8 5.1 正弦函数的图象与性质再认识-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

5.1　正弦函数的图象与性质再认识 　 第一章 §5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 知识目标 1．能借助单位圆或五点(画图)法画出正弦函数的图象．　 2．了解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．　 3．借助图象理解正弦函数在[0，2π]上的性质． 素养目标 通过作正弦函数的图象，培养学生直观想象素养；通过正弦函数性质的应用，培养学生数学运算素养． 知识点一　正弦函数的图象 1 知识点二　正弦函数性质的再认识 2 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点三　五点(画图)法 3 知识点一　正弦函数的图象 返回 问题导思 问题1．我们根据正弦函数的定义，求出 对应的函数值，借助单位圆，可以画出正弦函数在区间[0，2π]上的图象吗？ 利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y＝sin x性质的了解，用光滑曲线顺次连接，就可以得到函数y＝sin x在区间[0，2π]上的图象(如图②所示). 问题2．由诱导公式sin (x＋2kπ)＝sin x，k∈Z，把函数y＝sin x，x∈[0，2π]上的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，能不能得到正弦函数在定义域R上的图象？ 提示：将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象(如图③所示). 新知构建 1．定义：正弦函数y＝sin x，x∈R的图象称作正弦曲线． 2．图象 微提醒 (1)只有函数y＝sin x，x∈R的图象称为正弦曲线．(2)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象夹在两直线y＝±1之间． 例1 √ 规律方法 利用正弦函数图象求定义域 1．利用正弦函数图象解决与正弦函数有关的定义域问题，先根据定义域的求法列出不等式(组)，再求解；涉及解三角不等式时，一般需借助图象求解． 2．利用正弦函数图象解形如sin x>a(或<a)的步骤： (1)画出直线y＝a，y＝sin x的图象； (2)确定sin x＝a时x的值； (3)确定sin x>a(或<a)的解集．　　 返回 知识点二　正弦函数性质的再认识 返回 问题导思 问题3．利用正弦曲线(如图)，解答下列问题： (1)观察正弦曲线，简单地说出正弦函数的定义 域、值域、奇偶性； 提示：定义域：R；值域：[－1，1]； 奇偶性：图象关于原点对称，为奇函数． (2)观察正弦曲线，探索正弦函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？ 提示：正弦函数的图象既是轴对称图形，对称轴方程为x＝kπ＋ ，k∈Z；也是中心对称图形，对称中心的坐标为(kπ，0)，k∈Z. (3)观察正弦曲线，正弦函数是不是单调函数？ 提示：正弦函数不是单调函数，但有多个单调区间． 新知构建 正弦函数的性质 函数 y＝sin x，x∈R 图象 定义域 R 周期性 是周期函数，______是它的最小正周期 单调性 在区间________________________上单调递增； 在区间_________________________上单调递减 2π 函数 y＝sin x，x∈R 最大(小) 值和值域 当x＝______________时，ymax＝1； 当x＝_______________时，ymin＝－1. 值域是__________ 奇偶性 ___函数，图象关于______对称 对称性 对称轴：__________________ 对称中心：(kπ，0)，k∈Z [－1，1] 奇 原点 微思考 正弦函数在第一象限是增函数吗？ 提示：不是，只能说正弦函数在区间[2kπ，2kπ＋ ](k∈Z)内为增函数． 例2 (2) 判断下列函数的奇偶性，并求函数的最小正周期： ①f(x)＝sin x(x∈R); 解：因为x∈R，所以定义域关于原点对称， ②f(x)＝|sin x|(x∈R). 解：作出f(x)＝|sin x|的图象，如图所示． 由图象易知f(x)＝|sin x|是偶函数，最小正周期为π. 规律方法 1．用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 2．求正弦函数的单调区间有两种方法 一是利用y＝sin x的单调区间，进行代换，解不等式； 二是画图象，从图象上观察，注意定义域，单调区间不能随便并起来．　　 对点练2．(1)(多选)设函数f(α)＝sin x，下列结论成立的是 √ √ √ 返回 知识点三　五点(画图)法 返回 问题导思 问题4．在画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的简图时，应抓住哪些关键点？ 提示：根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用光滑的曲线连接即可．今后在精确度要求不高时，常常先找出五个 关键点 新知构建 “五点(画图)法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的步骤 (1)列表 (3)连线 用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图． (链教材P31例2)已知函数f(x)＝1－2sin x. (1)用“五点法”作出函数f(x)在x∈[0，2π]上的简图； 解：按五个关键点列表如下： 例3 (2)根据图象求f(x)≥1在[0，2π]上的解集． 