9 5.2 平面与平面垂直-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

5.2　平面与平面垂直 　 第六章 §5　垂直关系 知识目标 1．理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小．　 2．掌握两个平面互相垂直的概念．　 3．掌握平面与平面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题． 4．掌握平面与平面垂直的判定定理，能用定义和定理判定面面垂直． 素养目标 通过对二面角、平面与平面垂直定义的理解以及发现平面与平面垂直的判定定理，提升学生直观想象与数学抽象素养；通过面面垂直的性质定理以及利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，提升学生逻辑推理素养． 知识点一　二面角的概念 1 知识点二　平面与平面垂直的性质 2 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点三　平面与平面垂直的判定 3 知识点一　二面角的概念 返回 问题导思 问题1．如图所示，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画这个角的大小呢？ 提示： 是指“门面与墙面的夹角”即二面角，应用二面角的平面角刻画这个角的大小． 新知构建 1．半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为________． 2．二面角的概念 定义 从一条直线出发的_____________所组成的图形 相关概念 (1)这条直线称为二面角的___； (2)这两个半平面称为二面角的___ 画法 记法 二面角__________或_________ 半平面 两个半平面 棱 面 α-AB-β α-l-β 3．二面角的平面角 定义 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作___________的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角 图形 符号 范围 ______________________ 垂直于棱 0°≤∠AOB≤180° 4．平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直． (2)画法： (3)记作：_______． 直二面角 α⊥β 微思考 二面角的平面角∠AOB的大小与点O在直线l上的位置有关吗？为什么？ 提示：二面角的平面角的大小由二面角的两个半平面的位置唯一确定，与棱上点的位置无关． 角度1　二面角及其平面角的概念 (多选)下列命题中，正确的是 A．两个相交平面组成的图形叫作二面角 B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b的夹角与这个二面角的平面角相等或互补 C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线的夹角的最小角 D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 例1 √ √ 由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，故A错误，实质上两个相交平面共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故B正确；C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故C错误；由定义知D正确．故选BD． 规律方法 二面角概念的注意点 1．要注意区别二面角与两相交平面的夹角并不一致． 2．要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别． 3．可利用实物模型，作图帮助判断．　　 对点练1．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角 A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 √ 如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG 转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角 H-DG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不 确定．故选D． 角度2　求二面角的大小 　如图所示，在正方体ABCD -A′B′C′D′中： (1)求二面角D′-AB-D的大小； 解：在正方体ABCD -A′B′C′D′中，AB⊥平面ADD′A′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD， 因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角． 在Rt△D′DA中，∠ADD′＝90°，AD＝DD′， 所以∠D′AD＝45°， 所以二面角D′-AB-D的大小为45°. 例2 (2)求二面角A′-AB-D的大小． 解：因为AB⊥平面ADD′A′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD为二面角A′-AB-D的平面角． 又∠A′AD＝90°，所以二面角A′-AB-D的大小为90°. 规律方法 求二面角的平面角大小的步骤 对点练2．如图所示，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC． 求二面角P-BC-A的大小． 解：由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 得PA⊥BC． 因为AB是⊙O的直径，且点C在圆周上， 所以AC⊥BC． 又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC． 又PC⊂平面PAC，所以PC⊥BC． 又因为BC是二面角P-BC-A的棱， 所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角． 由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形， 所以∠PCA＝45°， 即二面角P-BC-A的大小是45°. 返回 知识点二　平面与平面垂直的性质 返回 问题导思 问题2．