8 5.1 向量的数量积-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

5.1　向量的数量积 　 第二章 §5　从力的做功到向量的数量积 知识目标 1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．　 2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．　 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 素养目标 通过平面向量数量积及投影概念的学习，培养学生数学抽象素养；通过数量积的应用，培养学生数学运算素养． 知识点一　向量的数量积的定义 1 知识点二　投影 2 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点三　数量积的运算性质 3 知识点一　向量的数量积的定义 返回 问题导思 问题1．如图所示，如果力F的方向与物体运动的方向 成θ角，我们可以将力F进行分解：与位移方向平行的 分力F1满足|F1|＝|F|cos θ，物体在F1方向上产生了位移 s，因而F1对物体做的功为|F|cos θ·|s|.与位移方向垂直 的分力F2，由于没有使物体在该分力的方向上产生位 移，因而对物体不做功．那么力F所做的功怎么表示？ 提示：力F对物体做的功为W＝|F| |s|cos θ.当0°≤θ<90°时，W>0，即力F做正功；当θ＝90°时，W＝0，即力F不做功；当90°<θ≤180°时，W<0，即力F做负功． 问题2．力对物体所做的功是向量吗？运算结果是由哪些量确定的呢？ 提示：力对物体所做的功是一个数量，它由力和位移两个向量来确定，功可以看做力F和位移s这两个向量的某种运算的结果． 新知构建 1．向量的数量积 (1)如图所示，已知两个非零向量a和b，作 向量a与b的夹角∠AOB记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°). |a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积)，记作________，即 a·b＝______________＝___________． (2)规定零向量与任一向量的数量积为___． 2．当0°≤〈a，b〉<90°时，a·b___0；当〈a，b〉＝90°时，a·b___0；当90°<〈a，b〉≤180°时，a·b___0；当〈a，b〉＝____时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝______时，a·b＝－|a||b|. a·b |a||b|cos 〈a，b〉 |a||b|cos θ 0 > ＝ < 0° 180° 微提醒 (1)两个向量的数量积在书写时只能写成a·b，而不能写成a×b或ab.(2)两个向量的数量积的结果不再是向量，而是数量，它的符号由两个向量夹角的余弦值确定． (一题多问)已知|a|＝4，|b|＝5，a与b的夹角为θ.分别求满足下列条件时，a与b的数量积： (1)a∥b； 解：当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20. 若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)a⊥b； 解：a⊥b时，θ＝90°，a·b＝|a||b|cos 90°＝0. (3)a与b的夹角为30°. 例1 规律方法 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ计算．运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．　　 对点练1．已知正三角形ABC的边长为1，求： 返回 知识点二　投影 返回 问题导思 问题3．如图所示，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么与位移s方向一致的分力F1的大小是多少？ 提示：如图所示，F1的大小为|F|cos θ. 新知构建 投影 投影向量 投影数量 |a|cos θ |b|cos θ 微提醒 a在b上的投影向量，可能与b同向，可能反向，也可能为0，它的方向取决于θ角的范围． (链教材P108例1)在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点． 解：如图所示，连接AD. 因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC． 例2 规律方法 1．投影数量是一个数，可正、可负、可为零． 2．计算投影数量时要分清“谁是投影线”，即a在b方向上的投 影数量为 b在a方向上的投影数量为 对点练2．(1)已知平面向量a，b是非零向量，|b|＝2，a，b夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影数量为 A．－1 B．1 C．－2 D．2 √ √ 返回 知识点三　数量积的运算性质 返回 问题导思 问题4．类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？ 提示：交换律、与数乘的结合律、加法的分配律． 问题5．结合数量积公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉，若b＝e(e为单位向量)，或b＝a时，你能得到什么结论呢？