规律方法 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握“五点(画图)法”作图．“五点”即y＝sin x的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点(画图)法”是作简图的常用方法．　　 对点练3．已知函数f(x)＝1－sin x. (1)用“五点法”作出f(x)在x∈[0，2π]上的图象； 解：按五个关键点列表如下： 描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，对应的图象如图： 返回 综合应用 返回 例4 正弦函数图象与性质的综合应用 　高一某班小赵同学在解答“利用五点法画出函数y＝2sin x－1在一个周期上的简图，并根据图象讨论它的性质”题目时，有如下解答过程，请补全解答过程． 第一步：列表． 第二步：画出y＝2sin x－1在一个周期上的简图． 第三步：讨论y＝2sin x－1的性质． 函数 y＝2sin x－1 定义域 R 最小正周期 __________ 单调性 调递增区间为____________；单调递减区间为___________ 最大值与最小值 当x＝________时，最大值为1；当x＝________时，最小值为________ 解：第一步：列表． 第二步：画出y＝2sin x－1在一个周期上的简图． 第三步：讨论y＝2sin x－1的性质． 规律方法 正弦函数的图象与性质主要涉及到正弦函数的周期性，奇偶性与对称性，单调性与最值等．　　 对点练4．(一题多问)函数y＝asin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3. (1)求实数a的值； 解：因为ymax＝1－a， 所以a<0， 故ymin＝1＋a＝－3，所以a＝－4. (2)求该函数的单调递增区间； 解：由(1)知，y＝－4sin x＋1， (3)若x∈[－π，π]，求该函数的单调递增区间． 返回 课堂小结 知识 1．正弦函数的图象. 2．正弦函数的性质及其应用. 3．五点(画图)法作图象及应用 方法 数形结合法、五点(画图)法 易错 误区 “五点(画图)法”作图时五点的选取；单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x本身具有的范围 随堂演练 返回 1．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象 A．重合 B．形状相同，位置不同 C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同 根据正弦曲线的图象可知函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．故选B． √ √ √ 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．函数y＝－3sin x＋4(x∈[－π，π]) 的一个单调递增区间为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(2024·陕西西安高一测试)下列关系式中正确的是 A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<sin 168°<cos 10° D．sin 168°<cos 10°<sin 11° 因为sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，所以由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)以下对正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是 A．在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴仅有一个交点 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由函数y＝sin x，可得函数的最小正周期为T＝2π，则y＝sin x在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上的图象相同，只是位置不同，故A正确；由正弦函数的性质，可得ymin＝－1，ymax＝1，所以y＝sin x的图象介于y＝1与y＝－1之间，故B正确；画出函数y＝sin x的图象，如图所示，可得y＝sin x的图象不关于x轴对称，故C错误；函数y＝sin x的图象与y轴只有一个交点，交点为原点O(0，0)，故D正确．故选ABD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．函数f(x)＝sin x－1，x∈[0，2π]的零点为________． 令f(x)＝0，所以sin x＝1，又x∈[0，2π]，所以x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [2kπ－π，2kπ]，k∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)在同一直角坐标系中画出y＝sin x，y＝2sin x，y＝ sin x在[－π，π]上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系． 解：函数y＝sin x，y＝2sin x，y＝ sin x的周期都是2π，在[－π，π]上分别求出这三个函数的图象上的五个关键点，并作出它们在一个周期内的简图，如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 观察图，可以看出： y＝2sin x的图象可以由y＝sin x的图象上每一点(x，sin x)的横坐标不变、纵坐标乘以2(到x轴的距离放大到原来的2倍)得到．