7 4.2 平面与平面平行-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

4.2　平面与平面平行 　 第六章 §4　平行关系 知识目标 1．借助生活中的实物之间的位置关系，理解并掌握平面与平面平行的性质定理．　 2．借助生活中的实物之间的位置关系，理解并掌握平面与平面平行的判定定理． 素养目标 通过学习面面平行的性质定理、判定定理，提升学生直观想象等素养；通过面面平行的性质与判定定理的应用，提升学生逻辑推理素养． 知识点一　平面与平面平行的性质 1 知识点二　平面与平面平行的判定 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　平面与平面平行的性质 返回 问题导思 问题1．若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ 提示： 平行． 问题2．若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面的直线平行或异面，那么如何找到平行的直线呢？ 提示：过一个平面内的直线作一个平面与另一个平面相交，则该直线与交线平行． 新知构建 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面______，那么两条交线______ 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒______ 图形语言 相交 平行 a∥b 微思考 夹在两个平行平面间的两条平行线段有什么关系呢？ 提示： 相等．利用面面平行的性质定理可以得到． (链教材P232例5)如图所示，已知α∥β，点P是平面 α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β 相交于点A，B和C，D． (1)求证：AC∥BD； 证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD． 又α∥β，所以AC∥BD． 例1 (2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长． 规律方法 利用平面与平面平行的性质定理解题的基本步骤 对点练1．如图所示，正方体ABCD -A1B1C1D1的边长为2， 点F为棱CC1的中点，过直线AF作一平面，与棱BB1，DD1 分别交于E，G两点． 求证：四边形AEFG为平行四边形． 证明：因为平面AEFG∩平面ABB1A1＝AE， 平面AEFG∩平面DCC1D1＝GF，且平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 由面面平行的性质定理可知GF∥AE， 同理可证EF∥AG， 故四边形AEFG为平行四边形． 返回 知识点二　平面与平面平行的判定 返回 问题导思 问题3．对于平面α和平面β，在平面α内取一条直线l，且l∥β，那么能不能得到α∥β呢？ 提示：不能；如图所示，平面A1BCD1中的A1D1∥平面ABCD，但平面A1BCD1与平面ABCD不平行． 问题4．我们在生活中看到，工人师傅将水平尺(如图)在桌面上交叉放置两次，如果水平尺的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，为什么呢？ 提示： 理论依据：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 新知构建 文字语言 如果一个平面内的________________与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，_____________⇒α∥β 图形语言 两条相交直线 a∥β，b∥β 微提醒 (1)面面平行的判定定理可简述为“若线面平行，则面面平行”．该定理把两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题．(2)“一个平面内有两条(或无数条)直线平行于另一个平面，则这两个平面平行”是不正确的，因为两个平面相交时，也可在一个平面内找到无数条与另一平面平行的直线． 微思考 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？ 提示：不一定．这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内． (一题多解)(链教材P233例6)如图所示，在正方体 ABCD -A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N为CC1的中点． 求证：平面AMC∥平面BND1. 证明：法一：如图所示，连接BD，设交AC于点O， 因为O是DB的中点，M是DD1的中点， 所以MO∥BD1. 因为MO⊂平面AMC，BD1⊄平面AMC，所以BD1∥平面AMC． 因为N是CC1的中点，M是DD1的中点， 所以四边形MCND1为平行四边形． 所以D1N∥MC．又MC⊂平面AMC，D1N⊄平面AMC， 所以D1N∥平面AMC． 因为D1N∩BD1＝D1，D1N⊂平面BND1，BD1⊂平面BND1， 所以平面AMC∥平面BND1. 例2 法二：连接MN，因为MN∥DC∥AB，且MN＝DC＝AB， 所以四边形AMNB为平行四边形，所以AM∥BN.因为AM⊂平面AMC，BN⊄平面AMC， 所以BN∥平面AMC． 又因为D1M∥NC，D1M＝NC，所以四边形D1MCN为平行四边形，所以D1N∥MC． 因为MC⊂平面AMC，D1N⊄平面AMC， 所以D1N∥平面AMC． 因为D1N∩BN＝N，D1N⊂平面BND1，BN⊂平面BND1， 所以平面AMC∥平面BND1. 规律方法 平面与平面平行的判定方法 1．定义法：两个平面没有公共点． 2．判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． 3．转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. 4．利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.　　 对点练2．如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD． 求证：平面MNQ∥平面PBC． 证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， 所以MQ∥AD，NQ∥BP. 又BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC， 所以NQ∥平面PBC． 