在教室里，黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 提示：在黑板所在的平面内画一条垂直黑板所在的平面与地面所在的平面的交线的垂线即可． 问题3．如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，平面 A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD， 那么直线A1A与平面ABCD垂直吗？平面A1ADD1内还有 哪些直线与平面ABCD垂直？ 提示：直线A1A与平面ABCD垂直，在平面A1ADD1内与交线AD垂直的直线都与平面ABCD垂直． 新知构建 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的______，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，______，______⇒a⊥β 图形语言 作用 (1)面面垂直⇒线面垂直；(2)作面的垂线 交线 a⊂α a⊥l 微思考 若平面 α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，则直线a与平面α具有什么位置关系？ 提示：a⊂α (链教材P242例4)如图所示，在三棱锥P -ABC中，PA⊥ 平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB． 证明：如图所示，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D． 因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB， 所以AD⊥平面PBC． 又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC． 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC， 因为PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB．又AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB． 例3 规律方法 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点： 1．两个平面垂直． 2．直线必须在其中一个平面内． 3．直线必须垂直于它们的交线．　　 对点练3．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，CB＝BA＝ AD＝2， AD∥CB，∠CPD＝∠ABC＝90°，平面PCD⊥平面ABCD． 求证：PD⊥平面PCA． 证明：取AD的中点E，连接AC，CE，如图所示， 因为AD∥CB，AE＝ AD＝CB， 所以四边形AECB为平行四边形，则AB＝CE， 又AB＝ AD，所以CE＝ AD，则AC⊥CD， 因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AC⊂平面ABCD， 所以AC⊥平面PCD，又PD⊂平面PCD， 所以AC⊥PD， 又∠CPD＝90°，即PD⊥PC，且AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面PCA， 所以PD⊥平面PCA． 返回 知识点三　平面与平面垂直的判定 返回 问题导思 问题4．如图所示，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检验所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面．这种方法说明了什么道理？ 提示：如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直． 新知构建 平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊂α，l⊥β ⇒α⊥β 垂线 微提醒 (1)由该定理可知要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直．(2)两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，也是找出一个平面垂面的依据． (链教材P246例8)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. 证明：平面ACC1A1⊥平面BCC1B1. 证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC，又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC， A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又因为BC⊂平面BCC1B1， 所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1. 例4 规律方法 证明平面与平面垂直的方法 1．利用定义：证明二面角的平面角为直角． 2．利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．　　 对点练4．在如图所示的空间几何体中，△ACD与△ACB 均是等边三角形，直线ED⊥平面ACD，直线EB⊥平面ABC， DE⊥BE. 求证：平面ABC⊥平面ADC． 证明：如图所示，设平面BDE与直线AC的交点为O，连接BO，DO. 因为直线ED⊥平面ACD，直线EB⊥平面ABC，AC⊂平面ACD，AC⊂平面ABC， 所以DE⊥AC，BE⊥AC． 因为DE∩BE＝E，DE⊂平面BDE，BE⊂平面BDE， 所以AC⊥平面BDE. 因为BO⊂平面BDE，DO⊂平面BDE， 所以BO⊥AC，DO⊥AC． 又因为△ACD与△ACB均是等边三角形， 所以O为AC中点，且二面角B-AC-D的平面角为∠BOD． 在平面四边形BODE中，因为∠BED＝∠EDO＝∠EBO＝90°， 所以∠BOD＝90°，所以平面ABC⊥平面ADC． 返回 综合应用 返回 例5 直线与平面垂直、平面与平面垂直的应用 (链教材P243例9)如图所示，将矩形ABCD沿对角线 BD把△ABD折起，使A移到A1处，且点A1在平面BCD上的 射影O恰好在CD上． (1)求证：BC⊥A1D； 证明：因为点A1在平面BCD上的射影O在CD上， 所以A1O⊥底面ABCD，故A1O⊥BC． 因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥CD． 因为A1O∩CD＝O，A1O，CD⊂平面CDA1， 所以BC⊥平面CDA1. 