因而y＝2sin x的周期仍是2π，最大值和最小值分别变为2和－2，值域变成了[－2，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选)函数y＝1＋sin x，x∈ 的图象与直线y＝t(t为常数)的交点可能有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)(一题多问)已知f(x)＝2sin x＋a－1. (1)若f(x)≥0在 上恒成立，求a的取值范围；(6分) 所以f(x)min＝f(π)＝a－1≥0，得a≥1， 所以实数a的取值范围为[1，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若f(x)＝0在 上有两个不等实根x1，x2.(7分) ①求a的取值范围；②求x1＋x2的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)(一题多问)作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间： ①y>1；②y<1；(4分) 解：列表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 描点连线得： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若直线y＝a与曲线y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值．(8分) 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 x＝0，，，，…，2π 提示：在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0，，，，…，2π，并借助单位圆获得对应的正弦函数值(如图①所示)，列表． x 0 π 2π sin x 0 1 0 － － －1 － － 0 x 0 π 2π sin x 0 1 0 － － －1 － － 0 (1)使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是 A． B． C． D． 不等式可化为sin x≤.作正弦曲线y＝sin x及直线y＝，如图所示． 由图知，原不等式的解集为{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}．故选C． (2)函数y＝的定义域为 ______________________________________________． {x或2kπ＋≤x<2kπ＋π，k∈Z} 为使函数有意义，需满足即0<sin x≤. 由正弦函数的图象，可得函数的定义域为 {x或2kπ＋≤x<2kπ＋π，k∈Z}． 对点练1．函数y＝lg 的定义域为 ______________________________． 要使函数有意义，自变量x应满足sin x－>0，即sin x>， 在同一直角坐标系下，作出函数y＝sin x，x∈[0，2π]以及直线y＝的图象，如图所示．由函数的图象知，sin ＝sin ＝.所以根据图象可知sin x>的解集为.又x∈R，故该函数的定义域为. ，k∈Z ，k∈Z 2kπ＋，k∈Z 2kπ＋，k∈Z x＝kπ＋，k∈Z (1)(链教材P30例1)比较sin与sin(－)的大小； 解： 因为sin＝－sin ，sin＝－sin＝－sin ， 由于<<<，且y＝sin x在上是单调递减的， 所以sin >sin ，所以－sin <－sin ，即sin<sin. 因为f(－x)＝sin ＝－sin x＝－f(x)， 所以f(x)＝sin x是奇函数． 因为f(x＋4π)＝sin ＝sin(x＋2π)＝sin x＝f(x)， 所以f(x)＝sin x的最小正周期是4π. A．f>0 B．－1≤f(x)≤1 C．最小正周期是2π D．f>f 对于A，f＝sin＝>0，故A正确；对于B，－1≤sin x≤1，故B正确；对于C，正弦函数的最小正周期为2π，故C正确；对于D，由于f(x)＝sin x在上为增函数，所以f<f，故D错误．故选ABC． (2)函数y＝2sin x＋1的值域是______________． [1＋，3] 因为≤x≤π，所以sin x∈，所以2sin x＋1∈[1＋，3]. (0，0)，，(π，0)，，(2π，0). x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 (2)描点 画正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 f(x) 1 －1 1 3 1 于是得到函数f(x)＝1－2sin x在区间[0，2π]上的五个关键点为(0，1)，，(π，1)，，(2π，1).描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，图象如右． 解：根据(1)中的图象，可得f(x)≥1在上的解集为{0}∪[π，2π]. x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 (2)求f(x)在x∈上的最大值和最小值． 解：因为f(x)＝1－sin x，由f(x)＝1－sin x且x∈，结合图象知f(x)max＝f＝1＋，f(x)min＝f＝0. x 0 π 2π y＝sin x 0 y＝2sin x－1 x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝2sin x－1 －1 1 －1 －3 －1 函数 y＝2sin x－1 定义域 R 最小正周期 2π 单调性 单调递增区间为； 单调递减区间为 最大值与最小值 当x＝2kπ＋时，最大值为1； 当x＝2kπ＋时，最小值为－3 当＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数y＝－4sin x＋1单调递增， 所以y＝－4sin x＋1的单调递增区间为[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z. 