14 6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

6.1　余弦定理与正弦定理 第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 　 第二章 §6　平面向量的应用 知识目标 1．了解余弦定理、正弦定理在解三角形中适合的边角类型．　 2．利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状．　 3．掌握余弦定理、正弦定理的简单应用． 素养目标 通过对余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，培养学生逻辑推理、数学运算素养． 课时测评 2 内容索引 随堂演练 1 新知构建 1．在解三角形时，适合用余弦定理的题目类型 (1)已知两边及夹角； (2)已知三边； (3)已知两边及一边的对角． 2．在解三角形时，适合用正弦定理的题型 (1)已知两角及一边； (2)已知两边及一边的对角． 3．三角形中常用的变形和结论 由A＋B＋C＝180°可得 (1)sin (A＋B)＝_____，cos (A＋B)＝______，tan (A＋B)＝______ ； sin C －cos C －tan C 4．重要结论：在△ABC中， (1)若sin A＝sin B或cos A＝cos B，则_______； (2)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ ； (3)a cos B＋b cos A＝c，b cos C＋c cos B＝a，a cos C＋c cos A＝b.(可以利用余弦定理推导、也可以利用投影得到结论) A＝B 类型一　用余弦定理、正弦定理解决有关几何计算问题 　(链教材P120例7)如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠ABC＝105°，∠C＝60°，BC＝1，CD＝2. (1)求∠CBD的大小； 解：在△BCD中，由余弦定理，得 由BC＝1，CD＝2，得BC2＋BD2＝CD2， 所以∠CBD＝90°. 例1 (2)求AB的值． 解：因为∠ABC＝105°，∠CBD＝90°， 所以∠ABD＝105°－90°＝15°， 所以∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝120°， 规律方法 平面几何中长度、角度的计算问题的一般思路 1．把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理求解． 2．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 注意：做题过程中，可能用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，把这些性质与正弦定理、余弦定理有机结合，才能更顺利解决问题． (1)求∠BAC； (2)若A，B，C，D四点共圆，求四边形ABCD面积的最大值． 在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D， 即3＝AD2＋CD2＋AD·CD≥3AD·CD， 所以AD·CD≤1，当且仅当AD＝CD＝1时取等号． 类型二　余弦定理、正弦定理在实际中的应用 (链教材P121例8)如图所示，某快递小哥从A地出 发，沿小路AB→BC以平均时速30公里/小时送快件到C 处，已知BD＝8(公里)，∠DCB＝45°，∠CDB＝30°， △ABD是等腰三角形，∠ABD＝120°. (1)试问，快递小哥能否在30分钟内将快件送到C处？ 解：在△BCD中，∠DCB＝45°，∠CDB＝30°，则∠CBD＝105°， 因为△ABD是等腰三角形，∠ABD＝120°，所以AB＝BD＝8(公里)， 例2 所以快递小哥能在30分钟内将快件送到C处． (2)快递小哥出发5分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问 汽车是否先到达C处？ 解：在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos ∠ABD， 所以汽车不能先到达C处． 规律方法 余弦定理、正弦定理在实际中的应用，本质是正弦、余弦定理在解决几何图形(主要是三角形、四边形)问题中的应用，关键是分清在哪个三角形中利用正弦、余弦定理解决问题．　　 对点练2．“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄 章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两 条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具． 有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10 cm，较短 边为5 cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点A，B，C都在圆周上，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c＝4 cm. (1)求sin C； (2)若△ABC的面积为8cm2，且a>c，求△ABC的周长． 解：因为a>c，则A>C，故C为锐角， 类型三　余弦定理、正弦定理与向量知识的综合 (链教材P122例9)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，cos A)，n＝(sin B，b)，且m⊥n. (1)求角A； 例3 因为B是△ABC的内角，所以sin B≠0， (2)若a＝7，b＝3，求△ABC的面积． 解得c＝5(c＝－8舍去)， 规律方法 三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、平面向量等知识联系在一起综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．　　 对点练3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2). (1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； 证明：因为m∥n，所以a sin A＝b sin B. 所以由正弦定理得 (2R为△ABC外接圆直径)，所以a2＝b2，所以a＝b， 所以△ABC为等腰三角形． 解：由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C， 即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 所以(ab)2－3ab－4＝0，所以ab＝4或－1(舍去)， 返回 课堂小结 知识 1．利用正余弦定理求解平面几何问题以及在实际中的简单应用. 2．