因为A1D⊂平面CDA1，所以BC⊥A1D． (2)求证：平面A1BC⊥平面A1BD． 证明：因为A1D⊥A1B，且BC⊥A1D，A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC， 所以A1D⊥平面A1BC．因为A1D⊂平面A1BD， 所以平面A1BC⊥平面A1BD． 规律方法 1．在解决垂直问题的过程中，要注意平面与平面垂直的判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意面面垂直和线面垂直的互相转化． 2．在应用线面平行、垂直的判定定理和性质定理证明有关问题时，除了运用转化思想，还应注意寻找线面平行、垂直所需要的条件．　　 对点练5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点． (1)求证：AM⊥平面PCD； 证明：在正方形ABCD中，易知CD⊥AD， 又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD， 所以CD⊥平面PAD． 又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM. 因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，可得AM⊥PD， 又CD∩PD＝D，且CD，PD⊂平面PCD， 所以AM⊥平面PCD． (2)设正方形ABCD的边长为2a，求侧面PBC与底面ABCD夹角的余弦值． 解：取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，如图所示： 则EF＝CD，EF∥CD，EF⊥AD． 又△PAD是正三角形， 所以PE⊥AD， 显然EF∩PE＝E，且EF，PE⊂平面PEF， 所以AD⊥平面PEF， 在正方形ABCD中，AD∥BC，故BC⊥平面PEF， 即∠PFE是侧面PBC与底面ABCD的夹角的平面角， 又因为CD⊥平面PAD，EF∥CD， 所以EF⊥平面PAD， 又PE⊂平面PAD，可得EF⊥PE， 因为正方形ABCD的边长为2a， 返回 课堂小结 知识 1．二面角以及二面角的平面角. 2．平面与平面垂直的性质定理. 3．平面与平面垂直的判定定理 方法 转化与化归、定义法、定理法 易错误区 面面垂直性质定理中易忽视应在其中一个面内作两平面交线的垂线，该垂线才与另一个平面垂直 随堂演练 返回 1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是 A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.故选C． √ √ 3．在三棱锥A -BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有 A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ADC⊥平面BCD C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADB 如图所示，因为AD⊥BC，AD⊥CD，BC∩CD＝C，BC， CD⊂平面BCD，所以AD⊥平面BCD，又AD⊂平面ADC， 所以平面ADC⊥平面BCD．故选B． √ 4．在45°的二面角的一个面上有一点P，它到棱的距离等于 ，则点P到另一个平面的距离为________． 如图所示，二面角α-l-β大小为45°，点P∈α，PA⊥l于A， 且PA＝ ，过P作PB⊥β于B，连接AB，显然PB⊥l，而 PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，则l⊥平面PAB，又AB ⊂平面PAB，因此AB⊥l，∠PAB是二面角α-l-β的平面角，即∠PAB＝45°，于是PB＝PA sin 45°＝1，所以点P到另一个平面的距离为1. 1 返回 课时测评 返回 1．已知两个平面垂直，下列命题正确的是 A．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 B．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线 C．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面 D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 一个平面内只有垂直于交线的直线和另一平面垂直，才和另一个平面内的任意一条直线垂直，故A，C错误；过一个平面内任意一点作交线的垂线，该垂线在平面内时，则此垂线必垂直于另一个平面，若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，此垂线不一定垂直于另一个平面，故D错误；因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，故都与该直线垂直，故B正确．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知a为直线，α，β为平面，α⊥β，α∩β＝l，若a⊥β成立，则需要的条件为 A．a⊥l B．a∥α C．a⊥α D．a⊂α，a⊥l a为直线，α，β为平面，α⊥β，α∩β＝l，若a⊥l，直线a与平面β的关系不确定，故A不是；若a∥α，直线a可以与直线l平行，此时不能推出a⊥β，故B不是；若a⊥α，直线a可以平行于β或在平面β内，故C不是；若a⊥l，且a⊂α，由面面垂直的性质，a⊥β成立．故选D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°，则这个二面角的大小是 A．30° B．60° C．90° D．120° 因为AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的高，所以BD＝DC＝ AC，即B′D＝DC＝ AC，且B′D⊥AD，CD⊥AD，因此∠B′DC是所求二面角的平面角．因为∠B′AC＝60°，AB′＝AC．所以△B′AC是等边三角形，因此B′C＝AB′＝AC，所以在△B′DC中，有B′D2＋DC2＝B′C2，所以∠B′DC＝90°.故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．