1 1.1 复数的概念-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

1.1　复数的概念 　 第五章 §1　复数的概念及其几何意义 知识目标 1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．　 2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．　 3．理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义． 素养目标 通过对复数的相关概念的学习，培养学生数学抽象素养；借助复数的分类、复数的相等的相关运算，培养学生数学运算素养． 知识点一　复数的概念 1 知识点二　复数的分类 2 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点三　复数相等的充要条件 3 知识点一　复数的概念 返回 问题导思 问题1．在有理数集内，解方程x2－2＝0的根；在实数集内，解方程x2－2＝0的根．从以上根的存在情况，你有何发现？ 提示：在有理数集内，方程x2－2＝0无根；在实数集内x＝± ；方程有无根与所在的数集有关． 问题2．一元二次方程x2＝－1在实数集范围内的解是什么？我们又是怎样让它有解的？ 提示：无实数解．引入新的数集：虚数集． 新知构建 1．复数 (1)定义：形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作__________，满足i2＝____． (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的____，记作Re z，b称为复数z的____，记作Im z. 2．复数集 (1)定义：________构成的集合称为复数集． (2)表示：通常用大写字母C表示． 虚数单位 －1 实部 虚部 全体复数 微提醒 (1)复数集是高中阶段学习的最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． (链教材P177例1)(1)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是 例1 √ (2)若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为 √ 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.故选A． 规律方法 在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫作复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数．　　 对点练1．(1)已知复数z＝2i，则z的实部是 A．2 B．0 C．－2i D．2i √ 由复数z＝2i，得z的实部是0.故选B． (2)欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ(e为自然对数的底数，i为虚数单位，θ∈R)是瑞士著名数学家欧拉提出的，是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数e i的虚部为 √ 返回 知识点二　复数的分类 返回 问题导思 问题3．复数7＋i，2i，4分别对应复数a＋bi(a，b∈R)中的a，b为何值，你有什么发现？ 提示：7＋i对应的a＝7，b＝1；2i对应的a＝0，b＝2；4对应的a＝4，b＝0.有的复数实部为0，有的复数虚部为0.有的复数实部和虚部都不等于0. 问题4．你能写出自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R和复数集C的关系，并用Venn图表示吗？ 提示：N⊆Z⊆Q⊆R⊆C；用Venn图表示如图所示： 新知构建 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系： 实数 虚数 微思考 任意两个复数能比较大小吗？ 提示：两个复数如果不全是实数，它们之间不能比较大小． (链教材P177例1)当m为何实数时，复数z＝ ＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)虚数； 例2 即m≠5且m≠－3时，z是虚数． (2)纯虚数； (3)实数． 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数． 变式探究　(变设问)本例中条件不变，当m为何值时，z>0. 解：因为z>0，所以z为实数，需满足 规律方法 将复数化成代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的分类：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；特别地，当b≠0，a＝0时，z为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题． 对点练2．设z＝log (m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R). (1)若z是虚数，求m的取值范围； 解：因为z是虚数，所以其虚部log2(5－m)≠0，故m应满足的条件是 解得1<m<5且m≠4，所以m的取值范围为(1，4)∪(4，5). (2)若z是纯虚数，求m的值． 解：因为z是纯虚数，所以其实部log (m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0， 返回 知识点三　复数相等的充要条件 返回 问题导思 问题5．两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等的充要条件是什么？ 提示：它们的实部相等且虚部相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d． 新知构建 实部 两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的____相等且_____相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当_____________． 虚部 a＝c且b＝d 微提醒 (1)应用复数相等的充要条件时要注意：应先将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，再应用复数相等的充要条件列方程组求解． (2)a＋bi＝0，a，b∈R⇔a＝0，b＝0. (链教材P177例2)若xi－2i2＝y＋2yi，x，y∈R，则复数x＋yi等于 A．－2＋i B．4＋2i C．1－2i D．1＋2i 例3 √ 规律方法 复数相等问题的解题技巧 1．必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． 2．根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． 3．如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 对点练3．复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i＝0，则实数m＝ A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 √ 返回 综合应用 返回 例4 复数概念的综合应用 　已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R). (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； 解得m＝－2. (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围． 