 垂足 斜足 直线AO ∠PAO 直角 0° 0°≤θ≤90° (链教材P240例2)如图所示，在四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2AB＝2， E是PB的中点． 求EC与平面ABCD夹角的正切值． 解：设F为AB的中点，连接EF，FC，如图所示． 由于E是PB的中点，故EF∥PA． 又PA⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，FC⊂平面ABCD， 故EF⊥FC，则∠ECF即为EC与平面ABCD夹角， 例3 规律方法 求直线与平面的夹角的一般步骤 对点练3．如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中， (1)直线A1B与平面ABCD夹角的大小为______； (2)直线AC1与平面ABCD夹角的余弦值为______； 45° 因为A1A⊥平面ABCD，所以∠A1BA为A1B与平面ABCD的夹角，易得∠A1BA＝45°. 因为CC1⊥平面ABCD，所以∠C1AC是直线AC1与平面ABCD的夹角，设正方体棱长为a， (3)设AC的中点为O，则OD1与平面ABCD夹角的正切值为______． 因为D1D⊥平面ABCD，所以∠D1OD是直线OD1与平面ABCD的夹角， 返回 知识点四　直线与平面垂直的判定 返回 问题导思 问题7．如图所示，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放 置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD与 桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直？ 提示：如图所示，折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面所在平面α垂直．这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，CD都垂直． 新知构建 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的_____________垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，_____＝A⇒l⊥α 图形语言 两条相交直线 a∩b 微思考 两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？可以改为“无数条直线”吗？ 提示：不能改为“两条平行直线”，也不能改为“无数条直线”，因为无数条直线可能都平行． 如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC 的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC． (1)求证：SD⊥平面ABC； 证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点， 所以SD⊥AC． 因为∠ABC＝90°，所以BD＝ AC＝AD． 又SA＝SB，SD＝SD， 所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD． 又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC， 所以SD⊥平面ABC． 例4 (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC． 证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC． 由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC， 所以BD⊥平面SAC． 规律方法 证明线面垂直的方法 1．线面垂直的定义． 2．线面垂直的判定定理． 3．如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 4．如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．　　 对点练4．已知H是锐角三角形ABC的垂心，过H作平面ABC的垂线，在垂线上取一点P，使∠APB＝90°.求证：PB⊥平面PAC． 证明：如图所示，连接BH交AC于D，连接PD． 因为PH⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PH⊥AC． 又因为H为锐角三角形ABC的垂心，所以BD⊥AC． 因为AC⊥PH，AC⊥BD，PH∩BD＝H，PH，BD⊂平面PBD， 所以AC⊥平面PBD． 又因为PB⊂平面PBD，所以AC⊥PB． 因为∠APB＝90°，所以PB⊥PA． 又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC， 所以PB⊥平面PAC． 返回 综合应用 返回 例5 直线与平面垂直的应用 如图所示，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平 面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足． (1)求证：AN⊥平面PBM； 证明：因为AB为⊙O的直径， 所以AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM， 所以PA⊥BM. 又因为PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM， 所以BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，所以AN⊥平面PBM. (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB． 证明：由(1)知AN⊥平面PBM， 因为PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB． 因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ， 所以PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB． 规律方法 在利用判定定理证明线面垂直时，要注意写出定理的条件，缺一不可．另外在证明线面垂直的过程中要注意线线垂直与线面垂直的相互转化．　　 对点练5．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别为A1D，AC上的点，且EF⊥A1D，EF⊥AC． 求证：EF∥BD1. 证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD． 因为AC∥A1C1，EF⊥AC， 所以EF⊥A1C1. 又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1， A1D，A1C1⊂平面A1C1D， 所以EF⊥平面A1C1D　①. 因为BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1. 因为四边形A1B1C1D1为正方形， 所以A1C1⊥B1D1. 又B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D， 所以A1C1⊥平面BB1D1D， 因为BD1⊂平面BB1D1D，所以A1C1⊥BD1. 同理可证，DC1⊥BD1， 又DC1∩A1C1＝C1，DC1，A1C1⊂平面A1C1D， 所以BD1⊥平面A1C1D　②. 由①②可知，EF∥BD1. 返回 课堂小结 知识 1．直线与平面垂直的定义. 2．