因为四边形ABCD为平行四边形，BC∥AD， 所以MQ∥BC． 又BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC， 所以MQ∥平面PBC． 又MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，MQ∩NQ＝Q， 所以平面MNQ∥平面PBC． 返回 综合应用 返回 例3 一　线面平行、面面平行的应用 　如图所示，点S是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且 . 求证：MN∥平面SBC． 证明：如图所示，在AB上取点E，使得 ，则ME∥SB． 因为ME⊄平面SBC，SB⊂平面SBC， 所以ME∥平面SBC． 又▱ABCD中，BC∥AD，所以BC∥NE. 因为NE⊄平面SBC，BC⊂平面SBC， 所以NE∥平面SBC， 因为ME⊂平面MNE，NE⊂平面MNE，ME∩NE＝E， 所以平面MNE∥平面SBC， 因为MN⊂平面MNE，所以MN∥平面SBC． 规律方法 1．证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行推出线面平行． 2．线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用．　　 对点练3．如图所示，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，N是PM与DE的交点． 求证：NF∥CM. 证明：因为D，E分别是PA，PB的中点， 所以DE∥AB． 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC． 又DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC． 又平面PMC∩平面DEF＝NF，平面PMC∩平面ABC＝CM， 所以NF∥CM. 例4 二　平面与平面平行中的探索性问题 　如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，DD1，CD的中点．N为BC的中点．试在E，F，G，H四个点中找两个点，使这两个点与点N确定一个平面α，且平面α∥平面BB1D1D． 解：由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB1D1D， 只需在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D，或 在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D内的两条 相交直线即可． 如图所示，连接HN，HF，NF，易知HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面BB1D1D，即在E，F，G，H四个点中，由H，F两点与点N确定的平面α满足条件． 变式探究 (变条件)在本例中，作出过F，H，N三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面． 解：如图所示，设平面NHF和 B1C1交于一点N1，连接 FN1，NN1， 因为平面NHF∥平面BB1D1D，平面A1B1C1D1∩平面NHF ＝FN1，平面A1B1C1D1∩平面BB1D1D＝B1D1， 所以B1D1∥FN1， 又因为F是C1D1的中点，所以点N1是B1C1的中点，则过F，H，N三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为矩形FHNN1. 规律方法 平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系．　　 对点练4．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.若MB∥平面AEF，试判断点M的位置． 解：由题知MB∥平面AEF，过点F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF，如图所示． 因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN， 所以BF∥MN. 因为MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN， 所以MB∥FN， 所以四边形BFNM是平行四边形， 所以MN＝BF＝1. 而EC∥FB，EC＝2FB＝2， 所以MN∥EC，MN＝ EC＝1， 故MN是△ACE的中位线． 所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF. 返回 课堂小结 知识 1．平面与平面平行的性质定理. 2．平面与平面平行的判定定理 方法 转化与化归、定义法、定理法 易错误区 在利用平面与平面平行的性质定理和判定定理解决问题时，漏写条件 随堂演练 返回 1．下列命题正确的是 A．一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行．故选B． √ 2．已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是 A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 因为α∥β，所以α与β无公共点，又m⊂α，n⊂β，所以m与n无公共点，所以m与n平行或异面．故选D． √ 3．如图所示的三棱柱ABC -A1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是 A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB．故选B． √ 4．如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，过BB1的中点E的平面MNE与平面ACB1平行，且交AB于M，交BC于N，则 ＝______． 因为平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又因为E为BB1的中点，所以M，N分别为BA，BC的中点， 返回 课时测评 返回 若直线m与直线n为相交直线，根据平面与平面平行的判定定理可得α∥β，若m∥n，如图所示：可能α∥β，也可能α与β相交．故选D． 1．