你能通过公式的变形得到cos 〈a，b〉吗？ 新知构建 数量积的 运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ： (1)交换律：a·b＝______； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝_______＝________； (3)关于加法的分配律：(a＋b)·c＝___________ 数量积 的性质 (1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝____________； (2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔______； (3)a·a＝|a|2，即|a|＝_____； (4)cos 〈a，b〉＝_____(|a||b|≠0)； (5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当______时等号成立 b·a (λa)·b a·(λb) a·c＋b·c |a|cos〈a，e〉 a⊥b a∥b 微思考 对于任意的向量 a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)一定成立吗？为什么？ 提示：不一定成立．因为a·b，b·c均为实数，(a·b)c为向量c的共线向量；a(b·c)为a的共线向量，而向量a，c未必共线，所以不一定成立． (1)求a与b的夹角； 例3 即64－4a·b－27＝13， 所以〈a，b〉＝60°. (2)若a在b方向上的投影向量为c，求c·(a＋b)的值． 规律方法 1．求解向量的模：就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，勿忘记开方． 2．求向量的夹角：主要是利用公式cos θ＝ 求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解． √ (2)已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余 弦值为________． 返回 综合应用 返回 例4 向量数量积的综合应用 　 已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，c＝a－b，且c⊥A． (1)求向量a与b的夹角； 解：由c＝a－b且c⊥a，可得(a－b)·a＝a2－a·b＝0， 所以a·b＝a2，又|a|＝1，|b|＝2， (2)求|3a＋b |. 规律方法 数量积的综合问题常常与垂直问题有关，主要利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量).　　 √ 返回 课堂小结 知识 1．向量的数量积的定义. 2．投影向量与投影数量. 3．数量积的运算性质 方法 定义法、化归与转化、数形结合 易错误区 向量夹角共起点；a·b>0不能得到两向量夹角为锐角(易忽视零角)，a·b<0不能得到向量夹角为钝角(易忽视平角) 随堂演练 返回 1．已知向量a与向量b的夹角为60°，|a|＝4，|b|＝5，则a·b＝ 因为向量a与向量b的夹角为60°，|a|＝4，|b|＝5，所以a·b＝|a||b|cos 60°＝4×5× ＝10.故选B. √ 2．已知|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影数量为 A．1 B．2 C．－2 D．－1 由题可得b在a上的投影数量为|b|cos 60°＝2× ＝1.故选A． √ 3．(多选)下列说法正确的是 A．对任意向量a，b，都有a·b＝b·a B．若a·b＝a·c且a≠0，则b＝c √ √ 返回 课时测评 返回 1．已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则a·b＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a＋λb在向量a上的投影向量为2a，则λ＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．－16 B．16 C．－8 D．8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知|a|＝2，b在a方向上的投影向量为－3a，则a·b＝________． －12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3　 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)求cos 〈a，b〉；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(新角度)如图所示，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A，B是原来小正方形的其中两个顶点，Pi(i＝1，2，…，7)是小正方形的其余顶点，在所有 (i＝1，2，…，7)中，可能取值的个数为 A．6 B．5 C．4 D．3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点(包括边界)，则 的最小值与最大值分别是 A．－2 B．