1 1.1 位移、速度、力与向量的概念&1.2 向量的基本关系-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

1.1　位移、速度、力与向量的概念　1.2　向量的基本关系 　 第二章 §1　从位移、速度、力到向量 知识目标 1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义．　 2．理解平面向量的几何表示和基本要素，会用字母表示向量．　 3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量、相等向量及向量的模等概念，会找两向量所成的夹角． 素养目标 通过学习向量的有关概念，提升学生数学抽象素养；通过物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，会用有向线段表示向量，提升学生直观想象素养． 知识点一　向量的概念与表示 1 知识点二　向量的基本关系 2 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点三　向量的夹角 3 知识点一　向量的概念与表示 返回 问题导思 问题1．观察下列三个情境中反映的物理量有 什么共同的特点． 情境1　学校位于小明家北偏东60°方向，距 离小明家2 000 m，从小明家到学校，可能有 长短不同的几条路，无论走哪条路， 位移都是向北偏东60°方向移动了2 000 m(如图①). 情境2　某著名运动员投掷标枪时，其中一次记录为：出手角度θ＝43.242°，出手速率为v＝28.35 m/s(如图②). 情境3　汽车沿倾斜角为θ的坡路向上行驶，汽车的牵引力为F(如图③). 提示：三个情境中反映的物理量有位移、速度和力，这些物理量都是既有大小又有方向的量，它们和长度、面积、质量等只有大小的量不同，在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小又有方向的量还有很多，如加速度、动量等． 新知构建 1．向量与数量 (1)向量：既有______又有______的量． (2)数量：只有______没有______的量． 2．向量的表示 (1)具有______和长度的线段称为有向线段，如图，以A为起点，B为终点的有向线段，记作 ，线段AB的长度称为有向线段 的长度，记作| |. (2)向量可以用__________表示，其中有向线段的长度表示____________，箭头所指的方向表示____________． (3)向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或 (书写)来表示．向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模． 大小 方向 大小 方向 方向 有向线段 向量的大小 向量的方向 3．零向量与单位向量 零向量 长度为___的向量称为零向量，记作0或 ，____________都可以作为零向量的方向 单位向量 模等于_______________的向量称为单位向量 0 任何方向 1个单位长度 微思考 向量就是有向线段吗？向量能比较大小吗？ 提示：有向线段是向量的直观表示，并不是说向量就是有向线段．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 下列说法中，正确的是 A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量的方向都是相同的 C．单位向量都是同方向的 D．单位向量的长度都相等 例1-1 √ 对于A，零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误；对于B，零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故C错误；对于D，长度等于1个单位长度的向量称为单位向量，故D正确．故选D. (链教材P79例1)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向北偏西40°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点． 例1-2 规律方法 1．对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 2．作向量的方法：用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定有向线段的终点．　　 对点练1．下列说法中正确的是 A．向量的模都是正实数 B．单位向量的方向与大小都相同 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 √ 零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确．故选C． 对点练2．(一题多问)在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺画出下列向量： 解：由于点A在点O北偏东45°方向，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又 ，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量 ，如图所示． 解：由于点B在点A正东方向，且| |＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量 ，如图所示． 解：易知∠BCD＝30°，又 ，结合(3)中数据并根据直角三角形的性质可得，点D在点B的正东方向，点D距点B的横向小方格数为3，于是点D的位置可以确定，画出向量 ，如图所示． 返回 知识点二　向量的基本关系 返回 问题导思 问题2．