直线与平面垂直的性质定理. 3．直线与平面垂直的判定定理. 4．直线与平面的夹角 方法 转化与化归、定义法、定理法 易错误区 忽略判定定理中在平面内找的两条直线必须是相交直线 随堂演练 返回 1．过已知平面α外一点A作与α垂直的直线的条数有 A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 由过一点垂直于一个平面的直线有且只有一条，故过平面α外一点A作与α垂直的直线的条数有1条．故选B． √ 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 如图所示，在正方体中，侧棱都和底面垂直，故在正方 体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面有平 面ABCD和平面A1B1C1D1，共2个．故选B． √ 3．已知直线a⊥平面α，b是平面α上的一条直线，则直线a与b的关系不可能是 A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 因为直线a⊥平面α，b⊂α，所以a⊥b，故直线a与b的关系可以是异面的，也可以是相交的，不可能是平行的．故选A． √ 4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面 ABCD夹角的余弦值为________． 连接AC，如图所示： 返回 课时测评 返回 因为三角形的两边AC，BC有交点C，且直线l和AC，BC同时垂直，所以该直线垂直平面ABC，故该直线与AB垂直．故选B． 1．若空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是 A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知平面α和两直线m，n，且m⊥α.要得到结论m∥n，则可以添加的条件为 A．n⊥α B．n∥α C．n⊂α D．n⊄α 对于A，由m⊥α，n⊥α，可得m∥n，故A正确；对于B，由m⊥α，n∥α，可得m⊥n，故B错误；对于C，由m⊥α，n⊂α，可得m⊥n，故C错误；对于D，由m⊥α，n⊄α，可得m∥n或m，n相交或m，n异面，故D错误．故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．如图，α，β是两个不同的平面，A，C是平面α上两个不同的点，B是平面β上的点，α∩β＝l，且AB⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的位置关系是 A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 因为AB⊥α，l⊂α，所以AB⊥l，又因为BC⊥β，l⊂β，所以BC⊥l，又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以l⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，所以l⊥AC．故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么下列结论正确的是 A．MA∥BD B．MA与BD异面 C．MA与BD相交 D．MA⊥BD √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为BD⊂平面ABCD，MA∩平面ABCD＝A，A∉BD，所 以可知MA与BD异面，即A选项错误，B选项正确，C选 项错误；连接AC，因为四边形ABCD为菱形，所以AC ⊥BD．又因为MC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥MC．又因为MC∩AC＝C，MC⊂平面AMC，AC⊂平面AMC，所以BD⊥平面AMC．又因为MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD，即D选项正确，故选BD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，直线A1B和平面A1DCB1夹角为 A．30° B．45° C．60° D．90° 连接BC1交B1C于点E，连接A1E，则B1C⊥BC1，又DC⊥ 平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥DC．又DC ∩B1C＝C，DC，B1C⊂平面A1DCB1，所以BC1⊥平面A 1DCB1，则∠BA1E为直线A1B和平面A1DCB1的夹角，又 A1E⊂平面A1DCB1，所以BC1⊥A1E，所以sin ∠BA1E＝ ，则∠BA1E＝30°，即直线A1B和平面A1DCB1夹角为30°.故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC的夹角的度数为________． 因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的投影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC的夹角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC的夹角等于45°. 45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的位置关系是________． 如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO， BD⊥CO.又AO∩CO＝O，AO，CO⊂平面AOC，所以BD ⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC． 垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．(开放题)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与BD1垂直的面对角线可以是_______________________________________________________ _______________ (写出一条即可). AC(答案不唯一，填AC，A1C1，A1D，B1C，AB1，DC1中的任 意一条即可) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图所示，连接AC，BD，因为DD1⊥平面ABCD， AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC，又AC⊥BD，DD1 ∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1，所以AC⊥平面 BDD1，又BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1，同理可 得，与BD1垂直的面对角线还有A1C1，A1D，B1C， AB1，DC1(答案不唯一). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2. (1)求证：AC⊥平面BDE；(4分) 证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以AC⊥BD． 因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以AC⊥DE， 因为BD，DE⊂平面BDE，BD∩DE＝D， 所以AC⊥平面BDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求AE与平面BDE的夹角的大小．(6分) 解： 如图所示，设AC∩BD＝O，连接EO， 因为AC⊥平面BDE，所以EO是直线AE在平面BDE上的射影， 所以∠AEO即为AE与平面BDE的夹角． 