－6 C．4 D．6 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)求cos 〈a，b〉的值；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)向量c在a上的投影数量为－2，且向量c在a－3b上的投影数量为 ，求b·c的值．(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)如图①，小明同学发现家里的地板是正六边形木质地板组合而成的，便临摹出了家里地板的部分图形，其平面图如图②所示，其中O为正六边形ABCDEF的中心． 解：如图所示， 连接OB，OF，由正六边形性质，得四边形ABOF为平行四边形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 ＝a，＝b， 解：当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5×＝10. (1)·； 解：因为与的夹角为60°， 所以·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 解：因为与的夹角为60°， 所以·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)·； 解：因为与的夹角为120°， 所以·＝||||cos 120°＝1×1×＝－. 投影向量 如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，得到a在b上的______γ＝，γ称为____________ 投影数量 |a|cos 〈a，b〉称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的___________，可以表示为________ 数量积a·b 的几何意义 b的长度|b|与a在b方向上的投影数量___________的乘积，或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量_________的乘积 a· (1)求在方向上的投影数量； 又AB＝2，∠ABC＝30°，所以CD＝BD＝AB cos 30°＝.由图可知与的夹角为∠ABC的补角，所以向量与的夹角为150°. 在方向上的投影数量为||cos 150°＝2×＝－. (2)求在方向上的投影数量． 解：在方向上的投影数量为||cos 150°＝×＝－. |a|cos θ＝a·； |b|cos θ＝b·. 向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos 120°＝2×＝－1.故选A． (2)已知向量a与b的夹角为，＝2，＝1，则向量a在b上的投影向量为 A．b B．b C．a D．a 由题意知，＝2且向量a与b的夹角为，所以向量a在b上的投影数量为cos 〈a，b〉＝1，又因为＝1，所以向量a在b上的投影向量为b.故选A． 提示：当b＝e(e为单位向量)时，a·e＝e·a＝|a|cos 〈a，e〉；当b＝a时，a·a＝|a|2，即|a|＝；cos 〈a，b〉＝(|a||b|≠0). 所以a·b＝6，所以cos 〈a，b〉＝＝， (链教材P109例2)已知＝4，＝3，·＝13. 解：因为·＝13， 所以42－4a·b－32＝13， 解：因为c＝cos 〈a，b〉＝b，所以c·＝b·＝a·b＋b2＝4＋6＝10. 对点练3．(1)已知向量a，b满足＝，＝1，且a与b夹角的余弦值为，则＝ A．1 B． C．2 D． 根据题意可得cos 〈a，b〉＝，则可得2＝2＋2－2a·b＝2＋2－2·cos 〈a，b〉＝3＋1－2××1×＝2，所以＝.故选D. 由|a－2b|＝|a＋b|，得(a－2b)2＝(a＋b)2，即|a|2－4a·b＋4|b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，所以a·b＝|b|2，所以cos 〈a，b〉＝＝＝. 则cos 〈a，b〉＝＝＝＝， 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝， 即向量a与b的夹角为. 解：因为＝1，＝2，且a·b＝a2＝1， 所以2＝9a2＋b2＋6a·b＝9＋4＋6＝19， 所以＝. 对点练4．已知a，b是相互垂直的单位向量．若向量＝a－b，＝2a＋b，则向量在向量上的投影向量为 A．a＋b B．－a－b C．a＋b D．－a－b 因为a，b是相互垂直的单位向量，所以a·b＝0，a2＝b2＝1.又＝a－b，＝2a＋b，所以＝－＝a＋2b，所以＝＝＝，又·＝·＝a2＋a·b－2b2＝－1，所以向量在向量上的投影向量为·＝＝－＝－a－b.故选B. A．20 B．10 C．5 D．5 C．对任意向量a，b，c，都有·c＝a· D．对任意向量a，b，c，都有·c＝a·c＋b·c a·b＝cos 〈a，b〉，b·a＝cos 〈a，b〉，可得a·b＝b·a，故A正确；由a·b＝a·c可得a·＝0，又a≠0，可得b＝c或a⊥，故B错误；·c＝cos 〈a，b〉c＝λc，a·＝cos 〈c，b〉a＝μa，所以·c＝a·不一定成立，故C错误；由向量数量积运算的分配律可知D正确．故选AD. 4．已知＝4，e 为单位向量，〈a，e〉＝，则a·e＝________． －2 由数量积的定义可知：a·e＝·cos 〈a，e〉＝4×1×＝－2. A．4 B．4 C．－4 D．