在物理学中，两个物体运动速度相等是指它们的方向相同、大小相等；两个力相等不仅包括方向相同、大小相等，还包括作用点相同，根据上述例子你能探究数学中相等向量的条件吗？ 提示：相等向量的条件是它们的长度相等且方向相同． 新知构建 向量的基本关系 相等向量 指它们的长度______且方向______．向量a与b相等，记作a＝b 共线向量 (平行向量) 定义：若两个非零向量a，b的方向______或______，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作a∥b.规定零向量与任一向量______，即对于任意的向量a，都有0∥a 判定方法：表示两个向量的有向线段所在的直线重合或平行，则这两个向量共线或平行 相反向量 若两个向量的长度______、方向______，则称它们互为相反向量．相反向量是共线向量，向量a的相反向量记作－a，零向量的相反向量仍是零向量 相等 相同 相同 相反 共线 相等 相反 微思考 如果a＝b，b＝c，那么a＝c吗？如果a∥b，b∥c，那么a∥c吗？ 提示：如果a＝b，b＝c，那么a＝c，即相等向量具有传递性；如果a∥b，b∥c，那么a与c不一定是平行向量．因为零向量平行于任意向量，那么当b＝0时，a，c可以是任意向量，所以a与c不一定平行．但若b≠0，则必有a∥b，b∥c⇒a∥C． (一题多问)(链教材P80例2)如图所示，△ABC的三边均不相等，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点． (1)写出与 共线的向量； 解：因为E，F分别是AC，AB的中点， 例2 又因为D是BC的中点， (2)写出模与 的模相等的向量； (3)写出与 相等的向量． 规律方法 相等向量与共线向量的探求方法 1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． 2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉已知向量的相反向量．　　 对点练3．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，下列说法： ①②④⑤ 返回 知识点三　向量的夹角 返回 问题导思 问题3．在等边三角形ABC中，边AB，BC的夹角是多少？而向量 的夹角与边AB，BC的夹角相等吗？ 提示：边AB，BC的夹角是60°；向量 的夹角与边AB，BC的夹角不相等， 的夹角是120°. 新知构建 向量的夹角 1．夹角：已知两个_________a和b，在平面内选一点O，作 则θ＝_______(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0°时，a与b______；当θ＝180°时，a与b______． 2．垂直：当a与b的夹角是_____时，则称a与b垂直，记作_______．规定零向量可与任一向量______，即对于任意的向量a，都有0⊥A． 非零向量 ∠AOB 同向 反向 90° a⊥b 垂直 微提醒 两个向量的夹角必须满足这两个向量的起点相同． (一题多问)(链教材P81例3)在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，指出下列各组向量的夹角． 例3 规律方法 求向量的夹角的注意点 1．方向性：根据向量夹角的定义，只有当两个向量的起点重合时，所对应的角才是两个向量的夹角，若两个向量的起点不重合，可平移其中一个向量使其起点重合，然后确定两个向量的夹角． 2．范围：向量夹角的范围为[0，π].　　 对点练4．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心． 返回 综合应用 返回 例4 向量基本关系的综合应用 　(一题多问)如图所示，O为正方形ABCD的两条对角 线的交点，四边形OAED和四边形OCFB都是正方形，在 图中所示的向量中． 解：由题意知，因为O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，所以OA＝AE＝OD＝DE＝OC＝CF＝BF＝BO，AB＝CD＝BC＝AD. (2)写出与 共线的向量； (3)写出与 的模相等的向量； (4)写出与 的夹角为90°的向量； (5)写出 的夹角． 规律方法 理解并熟练掌握共线向量、相等向量、相反向量、向量的模、向量的夹角的概念；明确相等向量、相反向量都是共线向量．　　 120°　 90° 返回 课堂小结 知识 1．向量的概念及表示. 2．向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)、相反向量、向量的夹角 方法 数形结合 易错误区 零向量和单位向量的方向容易混淆，向量夹角的大小易求错 随堂演练 返回 1．下列各物理量表示向量的是 A．质量 B．距离 C．力 D．温度 由向量的定义可知，力为向量，质量、距离、温度都为数量．故选C． √ 2．下图中与向量a相等的向量是 A．b，c，e，f B．c，f C．f D．c 由相等向量的定义可知：两个向量的长度要相等，方向要相同，结合图形可知c满足条件．故选D. √ 3．如果一架飞机向西飞行150 km，再向北飞行350 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则 √ 135° 返回 课时测评 返回 对于A，单位向量大小相等都是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故A错误；对于B，零向量与它的相反向量相等，故B错误；对于C，平行向量一定是共线向量，故C错误；对于D，模为0的向量为零向量，零向量与任意非零向量共线，故D正确．故选D. 1．下列命题正确的是 A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．平行向量不一定是共线向量 D．