若平面α内两条直线m，n都平行于平面β，则α与β的关系是 A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是 对于B，可证AB∥DE，BC∥DF，又AB，BC⊄平面DEF，DE，DF⊂平面DEF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF.又AB∩BC＝B，且AB，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面DEF.故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为 A．梯形 B．平行四边形 C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．矩形 因为平面ABFE∥平面CGHD，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CGHD＝GH，根据平面与平面平行的性质定理可知EF∥GH，同理可证明EH∥FG.所以四边形EFGH为平行四边形．故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选)设a，b是空间中不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列说法正确的是 A．若a∥b，b⊂α，a⊄α，则a∥α B．若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b C．若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β D．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b 在选项A中，a∥b，b⊂α，a⊄α，由线面平行的判定定理得，a∥α，故A正确；在选项B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在选项C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在选项D中，由面面平行的性质定理得D项正确．故选AD． √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(2024·广东广州六校高一联考)(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是线段C1D1，A1D1，BD1，BC的中点，则下面四个结论正确的为 A．MN∥平面APC B．B1Q∥平面ADD1A1 C．A，P，M三点共线 D．平面MNQ∥平面ABCD √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 平面APC即为平面ACC1A1，MN∥A1C1，A1C1∥AC，即 MN∥AC，而AC⊂平面ACC1A1，MN⊄平面ACC1A1，因 此有MN∥平面ACC1A1，故A正确；由平面BCC1B1∥平 面ADD1A1，又B1Q⊂平面BCC1B1，故B1Q∥平面ADD1A1， 故B正确；平面APC即为平面ACC1A1，A，P，C1共线，所以A，P，M三点不共线，故C不正确；平面MNQ与平面ABCD是相交的．故D不正确．故选AB． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．如图所示，三条直线AA1，BB1，CC1不共面，但交于一点O，若AO＝A1O，BO＝B1O，CO＝C1O，那么平面ABC和平面A1B1C1的位置关系是________． 由AO＝A1O，BO＝B1O，且∠AOB＝∠A1OB1，故△AOB≌△A1OB1，因此∠A1B1O＝∠ABO，故A1B1∥AB，又因为A1B1⊂平面A1B1C1，AB⊄平面A1B1C1，故AB∥平面A1B1C1，同理可得BC∥平面A1B1C1，又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，故平面ABC∥平面A1B1C1. 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．如图是某正方体的平面展开图(表面朝下).关于这个正方体，有以下判断：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中判断正确的序号是____________． 以平面ABCD为下底面还原正方体，如图所示，则易判定四个判断都是正确的． ①②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是线段DD1的中点，过点D1作平面α，使得平面α∥平面A1BE，则平面α与正方形B1BCC1的交线的长度为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 取BB1的中点P，连接CP，PD1，CD1，如图所示．因 为CD1∥A1B，CD1⊄平面A1BE，A1B⊂平面A1BE，所以 CD1∥平面A1BE.因为CP∥A1E，CP⊄平面A1BE，A1E⊂ 平面A1BE，所以CP∥平面A1BE.又因为CP，CD1⊂平面 CPD1，CP∩CD1＝C，所以平面CPD1∥平面A1BE.因此平面α即为平面CPD1，即平面α与正方形B1BCC1的交线即为CP.所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)如图所示，底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，AB＝2，PA＝4，PB＝PD＝2 ，AC与BD相交于点O，E为PD中点． (1)求证：EO∥平面PBC；(4分) 解：因为O，E分别是BD，PD的中点， 所以EO∥PB，且EO⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以EO∥平面PBC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)PA上是否存在点F，使平面OEF∥平面PBC．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．(6分) 解：存在，点F是PA的中点，此时，连接EF，OF， 因为O，F分别是AC，AP的中点， 所以OF∥PC，OF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC， 所以OF∥平面PBC， 由(1)可知，EO∥平面PBC，且OF∩EO＝O，且OF，EO⊂平面OEF， 所以平面OEF∥平面PBC， 所以PA上存在中点F，使平面OEF∥平面PBC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．