－4 由图形可知：|a|＝＝2，|b|＝2，〈a，b〉＝＋＝，所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝4×＝－4.故选C． A．－2 B．2 C．－ D． 向量a＋λb在向量a上的投影向量为2a，则×＝2a，即(a＋λb) ·a＝2，a，b是夹角为120°的两个单位向量，则a2＋λa·b＝2，即1＋λ×1×1×(－)＝2，解得λ＝－2.故选A． 3．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝(||2－||2)，我们称为极化恒等式．已知在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝ 由题设，||＝3，||＝10，·＝·(4||2－||2)＝×(36－100)＝－16.故选A． 4．已知向量a，b满足＝1，＝2，a·b＝1，则的值为 A．1 B． C．2 D．4 因为＝1，＝2，a·b＝1，所以2＝4a2－4a·b＋b2＝4－4＋4＝4，所以＝2.故选C． 5．(多选)若向量a，b满足＝＝1，＝，则下列结论正确的是 A．a·b＝1 B．a与b的夹角为 C．a⊥(a－2b) D．a－b在b上的投影向量为b 对于A，因为＝＝1，＝，所以2＝a2＋2a·b＋b2＝3，所以a·b＝，故A错误；对于B，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈，所以θ＝，故B正确；对于C，因为a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0，所以a⊥(a－2b)，故C正确；对于D，因为·b＝a·b－b2＝－，且＝1，所以a－b在b上的投影向量为－b，故D错误．故选BC． 6．已知|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－，则〈a，b〉＝______. 因为|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－，所以cos 〈a，b〉＝＝＝－.因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝. 因为b在a方向上的投影向量为－3a，＝2，所以·＝－3a，即·a＝－3a，所以a·b＝－12. 8．(双空题)已知向量a，b满足＝3，＝2，a与b的夹角为60°，则a·b＝________，若⊥a，则实数m＝________． 因为＝3，＝2，a与b的夹角为60°，所以a·b＝cos 60°＝3×2×＝3；因为⊥a，所以·a＝0，即a2－ma·b＝0，故9－3m＝0，得m＝3. 所以cos 〈a，b〉＝＝＝－. 9．(10分)已知向量a，b满足＝，＝1，＝1. 解：因为2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋1＋2a·b＝1， 所以a·b＝－， 所以＝. (2)若＝a，＝b，求.(6分) 解：因为＝－＝－b＋a， 所以2＝2＝b2＋a2－2b·a＝12＋2－2×＝7， · 根据向量数量积的几何意义可知，·＝·＝0，·＝·＝·＝2，·＝·＝4，所以所有·(i＝1，2，…，7)中可能取值的个数为3.故选D. · 根据数量积的几何意义，·可以看作||和在上的投影向量的模的乘积，因为||＝2，如图可得，当点P在点F处时数量积最小，最小为2×(－1)＝－2；当点P在点C处时数量积最大，最大为2×3＝6.故选AD. 12．(多选)已知非零单位向量a和b，若a·b＝－，向量b在向量a上的投影向量为c，向量a在向量b上的投影向量为d，则下列结论正确的是 A．＝ B．a·b＝a·c C．c＝b D．c·d＝－ c＝cos 〈a，b〉·＝··＝－a，d＝cos 〈a，b〉·＝··＝－b，对于A，＝＝，故A正确；对于B，a·c＝－a2＝－＝a·b，故B正确；对于C，c＝－a，a，b不共线，故C错误；对于D，c·d＝－a·＝a·b＝－，故D正确．故选ABD. 13．(13分)已知向量a，b为单位向量，且＝2. 解：因为向量a，b为单位向量，所以＝＝1， 所以2＝a2－6a·b＋9b2＝8，即a·b＝，则cos 〈a，b〉＝＝. 则c·＝4，所以b·c＝－2. 解：向量c在a上的投影数量为＝－2，则a·c＝－2， 又向量c在a－3b上的投影数量为＝，又＝2， 14．(5分)(新情境)(多选)向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁．若向量a，b满足＝＝2，＝2，则下列结论正确的是 A．a·b＝－2 B．a与b的夹角为 C．< D．a－b在b上的投影向量为－b 因为＝2，所以2＝2＋2＋2a·b＝12，又＝＝2，所以a·b＝2，故A错误；因为cos 〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为，故B正确；＝＝＝2，所以<，故C正确；a－b在b上的投影向量为·＝·＝－b，故D正确．故选BCD. ＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝2＋2＋＝2＋2(＋)＋＝3＋4. (1)用，表示，；(7分) 所以＝＋. 所以·＝·(2－)＝62＋5·－42＝62＋5cos －42＝6×4－5×2×2×－4×4＝－2. (2)若＝2，求·.(10分) 解：由正六边形性质，得∠BAF＝. 因为＝＋＋＝＋＋＝2－， $$