模为0的向量与任意非零向量共线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．如图所示，四边形ABCD是等腰梯形，则下列关系中正确的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则 的夹角为 A．30° B．60° C．120° D．150° 如图所示，∠DAB＝60°，则 的夹角为∠ABC＝120°.故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．下列说法正确的是 A．若 ，则a与b的长度相等且方向相同或相反 B．若 ，且a与b的方向相同，则a＝b C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上 D．若a∥b，则a与b方向相同或相反 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，由 只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误；对于B，因为 ，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b，故B正确；对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误；对于D，依据规定：0与任意向量平行，故当a＝0时，a与b的方向不一定相同或相反，故D错误．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. (多选)如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．(多空题)若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移的大小是________km，方向是________． 由图可得：AB＝AC＝5 km，∠BAC＝90°，所以∠CBA＝45°，BC＝ km，则C地相对B地的位移的大小是 km，方向是西北． 西北 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 菱形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)(一题多问)在如图的方格纸中(每个小方格的边长均为1)，画出下列向量． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：如图： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．设点O是正三角形ABC的中心，则向量 是 A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共起点的向量 D．共线向量 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选)以下关于向量的说法正确的有 A．若a＝b，则| a |＝| b | B．若| a |＝| b |，则a＝b或a＝－b C．若a＝－b且b＝－c，则a＝c D．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 对于A，a＝b，即a，b为相等向量，则| a |＝| b |，故A正确；对于B，若| a |＝| b |，即向量a与b的模相等，但方向不确定，故B错误；对于C，由a＝－b且b＝－c，可得a＝c，故C正确；对于D，若b为零向量，a，c为非零向量，则a与c不一定共线，故D错误．故选AC． √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选)给出下列命题，其中真命题的是 A．若向量 共线，则A，B，C三点在一条直线上 B．若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b C．对任一向量a，0与a既平行又垂直 D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且 ”⇔“四边形ABCD是平行四边形” √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)(开放题)已知四边形ABCD中， . (1)判断四边形ABCD是否为梯形？请说明理由；(6分) 解：四边形ABCD不是梯形．因为 ，所以AB，CD平行且相等，所以四边形是平行四边形． (2)试着添加一个条件，使得四边形ABCD为菱形？矩形？(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(新情境)窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，则与 相等的向量为________________， 的相反向量为____________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)(一题多问)如图所示，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 ，，，… (1)作出向量，，； (2)求||. 解：向量，，如图所示． 解：由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，所以||＝||＝200 km. (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向； ||＝4 (2)，使||＝4，点B在点A正东方向； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向； 解：由于点C在点B北偏东30°方向，且||＝6，依据直角三角形的性质可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量，如图所示． (4)，使||＝3，点D在点C正南方向． ||＝3 所以EF∥BC，EF＝BC． 