正余弦定理与向量知识的综合 方法 化归与转化、数形结合 易错误区 用正弦定理进行边和角的转化时易出现不等价变形 随堂演练 返回 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B＝30°，ac＝6，且sin A＋sin C＝2sin(A＋C)，则b的值为 √ 2．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝CD＝2，BC＝6，∠BCD＝120°，AD⊥AB，则AB＝ √ 3．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝2，△ABC的面积为2sin B，则cos A＝ √ 8 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．(多选)已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，则下列结论正确的有 A．△ABC为钝角三角形 B．△ABC为锐角三角形 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 直角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c cos B＝2a－b，则C＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ (1)求角A的大小；(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求边长c．(7分) 即c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2， 所以△ABC为锐角三角形，符合题意，所以c＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝ ，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________． 如图所示：记AB＝c，AC＝b，BC＝a， 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)求证：A＝B；(3分) 所以bc cos A＝ac cos B，即b cos A＝a cos B. 所以a＝b，所以A＝B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求边长c的值；(4分) 即b2＋c2－a2＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即c2＋b2＋2＝6，所以c2＋b2＝4. 所以△ABC为正三角形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B， 所以BC2－2BC－63＝0，解得BC＝9或BC＝－7(舍去). 因为BD＝2DC，所以BD＝6，DC＝3. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 (2)sin ＝cos ，cos ＝_________． sin BD＝ ＝＝. 在△ABD中，由正弦定理得＝， 所以AB＝＝＝. 则∠BAC＝π－∠ACB－B＝. 对点练1．如图所示，在平面四边形ABCD中，∠B＝，AB＝2，AC＝. 解：在△ABC中，由正弦定理得＝， 所以sin ∠ACB＝＝＝1. 又∠ACB∈，所以∠ACB＝， 故四边形ABCD面积的最大值为. 解：因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π，D＝π－B＝. 所以△ACD的面积S△ACD＝AD·CD·sin D≤. 又S△ABC＝AB·AC·sin ∠BAC＝×2××＝， 则四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ACD≤＋＝. 由正弦定理得＝＝，所以BC＝4(公里)， 因为×60＝16＋8≈27.3<30(分钟)， (参考数据：≈1.414，≈1.732，sin 105°＝) 得AD＝8(公里)， 由(1)知CD＝＝＝4(＋1)(公里). 又因为×60＋5＝12＋9≈29.8>27.3(分钟)， 解： 设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝5(cm)， 由正弦定理得＝2R，故sin C＝＝＝. 故△ABC的周长为a＋b＋c＝12＋4(cm). 所以cos C＝＝， 由面积公式S＝ab sin C，即8＝ab×，可得ab＝20， 由余弦定理得cos C＝＝，即＝， 可得2＝144，解得a＋b＝12(cm)， 解：因为m⊥n，所以m·n＝a sin B＋b cos A＝0， 由正弦定理得sin A sin B＋sin B cos A＝0， 所以sin A＋cos A＝0，即tan A＝－， 因为A是△ABC的内角，所以A＝. 解：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得49＝9＋c2－6c cos ， 所以S△ABC＝bc sin A＝×3×5sin ＝. a·＝b· (2)若m⊥p，c＝2，C＝，求△ABC的面积． 所以S△ABC＝ab sin C＝×4×sin ＝. 故△ABC的面积为. A．4＋2 B．4－2 C．－1 D．1＋ 因为sin A＋sin C＝2sin(A＋C)，所以sin A＋sin C＝2sin B，由正弦定理可得：a＋c＝2b，由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－ac＝4b2－12－6，解得b2＝4＋2，所以b＝1＋.故选D. A．4 B．8 C．3 D．6 连接BD，图略，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2BC·CD·cos ∠BCD＝52，所以BD＝2，在△ABD中，易知∠BAD＝90°，AD＝2，所以AB＝＝4.故选A． A． B． C． D． 因为b＝3，c＝2，△ABC的面积为2sin B，所以S△ABC＝ac sin B＝2sin B，所以a＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即22＝32＋22－2×3×2cos A，解得cos A＝.故选D. 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝3，sin C＝2sin A，则c＝________，·＝__________． 2 在△ABC中，sin C＝2sin A，a＝，由正弦定理可得c＝2a＝2.在△ABC中，a＝，b＝3，c＝2.由余弦定理可得cos B＝＝＝，所以·＝ca cos B＝2××＝8. 1．在△ABC中，a＝2b－c，sin B＝2sin C，则cos A的值为 A． B． C．－ D．－ 由sin B＝2sin C以及正弦定理可得b＝2C．又因为a＝2b－c＝3c，所以a＝C．由余弦定理可得cos A＝＝＝.故选A． 2．