如图所示，在三棱锥P-ABC中，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则在三棱锥P-ABC的四个面中，互相垂直的面有 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 因为PA⊥PB，PB⊥PC，PA∩PC＝P，且PA，PC⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，因为PB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC，又因为PB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，同理可证：平面PAB⊥平面PBC，所以在三棱锥P-ABC的四个面中，互相垂直的面有3对．故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是 A．PC⊥BC B．AC⊥平面PCB C．平面PAB⊥平面PBC D．平面PAC⊥平面PBC √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为AB是圆的直径，C在圆上，则AC⊥BC，因为PA⊥平 面ABC，BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，因为PA∩AC＝A，所 以BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以PC⊥BC，故A正 确；又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC．故D正确； 若AC⊥平面PCB，则AC⊥PC，而PA⊥平面ABC，则PA⊥ AC，PA，PC重合，矛盾，故B错误；若平面PAB⊥平面PBC，作CD⊥PB于D，如图所示，因为平面PAB∩平面PBC＝PB，所以CD⊥平面PAB，而PA⊂平面PAB，所以CD⊥PA，因为CD∩BC＝C，所以PA⊥平面PBC，于是平面PBC与平面ABC重合，矛盾，故C错误．故选AD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于点M，则MN与AD的位置关系是________． 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可得平面BCC1B1⊥平面ABCD，又因为MN⊥BC，平面BCC1B1∩平面ABCD＝BC，且MN⊂平面BCC1B1，所以MN⊥平面ABCD，又由AD⊂平面ABCD，所以MN⊥AD． 垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABC1D1和平面ABCD所成二面角的大小是________． 因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以AB⊥平面B1C1CB，所以AB⊥BC1，AB⊥BC，所以∠C1BC是平面ABC1D1和平面ABCD所成的二面角的平面角．因为∠C1BC＝45°，所以平面ABC1D1和平面ABCD所成的二面角的平面角为45°. 45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．(开放题)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面．给出下列四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个正确命题：若_________________,则_______________．(注： ) 由m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，当n⊂α，n⊥β，则α⊥β； 当n∥α，过n作平面交α于l，则n∥l，而n⊥β，所以l⊥β， 而l⊂α，则α⊥β.综上，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β.故 答案为①③④，②(答案不唯一). ①③④(答案不唯一) ②(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)如图所示，在四棱锥S -ABCD中，已知 底面ABCD是一个菱形，AC∩BD＝O，且SA＝SC， SB＝SD． (1)求证：平面SAC⊥平面ABCD；(4分) 证明：因为底面ABCD是一个菱形，AC∩BD＝O，所以O为AC，BD的中点， 又SA＝SC，SB＝SD，所以SO⊥BD，SO⊥AC． 因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD， 所以SO⊥平面ABCD．又SO⊂平面SAC， 所以平面SAC⊥平面ABCD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求证：BD⊥SC．(6分) 证明：因为底面ABCD是一个菱形，AC∩BD＝O， 所以O为BD的中点，且AC⊥BD，又SB＝SD， 所以SO⊥BD， 又AC∩SO＝O，AC，SO⊂平面SAC， 所以BD⊥平面SAC， 又SC⊂平面SAC，所以BD⊥SC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(多选)已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题，其中正确的命题是 A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n C．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β D．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α⊥β √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，因为m⊥α，m⊥n，所以n∥α或n⊂α，又n⊥β，所 以α⊥β，故A正确；对于B，如图所示，在正方体AH中， FH＝m，面ABCD＝α，面BCHG＝β，显然α∩β＝BC，而 FH与BC不平行，即B错误；对于C，如图所示，在正方体 AH中，GB＝m，面ABCD＝α，AB＝n，面FEHG＝β，显然符合条件，而α∥β，不垂直，即C错误；对于D，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n∥β，所以α⊥β，故D正确．故选AD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A-BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是 ①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面 BCD＝BD，CD⊥BD，CD⊂平面BCD，所 以CD⊥平面ABD，又因为CD⊂平面ACD， 所以平面ACD⊥平面ABD，故①正确；因为 平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面ACD，因为AC⊂平面ACD，所以AB⊥AC，故②正确；因为AB⊥平面ACD，AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD，故③正确．