所以与共线的向量有，，，，，，. 解：模与的模相等的向量有，，，，. 解：与相等的向量有，. ①，，，，，都是单位向量； ②∥，∥； ③与相等的向量有3个； ④与共线的向量有3个； ⑤与向量长度相等、方向相反的向量为，，. 其中正确的是____________(填序号). ①因为两菱形的边长都为1，故①正确；易知②正确；③与相等的向量是，，有两个，故③错误；④与共线的向量是，，，有3个，故④正确；易知⑤正确． ， ， ， ＝a，＝b， (1)与；(2)与；(3)与. 解：(1)与的夹角是∠COD＝90°. (2)与的夹角是∠CBD＝45°. (3)如图，延长AC至C′，则与的夹角等于与的夹角，即∠C′CD＝135°. (1)分别写出与，与夹角的大小； 解：因为∥且与方向相反， 所以与的夹角为180°. 又AC⊥BE，所以与的夹角为90°. (2)分别指出与，与的夹角，并求出角的大小． 解：因为＝，＝， 所以与的夹角为∠COD＝60°. 因为＝，所以与的夹角为∠AFE＝120°. (1)分别写出与，相等的向量； 由题可得＝＝，＝＝. 解：与的夹角为90°的向量有，，，. 解： 与的夹角为与的夹角，等于45°. 与 解：与共线的向量有，，，. 解：与的模相等的向量有，，，，，，，. 对点练5．(多空题)如图所示，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则： (1)与相等的向量有____________； ， 由图可知，与相等的向量有，. 由图可知，与共线，且模相等的向量有，，，，. 根据向量夹角的定义，与的夹角为120°；根据对称性⊥，则与的夹角为90°. (2)与共线，且模相等的向量有______________________； (3)与的夹角为 _________；与的夹角为 _________． ，，，， A．s> B．s＝ C．s< D．s与不能比较大小 由题意知，作图如图所示： 则该飞机由A先飞到B，再飞到C，则AB＝150 km，BC＝350 km，a＝，则飞机飞行的路程为s＝500 km，＝＝50 km，所以s>.故选A． 4．在等腰Rt△ABC中，A＝90°，则向量与的夹角为________． 如图所示，延长AB至B′，则与的夹角为与的夹角，即∠B′BC＝135°. A．＝ B．||＝|| C．> D．< 由四边形ABCD是等腰梯形得∥，与不平行，且||≠||，||＝||，所以A错误，B正确，又向量不能比较大小，所以C，D错误．故选B. 与 与 ＝ ＝ ＝ ＝ A．与相等的向量只有1个(不含) B．与的模相等的向量有9个(不含) C．的模恰为的模的倍 D．与的夹角为120° 由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正确；在Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°，所以||＝||，故||＝||，故C正确；由于＝，所以与的夹角为∠CDA＝60°，故D不正确．故选ABC． 5 5 5 7．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为______． 因为＝，所以AB＝DC，AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，因为||＝||，所以四边形ABCD是菱形． 8．(多空题)已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________，向量与的夹角为________． 如图所示，由勾股定理可知BC＝＝，所以||＝，又cos A＝＝，所以A＝60°，所以与的夹角为60°，所以与的夹角为120°. (1)＝3，点A在点O的正西方向；(3分) 解：因为＝3，点A在点O的正西方向，所以向量如图所示： (2)||＝3，点B在点O的北偏西45°方向；(3分) 解：因为＝3，点B在点O的北偏西45°方向，所以向量如图所示： (3)求出的值．(4分) ＝ ＝3. ，， 如图所示，因为O是正三角形ABC的中心，所以||＝||＝||＝R(R为△ABC外接圆的半径)，所以向量，，是模相等的向量，但方向不同，起点不同．故选B. 与向量 ＝ 对于A，向量与共线，且向量与有公共点B，因此A，B，C三点在一条直线上，故A正确；对于B，向量不能比较大小，故B错误；对于C，规定0与任一向量a既平行又垂直，故C正确；对于D，因为＝，所以＝且∥；又因为A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，AB＝CD且与方向相同，因此＝，故D正确．故选ACD. ＝ ＝ 解：可加条件⊥，或＝使得四边形ABCD为菱形．可加条件⊥使得四边形ABCD为矩形(答案不唯一). ，， ，，， 因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝FG＝GH＝HE，且EF∥HG，又E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，所以BF＝FG＝GC＝HD＝AE，所以与相等的向量有，，，的相反向量有，，，. (1)分别写出与，，相等的向量；(4分) 解：由正六边形的性质可知，与相等的向量有：，，， 与相等的向量有：，，， 与相等的向量有：，，. (2)分别写出与，，共线的向量；(4分) 解：与共线的向量有：，，，，，，，，， 与共线的向量有：，，，，，，，，， 与共线的向量有：，，，，，，，，. (3)分别写出与，与的夹角；(4分) (4)分别写出与，与的夹角．(5分) 解：与的夹角为120°，与的夹角为60°. 解：与的夹角为60°，与的夹角为120°. $$