13 6.1 第2课时 正弦定理-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

6.1　余弦定理与正弦定理 第2课时　正弦定理 　 第二章 §6　平面向量的应用 知识目标 1．能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，理解正弦定理的推导过程．　 2．掌握正弦定理，并能利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 素养目标 通过对正弦定理的推导，培养学生逻辑推理素养；通过对正弦定理的应用，培养学生数学运算与数学建模素养． 知识点一　正弦定理 1 知识点二　正弦定理的变形公式 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　正弦定理 返回 问题导思 新知构建 正弦定理 语言表述 在一个三角形中，各边和它所对角的____________相等 符号表示 作用 实现三角形边与角的互化 正弦的比 微思考 在△ABC中，a＞b 能得到sin A＞sin B吗？反之是否成立呢？ 提示：在△ABC中，由a＞b得到A>B，所以sin A>sin B，反之也成立． 角度1　已知两角及任意一边解三角形 (链教材P117例4 )在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b. 解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°， 例1 规律方法 已知任意两角和一边，解三角形的步骤及注意事项 第一步(求角)：根据三角形内角和定理求出第三个角； 第二步(求边)：根据正弦定理，求另外的两边． 注意：(1)已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． (2)正弦定理实际上是三个等式： 每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． √ 角度2　已知两边及其中一边的对角解三角形 例2 因为0°<C<180°，所以C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°；当C＝120°时，B＝15°. 所以B＝75°，C＝60°或B＝15°，C＝120°. 变式探究 (变条件)若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 规律方法 已知两边及其中一边的对角，解三角形的步骤 第一步：用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．注意讨论该角是否可能有两个值； 第二步：用三角形内角和定理求出第三个角； 第三步：根据正弦定理求出第三条边． 对点练2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝ ，c＝3，C＝60°，解三角形． 所以B＝30°或B＝150°. 又B＋C<180°，所以B＝30°. (也可由b<c，得B<C，所以B＝30°) 所以A＝180°－60°－30°＝90°， 返回 知识点二　正弦定理的变形公式 返回 问题导思 问题3．以Rt△ABC的斜边AB为直径作外接圆，设这个外接圆的半径为R，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值与该三角形外接圆的半径有什么关系呢？ 提示：这个比值是该三角形外接圆半径的2倍． 问题4．对于钝角三角形、锐角三角形上述结论还成立吗？ 提示：如图，成立；推导过程略． 新知构建 (5)a sin B＝b sin A，a sin C＝c sin A，b sin C＝c sin B. 2R sin A 2R sin C a∶b∶c 解：法一：(化角为边) 例3 法二：(化边为角) 所以a sin A＝b sin B. 由正弦定理可得2R sin2A＝2R sin2B，即sinA＝sin B，所以A＝B(A＋B＝π不符合题意舍去)，故△ABC为等腰三角形． 规律方法 利用正弦定理判断三角形形状的两条途径 1．化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为： 2．化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C． √ √ 返回 综合应用 返回 例4 已知两边及一边的对角判断三角形解的个数 　(一题多解)不解三角形，判断下列三角形解的个数： (1)a＝5，b＝4，A＝120°； 法二：因为A＝120°为钝角，a＝5，b＝4，所以a>b，结合图①可知三角形有一解． (2)a＝9，b＝10，A＝60°； 法二：如图②所示，因为a＝9，b＝10，A＝60°， (3)b＝72，c＝50，C＝135°. 法二：b＝72，c＝50，C＝135°，因为C为钝角，c<b，所以三角形无解． 规律方法 已知两边及其中一边的对角， 判断三角形解的个数的方法 1．应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． 规律方法 2．在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：   A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>b sin A 两解 a＝b sin A 一解 a<b sin A 无解 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，________，判断三角形解的情况，并在三角形有两解的情况下解三角形． 解：若选择①： 若选择②： 若选择③： 返回 课堂小结 知识 1．正弦定理. 2．正弦定理的变形结论及其应用. 3．利用正弦定理解三角形 方法 化归与转化、数形结合 易错误区 已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论 随堂演练 返回 √ √ 3．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 √ 60°或120° 返回 课时测评 返回 1．在△ABC中，a＝ ，A＝45°，则△ABC外接圆的半径R等于 A．1 B．