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且满足＝＝，则△ABC的形状是 由正弦定理＝＝及＝＝，得＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．故选C． 3．在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，如图所示，∠BAD＝75°，DC＝1，AC＝，则AB＝ A． B． C．2 D．3 ∠ADC＝∠B＋∠BAD＝45°＋75°＝120°，故∠ADB＝60°，在△ACD中，根据余弦定理得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos 120°，即7＝AD2＋1－2AD×1×，所以AD2＋AD－6＝0，所以AD＝2，在△ABD中，根据正弦定理得＝，则AB＝＝＝.故选B. 4．(新情境)在公元前500年左右的毕达哥拉斯学派的数学家们坚信，“万物皆(整)数与(整)数之比”，但后来的数学家发现了无理数，引发了数学史上的第一次数学危机．如图是公元前400年古希腊数学家泰特拖斯用来构造无理数，，，……的图形，此图形中∠BAD的余弦值是 A． B． C． D． 在△BCD中，∠DCB＝135°⇒BD2＝1＋1－2×1×1×(－)＝2＋，在△BAD中，cos ∠BAD＝＝.故选D. 5．(多选)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝60°，b＝2，c＝＋1，则下列说法正确的是 A．C＝75°或C＝105° B．B＝45° C．a＝ D．该三角形的面积为 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4＋4＋2－2×2×(＋1)×＝6，所以a＝.由正弦定理得sin B＝＝＝.又0°<B<120°，所以B＝45°，所以C＝180°－B－A＝75°，S△ABC＝bc sin A＝×2×(＋1)×sin 60°＝，故B，C正确，A，D错误．故选BC． C．△ABC的面积为 D．·＝ 在△ABC中，cos A＝＝－<0，因为0°<A<180°，所以A＝120°，所以△ABC为钝角三角形，故A正确，B错误；S△ABC＝AB·AC·sin A＝，故C正确；·＝··cos A＝－，故D错误．故选AC． 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2＋b2－ab＝c2，且＝，则该三角形为________三角形． 因为a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝⇒sin C＝，因为＝⇒＝⇒sin B＝1⇒B＝90°，所以该三角形为直角三角形． 由2c cos B＝2a－b，得2c·＝2a－b，变形可得a2＋c2－b2＝a(2a－b)，即a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝，因为C∈(0，π)，则C＝. ，b＝3，sin B＋sin A＝2. 解：在△ABC中，由＝，得＝，即sin B＝3sin A， 因为sin B＋sin A＝2，所以sin A＝， 因为△ABC是锐角三角形，所以A＝. 解：在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故7＝9＋c2－2×3×c×， 当c＝1时，因为cos B＝＝－＜0，所以角B为钝角，不符合题意，舍去； 当c＝2时，因为cos B＝＝＞0，且b＞c，b＞a，所以B＞C，B＞A， 10．在△ABC中，sin2B－sin2A＞sin2C－sinA sin C，则B的取值范围是 A． B． C． D． 由正弦定理得b2－a2＞c2－ac，即a2＋c2－b2＜ac，则cos B＝＜，又因为B∈(0，π)，所以B∈.故选D. 11．(新定义)(多选)定义运算＝mn－pq.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足＝0，则下列结论正确的是 A．sin A＋sin C＝2sin B B．A∶C＝1∶2 C．B的最大值为 D．若a sin A＝4c sin C，则△ABC为钝角三角形 由＝0，可得(a＋b＋c)－3(a＋c－b)＝0，整理可得a＋c＝2b，由正弦定理可得sin A＋sin C＝2sin B，故A正确；因为A＝B＝C＝满足a＋c＝2b，但不满足A∶C＝1∶2，故B不正确；cos B＝＝＝≥＝＝(当且仅当a＝c时等号成立)，又0<B<π，所以B的最大值为，故C正确； 由a sin A＝4c sin C，可得a2＝4c2，即a＝2c，又a＋c＝2b，所以c＝b，a＝b，a为最大边，cos A＝＝＝－<0，A∈(0，π)，所以A为钝角，△ABC为钝角三角形，故D正确．故选ACD. 由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋， ×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°， 解得AD＝＝＝2. 13．(13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝1. 证明：因为·＝·， 由余弦定理得b·＝a·， 解：因为·＝1，所以bc cos A＝1. 由余弦定理得bc·＝1， 因为由(1)得a＝b，所以c2＝2，所以c＝. 所以S△ABC＝×××sin 60°＝. (3)若|＋|＝，求△ABC的面积．(6分) 解：因为|＋|＝， 所以||2＋||2＋2·＝6， 因为c2＝2，所以b2＝2，b＝. 14．(5分)(新角度)几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(称为拿破仑三角形)的顶点．在△ABC中，已知A＝90°，AC＝2，BC＝4，现以边AB，BC，CA向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为D，E，F，则DE的长为 A．4 B．2 C．3 D．2 在Rt△ABC中，AB＝＝6，由题意可知BE＝×＝×＝4，BD＝×＝×＝2，且∠EBC＝∠CBA＝∠ABD＝30°，可知∠EBD＝90°，所以DE＝＝2.故选B. 15．(17分)某农户有一个三角形地块ABC，如图所示．该农户想要围出一块三角形区域ABD(点D在BC上)用来养一些家禽，经专业测量得到AB＝3，cos B＝. (1)若cos ∠ADC＝－，求AD的长；(7分) 解：在△ABC中，cos B＝，且B∈(0，π)，所以sin B＝.因为cos ∠ADC＝－，∠ADC∈(0，π)，所以∠ADC＝，所以sin ∠ADB＝sin (π－∠ADC)＝sin ＝.在△ABD中，由正弦定理可得＝， 所以AD＝＝＝4. (2)若BD＝2DC，＝4，求△ADC的周长．(10分) 解：因为BD＝2DC，所以＝2， 所以＝2， 即＝·＝2，可得AC＝6. 在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝33，所以AD＝， 所以△ADC的周长为3＋6＋. $$