如图所示，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为3，点E在棱A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为 A．1 B．1.5 C．2 D．3 因为平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1＝A1F，平面BC1E∩平面ABB1A1＝BE，所以A1F∥BE，又A1E∥FB，所以四边形A1FBE为平行四边形，所以FB＝A1E＝3－1＝2，所以AF＝1.故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．如图所示，空间图形A1B1C1-ABC是三棱台，在点A1，B1，C1，A，B，C中取3个点确定平面α，α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是 A．A，B1，C B．A1，B，C1 C．A，B，C1 D．A，B1，C1 由空间图形A1B1C1-ABC是三棱台，可得平面ABC∥平面A1B1C1，当平面ABC1为平面α，平面α∩平面A1B1C1＝m时，又平面α∩平面ABC＝AB，所以由面面平行的性质定理可知m∥AB，所以选项C符合要求．故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选)如图所示是四棱锥P-ABCD的平面展开图，其中四边形ABCD是正方形，E，F，G，H分别是PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中，下列结论正确的有 A．平面EFGH∥平面ABCD B．PA∥平面BDG C．EF∥平面BDG D．FH∥平面BDG √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由平面展开图还原四棱锥，如图所示，若O为BD，AC 的交点，则O为BD，AC的中点，连接OG，因为G为P C的中点，故OG∥PA，因为OG⊂平面BDG，PA⊄平面 BDG，所以PA∥平面BDG，故B正确；又F，H为PD， PB的中点，则FH∥BD，因为BD⊂平面BDG，FH⊄平面BDG，所以FH∥平面BDG，故D正确；由E，F为PA，PD的中点，则EF∥AD，又AD∩平面BDG＝D，所以EF与平面BDG不平行，故C错误；由EF∥AD，AD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，则EF∥平面ABCD，同理可得EH∥平面ABCD，而EH∩EF＝E，EH，EF⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确．故选ABD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)(开放题)如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上 的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO，理由如下： 连接PQ，如图所示， 因为Q为CC1的中点，P为DD1的中点， 所以PQ∥DC，PQ＝DC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥DC，AB＝DC，所以PQ∥AB，PQ＝AB， 则四边形PQBA为平行四边形，所以AP∥BQ. 因为QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO， 所以QB∥平面PAO. 因为P，O分别为DD1，DB的中点， 所以PO为△DBD1的中位线． 所以D1B∥PO. 因为D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO， 所以D1B∥平面PAO. 又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ， 所以平面D1BQ∥平面PAO. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(开放题)如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件____________________________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况) 连接HN，FH(图略)，则由已知得HN∥平面B1BDD1，FH∥平面B1BDD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，所以当M在线段FH上运动时，有MN∥平面B1BDD1. 点M在线段FH上(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝ BC＝4，BB1＝2 ，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1 的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面 相交，交线围成一个平面图形．在图中，画出这个平面图 形，并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由). 解：如图所示，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM，则四边形MNAC为所求的平面图形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为M，N，E，F均为中点，所以MN∥EF，又EF⊂平面DEF，MN⊄平面DEF，所以MN∥平面DEF， 又AN∥DE，AN⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， 所以AN∥平面DEF， 又MN∩AN＝N，MN，AN⊂平面MNAC， 所以平面MNAC∥平面DEF. 易知MN∥AC，四边形MNAC为梯形， 过点M作MP⊥AC于点P， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 立 体 几 何 初 步 返回 解：由(1)得AC∥BD，所以＝，所以＝， 所以CD＝ cm， 所以PD＝PC＋CD＝3＋＝(cm). ＝ ＝ 因为＝，所以＝，则NE∥AD， 所以MN＝AC，即＝. CP＝＝. 所以S梯形MNAC＝×(2＋4)×＝6. 且MN＝AC＝2， 可得MC＝＝2，PC＝＝， 所以MP＝＝， $$