2 C．4 D．无法确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a sin A－b sin B＝0，则△ABC的形状为 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 因为a sin A－b sin B＝0，所以由正弦定理得a2－b2＝0，所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形．故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．在△ABC中，已知 ＝2，则其外接圆的面积为 A．π B．2π C．3π D．4π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(2024·江西南昌高一期末)(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下叙述或变形中正确的有 A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．a＝b⇔sin 2A＝sin 2B D．A>B⇔sin A>sin B √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，C＝60°，c＝ ，则角A的值为__________． 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝ ， A＝30°，B＝120°. (1)求边a，c的长度；(4分) 解：因为A＝30°，B＝120°，所以在△ABC中，C＝180°－A－B＝30°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求△ABC的面积及其外接圆半径．(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下面四个结论正确的是 A．若a<b，则sin A<sin B C．若a2＋b2>c2，则△ABC一定是锐角三角形 D．若sin A＝sin B，则a＝b √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是 A．若A＝150°，a＝3，b＝4，则△ABC有一解 B．若A＝30°，a＝1，b＝4，则△ABC无解 D．若A＝60°，a＝b＝2，则△ABC有两解 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 (1)求角A的大小；(5分) 因为B∈(0，π)，C∈(0，π)，所以sin B≠0，sin C≠0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)(开放题)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 c－2b sin C＝0. (1)求角B的大小；(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 问题1．如图所示，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？ 提示：＝＝＝c． 问题2．在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？教材是如何证明的？你还有其他方法吗？ 提示：在一般的△ABC中，＝＝仍然成立，教材借助直角三角形和三角函数的定义来证明．还可以借助外接圆或向量的数量积来证明． ＝＝ 由正弦定理＝， 得b＝＝＝4. ＝，＝，＝， 对点练1．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于 A．1 B．2 C． D． 在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，可得C＝180°－A－B＝30°，由正弦定理，可得c＝＝＝2.故选B. 在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，求B，C． 解：因为＝，所以sin C＝＝＝. 解：因为＝，所以sin A＝＝＝.因为c＝>2＝a，所以C>A．所以A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个． 所以a＝＝2. 所以a＝2，B＝30°，A＝90°. 解：由正弦定理，得＝， 所以sin B＝＝， 证明：如图在Rt△ABC中，C＝90°，＝c，又＝＝，且c＝2R，所以＝＝＝2R. 若R为△ABC外接圆的半径，则＝＝＝2R. (1)a＝_________，b＝2R sin B，c＝_________； (2)sin A＝，sin B＝____，sin C＝____； (3)sin A∶sin B∶sin C＝_________； (4)＝＝＝； (一题多解)在△ABC中，a cos ＝b cos (－B)，判断△ABC的形状． 因为a cos ＝b cos ， 所以a sin A＝b sinB．由正弦定理可得a·＝b·，所以a2＝b2，所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形． 因为a cos ＝b cos ， sin A＝，sin B＝，sin C＝. 对点练3．(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝，则＝ A．2 B． C．4 D．2 由正弦定理可得＝＝＝＝2，则b＝2sin B，c＝2sin C，所以＝＝2.故选A． (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为 A． B．π C．2π D．4π 在△ABC中，A＝75°，B＝45°，所以C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得2R＝＝＝＝2，解得R＝1，故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π.故选B. 解：法一：sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解． 