解：因为x∈[－π，π]，(k∈Z)∩[－π，π]＝∪， 所以当x∈[－π，π]时，y＝－4sin x＋1的单调递增区间为，. 2．用“五点法”画函数y＝1＋sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是 A．0，，，，π B．0，，π，，2π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π.故选B． 3．函数y＝4sin x＋3在上的递增区间为 A． B． C． D． y＝sin x的递增区间就是y＝4sin x＋3的递增区间，由正弦函数图象可得y＝sin x在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．故选B． 4．sin与sin的大小关系为___________________．(用“>”连接) sin>sin sin＝sin＝sin ＝sin(π－)＝sin ，sin＝sin＝sin ，因为0<<<，且y＝sin x在上单调递增，所以sin >sin ，所以sin(－)>sin. 1．函数y＝sin x，x∈，则y的取值范围是 A．[－1，1] B． C． D． 根据正弦函数的图象可知，在区间上，函数y＝sin x先增后减，当x＝时，ymin＝，当x＝时，ymax＝1.故选C． A． B．[0，π] C． D．[－π，0] 函数y＝－3sin x＋4的增区间就是y＝sin x的减区间，即，k∈Z.结合x∈，可得y＝sin x的减区间为和.故选C． 3．函数y＝2sin x＋1的值域是 A．[1＋，3] B．[1＋，3] C．[1－，1＋] D．[－1，3] 画出函数y＝2sin x＋1的图象如图所示，当x＝或x＝时，最小值为1＋；当x＝时，最大值为3.故所求值域为[1＋，3].故选B． 7．(多空题)函数y＝的定义域是________________________，单调递减区间是______________________． ，k∈Z 因为－2sin x≥0，所以sin x≤0，所以2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z，即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ]，k∈Z.因为在定义域内y＝与y＝sin x的单调性相反，所以函数的单调递减区间为[2kπ－，2kπ]，k∈Z. 8．若方程sin x＝a在x∈上有两个不同的解，则实数a的取值范围为__________． 结合如下正弦函数图象可知，当a∈时，直线y＝sin x，y＝a有两个交点，所以实数a的取值范围为. 类似地，y＝sin x的图象可以由y＝sin x的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标乘以(到x轴的距离缩短到原来的)得到．因而y＝sin x的周期仍是2π，最大值和最小值分别变为和－，值域变为. 10．函数f＝的一个单调递减区间是 A． B． C． D． 由y＝sin x的图象与性质，f(x)＝的单调递减区间为，k∈Z，所以D符合题意．故选D． 作出函数y＝1＋sin x，x∈的图象与直线y＝t，如图所示， 所以，当t>2或t≤1时，y＝1＋sin x，x∈的图象与直线y＝t的交点个数为0个；当t＝2或1<t≤1＋时，y＝1＋sin x，x∈的图象与直线y＝t的交点个数为1个；当1＋<t<2时，y＝1＋sin x，x∈的图象与直线y＝t的交点个数为2个．故函数y＝1＋sin x，x∈的图象与直线y＝t的交点可能有0个，1个，2个．故选ABC． 12．函数y＝2sin x，x∈的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________． 作出函数y＝2sin x的图象(图略)，将正弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为×2＝4π. 解：由f(x)≥0在上恒成立，得f(x)min≥0，当x＝π时，f(x)取得最小值， 解：①易知g(x)＝2sin x在上单调递增，在上单调递减，因为f(x)＝0在上有两个不等实根x1，x2，所以y＝2sin x与y＝1－a在上有两个交点，所以2×≤1－a<2，解得－1<a≤1－. 所以实数a的取值范围为(－1，1－]. ②易知x1，x2关于x＝对称，所以＝，即x1＋x2＝π. 14．(5分)(多选)设函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则以下四个结论正确的是 A．b－a的最小值为 B．b－a的最大值为 C．a不可能等于2kπ－(k∈Z) D．b不可能等于2kπ－(k∈Z) 由图象知，b－a的最大值为(如a＝－，b＝)，故B正确；在b－a取最大值的情况下，固定左(或右)端点，移动右(或左)端点，必须保证取－1的最小值点在[a，b]内，所以b－a的最小值为，b可能等于2kπ－(k∈Z)，故A正确，D错误；若a＝2kπ－(k∈Z)，则由图象可知函数的最大值为的情况下，最小值不可能为－1，所以a不可能等于2kπ－(k∈Z)，故C正确．故选ABC． x －π － 0 π y＝sin x 0 －1 0 1 0 y＝1－2sin x 1 3 1 －1 1 由图象可知函数y＝1－2sin x，当x∈时，y>1，当x∈时，y<1. 解：如图，当直线y＝a与曲线y＝1－2sin x有两个交点时，1<a<3或－1<a<1， 所以a的取值范围为，或. 解：由图象可知ymax＝3，此时x＝－；ymin＝－1，此时x＝. $$