在Rt△EAD中，DE＝DA＝2， 所以∠AEO＝30°， 即AE与平面BDE的夹角为30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．如图所示，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H，为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是 A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH 因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以EG∥FH，所以E，F，H，G四点共面，又PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值为 √ 因为PA⊥平面ABCD，QD⊂平面ABCD，所以PA⊥QD，又PQ⊥QD，且PA∩PQ＝P，PA，PQ⊂平面PAQ，故QD⊥平面PAQ，AQ⊂平面PAQ，故AQ⊥QD．在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，故BC与以AD为直径的圆相切，故AD＝2AB，故a＝2.故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面 ABCD的中心，M，N，P，Q分别为棱AA1，DD1，A1B1， B1C1的中点，则下列与B1C垂直的是 A．OM B．ON C．OP D．OQ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图③，连接EQ，因为OE⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面 BCC1B1，所以OE⊥B1C，若B1C⊥OQ，OQ∩OE＝O， OQ，OE⊂平面OQE，所以B1C⊥平面OQE，又EQ⊂ 平面OQE，所以B1C⊥EQ，显然B1C与EQ不垂直，所 以B1C与OQ不垂直，故D错误．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)(新情境)《九章算术》中，将四个面都是直角三 角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体PABC中， PA⊥平面ABC，AC＝BC，D是棱AB的中点． (1)判断四面体PACD是否为鳖臑，并说明理由；(5分) 证明：因为PA⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PA⊥CD． 因为AC＝BC，D是棱AB的中点，所以CD⊥AB． 又PA∩AB＝A，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB， 所以CD⊥平面PAB．因为PD⊂平面PAB， 所以CD⊥PD． 因此PA⊥AC，PA⊥AD，CD⊥AD，CD⊥PD， 故∠PAC，∠PAD，∠ADC，∠PDC为直角， 所以四面体PACD是鳖臑． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若四面体PABC是鳖臑，且AP＝AB＝2，求直线AC与平面 PAB的夹角的大小．(8分) 解：因为四面体PABC是鳖臑，AC＝BC， 所以AC⊥BC， 又AP＝AB＝2，所以AC＝BC＝ ， 由(1)知CD⊥平面PAB，所以∠CAD为直线AC与平面PAB的夹角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 矩形，PD⊥平面ABCD，AD＝PD＝4，点Q是PC的中点． (1)求证：PA∥平面BDQ；(7分) 证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接QO， 因为底面ABCD是矩形， 所以O为AC的中点， 又点Q是PC的中点， 所以PA∥QO， 又PA⊄平面BDQ，QO⊂平面BDQ， 所以PA∥平面BDQ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)在线段AB上是否存在点F，使得直线PF与平面PAD的夹角为30°？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由．(10分) 解：因为PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 所以PD⊥AB， 又AD⊥AB，PD∩AD＝D，AD，PD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 所以直线PF与平面PAD的夹角即为∠APF＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 立 体 几 何 初 步 返回 又PA＝AD＝2AB＝2，则EF＝PA＝1，BF＝， 由底面ABCD是矩形，得BC⊥BF，则FC＝＝， 所以tan ∠ECF＝＝， 即EC与平面ABCD夹角的正切值为. 则AC＝a，AC1＝a，所以cos ∠C1AC＝＝. 设正方体棱长为a，则DD1＝a，OD＝a， 所以tan ∠D1OD＝＝. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，则AC1与平面ABCD的夹角为∠CAC1，且AC＝＝＝2，AC1＝＝ ＝3，所以cos ∠CAC1＝＝，即AC1与平面ABCD夹角的余弦值为. ＝ 所以EA＝＝2，AO＝， 所以在Rt△EOA中，sin ∠AEO＝＝， A． B．1 C．2 D． 如图①，取AD的中点R，连接MR，OR，NR，DA1，根据正方体的性质可得B1C∥A1D，MR∥A1D，OR∥AB，所以∠OMR为异面直线B1C与OM夹角，设正方体的棱长为2，则OR＝1，MR＝＝，OM＝＝，所以OR2＋MR2＝OM2，所以∠ORM＝90°，显然∠OMR≠90°，故直线B1C与OM不垂直，故A错误；因为OR⊥MR，MR∥A1D，所以OR⊥A1D，又NR⊥A1D，OR∩NR＝R，OR，NR⊂平面ONR，所以A1D⊥平面ONR，因为ON⊂平面ONR，所以A1D⊥ON，所以B1C⊥ON，故B正确； 如图②，取BC的中点E，连接OE，B1E，则OE∥AB且OE＝AB，又PB1∥AB且PB1＝AB，所以OE∥PB1且OE＝PB1，所以OEB1P为平行四边形，所以OP∥EB1，所以∠CB1E为B1C与OP的夹角，显然∠CB1E≠90°，所以B1C与OP不垂直，故C错误； 由于CD⊥AD，D是AB的中点，所以AD＝CD＝AB＝1，所以∠CAD＝. 14．(5分)(新定义)刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制).例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为2π－×3＝π.如图所示，在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD＝PA，PC与底面ABCD的夹角为，在四棱锥P-ABCD中，顶点B的曲率为________． 设PA＝1，则AD＝PA＝，因为PA⊥平面ABCD，所以∠PCA即为PC与底面ABCD夹角，即∠PCA＝，所以PC＝＝2，AC＝＝，所以AB＝＝＝1，所以tan ∠PBA＝＝1，所以∠PBA＝.因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为PB⊂平面PAB，所以PB⊥BC，即∠PBC＝.又∠ABC＝，所以顶点B的曲率为2π－－－＝. 因为AP＝＝4， 所以AF＝APtan 30°＝， 所以当AB≥时，在线段AB上存在点F，使得直线PF与平面PAD的夹角为30°，此时AF＝； 当0<AB<时，在线段AB上不存在点F，使得直线PF与平面PAD的夹角为30°. $$