解：法一：sin B＝sin 60°＝×＝，而<<1，所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°<B<90°，满足A＋B<180°； 当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°<B<120°，也满足A＋B<180°.故三角形有两解． 所以b sin A＝10×sin 60°＝5<a＝9，可知b sin A<a<b，故三角形有两解． 解：法一：sin B＝＝sin C>sin C＝，所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解． 对点练4．(开放题)在①A＝，a＝，b＝；②a＝1，b＝，A＝；③a＝，b＝，B＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． 由＝，得sin B＝＝＝，又a＞b，A＝，所以B只能为锐角，所以B＝，所以该三角形只有一解． 由＝，得sin B＝＝＝，因为b＞a，所以B＝或B＝，所以该三角形有两解．当B＝时，C＝，所以c＝＝2；当B＝时，C＝，所以c＝a＝1. 由＝，得sin A＝＝＝1. 因为0＜A＜π，所以A＝，所以该三角形只有一解． 1．在△ABC中，sin A＝，b＝sin B，则a＝ A． B． C． D．2 由＝，得a＝＝＝.故选B. 2．在△ABC中，a＝2，b＝3，则等于 A． B． C． D．不确定 由正弦定理得＝＝.故选B. 由题意可知，＝b＝，则sin B＝1，又B∈(0，π)，所以B＝，△ABC是直角三角形．故选C． 4．在△ABC中，a＝5，b＝5，A＝30°，则B＝_______________． 由正弦定理＝，得sin B＝＝.因为b>a，所以B>A，且0°<B<180°，所以B＝60°或120°. 在△ABC中，由正弦定理可知，＝＝＝2R，因为a＝，A＝45°，所以＝＝2R，解得R＝1.故选A． 2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝，b＝2，则sin B＝ A． B． C． D． 由正弦定理知＝，可得sin B＝＝＝.故选B. 由正弦定理＝＝＝2R(其中R是其外接圆的半径)，得2R＝2，所以R＝1，所以S＝πR2＝π.故选A． C．＝ 对于A，由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；对于B，由正弦定理得a＝b⇔A＝B，而当sin 2A＝sin 2B时，则2A＝2B或2A＋2B＝π，则A＝B或A＋B＝，故B错误；对于C，由正弦定理得＝，所以＝，故C正确；对于D，A>B⇔a>b，由正弦定理得a>b⇔sin A>sin B，故D正确．故选ACD. 6．在△ABC中，若＝，则C＝________． 由正弦定理，知＝，所以＝，所以cos C＝sin C，所以tan C＝1，又因为0°<C<180°，所以C＝45°. 7．△ABC的外接圆半径为3，则＋＝________． 因为△ABC的外接圆半径为3，由正弦定理可得：＝＝＝2R＝6，则有＝12，＝，所以＋＝12＋＝. 因为a＝1，C＝60°，c＝，由正弦定理＝，即＝，解得sin A＝，又因为0°<A<120°，所以A＝30°. 4 由正弦定理得：＝＝，即＝＝，所以a＝c＝4. 解：由三角形的面积公式可得：△ABC的面积S＝ac sin B＝4，由正弦定理可得外接圆半径R＝·＝4. 10．在△ABC 中，a sin B＝b cos A，则A＝ A． B． C． D． 由a sin B＝b cos A，根据正弦定理可得sin A sin B＝sin B cos A，因为B∈(0，π)，可得sin B>0，所以sin A＝cos A，即tan A＝，又因为A∈(0，π)，所以A＝.故选D. B．若＝，则A＝45° 对于A，若a<b，所以由正弦定理得sin A<sin B，故A正确；对于B，由正弦定理及＝，可得＝＝1，即tan A＝1，由0°<A<180°，知A＝45°，故B正确；对于C，因为cos C＝>0，所以C为锐角，但A，B不确定，故C错误；对于D，由正弦定理＝及sin A＝sin B，可得a＝b，故D正确．故选ABD. C．若A＝45°，a＝，b＝，则△ABC有两解 由b>a得B>A，此时三角形显然不存在，故A错误；由正弦定理得＝，则sin B＝2，显然角B不存在，故B正确；由正弦定理得＝，所以sin B＝，因为b>a，所以B>A，故B＝60°或120°，故C正确；若A＝60°，a＝b＝2，则△ABC为等边三角形，唯一确定，故D错误．故选BC． 因为A∈(0，π)，所以A＝. ＝－. 解：由正弦定理可得＝－. 即2cos A＝－1，cos A＝－. 所以S△ABC＝ab sin C＝×4×4×＝4. (2)若a＝4，b＝4，求△ABC的面积．(8分) 解：由(1)知，A＝，所以sin A＝sin ＝，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝. 因为B∈，所以B＝，即C＝π－(A＋B)＝π－＝， 14．(5分)(开放题)在△ABC中，a＝2，b＝2.若A＝，则c＝_____；若满足条件的三角形有两个，则A的一个值可以是________________． (答案不唯一) 由正弦定理＝，代入条件得：＝，解得sin B＝1，所以B＝，所以若A＝，则△ABC为直角三角形，所以c＝a＝2.若满足条件的三角形有两个，则a＞b sin A，即0＜sin A＜，又a＜b，所以A为锐角，所以A∈，故可取A＝. 又因为B∈，所以B＝. 解：因为c－2b sin C＝0，所以由正弦定理得sin C－2sin B sin C＝0. 因为C∈，sin C≠0，所以sin B＝. 所以根据余弦定理得b2＝c2＋a2－2ca cos B，可得c2－4c－11＝0，解得c＝2＋. 所以△ABC的面积S＝ac sin B＝2＋3. (2)从条件①b＝3，a＝4；条件②a＝2，A＝.这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积．(其中sin ＝)(10分) 解：选条件①：b＝3，a＝4. 因为b＝3，a＝4，由(1)得B＝， 选条件②：a＝2，A＝. 由(1)知B＝，根据正弦定理得＝，所以b＝＝，因为C＝π－A－B＝，所以sin C＝sin ＝， 所以△ABC的面积S＝ab sin C＝. $$