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为30°，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成60°角，沿这条直道向上100米后，升高了 ________米． 如图所示，CD表示斜坡上的直道，AB表示坡脚水平线， 由题意知CD＝100米，作DH⊥过BC的水平面，垂足为H， 线段DH的长度就是所求的高度，在平面DBC内，过点D作 DG⊥BC，连接GH，因为DH⊥平面BCH，BC⊂平面BCH，所以DH⊥BC，又DG⊥BC，DH∩DG＝D，DH，DG⊂平面DGH，所以CB⊥平面DGH，又GH⊂平面DGH，所以GH⊥BC，所以∠DGH为坡面DGC与水平面BCH所成二面角的平面角，则∠DGH＝30°，依题意，∠DCG＝60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形， ∠BCD＝60°，PA⊥底面ABCD，求在CD上确定一点E， 使得平面PBE⊥平面PAB． 解：取CD的中点E，连接PE，BE，BD，如图所示． 由底面ABCD是菱形且∠BCD＝60°知， △BCD是等边三角形． 因为E是CD的中点，所以BE⊥CD． 又AB∥CD，所以BE⊥AB． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又因为PA⊥平面ABCD， BE⊂平面ABCD， 所以PA⊥BE. 而PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BE⊥平面PAB． 又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB． 所以当E为CD的中点时，平面PBE⊥平面PAB． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(多选)如图所示，在四面体 PABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F 分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中成立的是 A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面 PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDF⊥平面 ABC √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，因为D，F分别为AB，AC的中点，可得BC∥DF，又因 为BC⊄平面PDF，且DF⊂平面PDF，所以BC∥平面PDF，故A正 确；对于B，因为AB＝AC，且E为BC的中点，所以BC⊥AE，又 因为PB＝PC，且E为BC的中点，所以BC⊥PE，因为AE∩PE＝ E且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，又因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故B正确；对于C，由B项知：DF⊥平面PAE，因为DF⊂平面PDF，所以平面PDF⊥平面PAE，故C正确；对于D，设直线DF∩AE＝O，连接PO，如图所示，易得△PAD≌△PAF，可得PD＝PF，所以PO⊥DF，假设平面PDF⊥平面ABC，且平面PDF∩平面ABC＝DF，PO⊂平面PDF，所以PO⊥平面ABC，因为OE⊂平面ABC，所以PO⊥OE，又因为PO与OE不一定垂直，所以平面PDF与平面ABC不一定垂直，故D错误．故选ABC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)如图所示，正方形ABCD与正三角形ADP所在平 面互相垂直，Q是AD的中点． (1)求证：PQ⊥BQ；(7分) 证明：因为PA＝PD，Q为AD的中点． 所以PQ⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊂平面PAD，所以PQ⊥平面ABCD． 因为BQ⊂平面ABCD，所以PQ⊥BQ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)在线段AB上是否存在一点N，使平面PCN⊥平面PQB？并证明你的结论．(10分) 解：存在点N，当N为AB中点时，平面PCN⊥平面PQB，如图所示． 证明如下： 因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，则Rt△CBN≌Rt△BAQ， 所以∠ABQ＝∠BCN，又∠ABQ＋∠CBQ＝90°，所以∠BCN＋∠CBQ＝90°， 所以BQ⊥NC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)知，PQ⊥平面ABCD，NC⊂平面ABCD， 所以PQ⊥NC． 因为BQ∩PQ＝Q，BQ，PQ⊂平面PQB，所以NC⊥平面PQB． 因为NC⊂平面PCN， 所以平面PCN⊥平面PQB． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 立 体 几 何 初 步 返回 ⇒ 则EF＝2a，PE＝a， 由勾股定理可得PF＝＝a， 则cos ∠PFE＝＝， 故侧面PBC与底面ABCD夹角的余弦值为. 2．如图，边长为2的两个等边三角形ABC，DBC，若点A到平面BCD的距离为，则二面角A-BC-D的大小为 A． B． C． D． 设BC的中点为E，连接AE，DE，过点A作AF⊥ED，垂足为F，因为△ABC，△DBC均为等边三角形，故AE⊥BC，DE⊥BC，故∠AED为二面角A-BC-D的平面角，又AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面AED，故BC⊥平面AED，而AF⊂平面AED，故BC⊥AF，又AF⊥ED，DE∩BC＝E，DE，BC⊂平面BCD，故AF⊥平面BCD，则点A到平面BCD的距离为AF＝，又△ABC为等边三角形，边长为2，故AE＝2×sin ＝，故在Rt△AFE中，sin ∠AEF＝＝＝，则∠AEF＝，即∠AED＝，故二面角A-BC-D的大小为.故选A． 用序号作答 25 则DG＝100×＝50，故DH＝DG sin 30°＝50×＝25(米). $$