所以λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sin θ－1)2＋2. 因为－1≤sin θ≤1，所以当sin θ＝1时，λmin＝2， 当sin θ＝－1时，λmax＝6， 所以实数λ的取值范围是[2，6]. 规律方法 两个虚数或一个实数一个虚数不能比较大小，复数相等必须满足实部与实部相等、虚部与虚部相等．　　 对点练4．(多选)已知复数z1＝m2－1＋(m＋1)i，z2＝cos 2θ＋isin θ，下列说法正确的是 A．若z1为纯虚数，则m＝1 B．若z2为实数，则θ＝kπ，k∈Z C．若z1＝z2，则m＝0或m＝－ D．若z1≥0，则m的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞) √ √ √ 返回 课堂小结 知识 1．数系的扩充. 2．复数的概念. 3．复数的分类. 4．复数相等的充要条件 方法 方程思想、分类讨论的思想 易错误区 未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式 随堂演练 返回 √ 2．已知i是虚数单位，复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为 A．2 B．－2 C．±2 D．4 √ 3．(多选)若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n的值为 A．4 B．－4 C．2 D．0 由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或m＋n＝0.故选AD． √ √ 4．已知A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，且A∩B＝{3}，则实数a＝________． －1 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是 A．3－3i B．3＋i C．－2＋2i D．2＋2i 复数3i－2的虚部为3，复数3i2＋2i＝－3＋2i的实部为－3，故所求复数为3－3i.故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．如果复数z＝m2＋m－2－(m－1)i是纯虚数，m∈R，i是虚数单位，则 A．m≠1且m≠－2 B．m＝1 C．m＝－2 D．m＝1或m＝－2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 i是虚数单位，则i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分条件；由a2＝－1，得a＝±i，故“a＝i”是“a2＝－1”的不必要条件；故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要条件． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 025i＝2－bi，则a2＋bi等于 A．2 025＋2i B．2 025＋4i C．2＋2 025i D．4－2 025i 因为a＋2 025i＝2－bi，a，b∈R，所以a＝2，－b＝2 025，即a＝2，b＝－2 025，所以a2＋bi＝4－2 025i.故选D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知x，y∈R，若(x－2)＋yi＝－1＋i，则x＋y＝________． 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．若(m2－1)＋(m2－2m)i>1，则实数m的值为________． 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)(一题多问)已知复数z＝ ＋(a2－5a－6)i(a∈R). (1)若复数z是实数，求实数a的值；(3分) 解：若复数z是实数， 所以a＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若复数z是虚数，求实数a的取值范围；(3分) 解：若复数z是虚数， 所以实数a的取值范围为{a|a≠±1，a≠6}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)复数z是不是纯虚数？若是纯虚数，求出实数a的值；若不是纯虚数，请说明理由．(4分) 解：复数z不是纯虚数．理由如下： 若复数z是纯虚数， 此时无解，故复数z不是纯虚数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(多选)下列命题错误的是 A．复数a＋bi不是纯虚数 B．若x＝1，则复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i是纯虚数 C．若(x2－9)＋(x2＋4x＋3)i是纯虚数，则实数x＝±3 D．若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，当a＝0，b≠0，b∈R时，复数a＋bi是纯虚数，故A错误；对于B，当x＝1时，复数z＝2i是纯虚数，故B正确；对于C，(x2－9)＋(x2＋4x ＋3)i是纯虚数，则 即x＝3，故C错误；对于D，复数z＝a＋bi，a，b未注明为实数，故D错误．故选ACD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于 A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．若a∈R，则“a＝－1”是复数“z＝a2－1－(a－1)i为纯虚数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 由“z＝a2－1－(a－1)i”为纯虚数，得 解得a＝－1.故“a＝－1”是复数“z＝a2－1－(a－1)i为纯虚数”的充要条件．故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，① 或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，② 或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③ 由①得a＝－3，b＝±2，经检验，均符合题意； 由②得a＝±3，b＝－2，经检验，均符合题意； ③中，a，b无整数解，不符合题意． 综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(开放题)若复数z＝a－b＋bi(a，b∈R)为纯虚数，请写出满足条件的一组实数a，b的值_____________(答案不唯一，一组即可). 由纯虚数的定义知，复数z＝a－b＋bi为纯虚数，则 即可，所以只需满足a＝b≠0即可，答案不唯一，取a＝1，b＝1为其中一个答案． a＝1，b＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)已知复数z1＝t＋(t2－1)i，z2＝sin θ＋(2cos θ＋1)i，其中t∈R，θ∈[0，π]. (1)若z1，z2∈R且z1>z2，求t的值；(7分) 当t＝－1时，z1<z2，不符合条件，当t＝1时，满足z1>z2. 综上，t＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若z1＝z2，求θ的值．(10分) 所以sin 2θ－1＝2cos θ＋1，即－cos 2θ＝2cos θ＋1， 所以cos 2 θ＋2cos θ＋1＝0，即(cos θ＋1)2＝0， 解得cos θ＝－1，又因为θ∈[0，π]， 所以θ＝π. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 五 章 复 数 返回 A．，1 B．，5 C．±，5 D．±，1 由题意知得a＝±，b＝5.故选C． A．2 B． C．－ D．－2 A．－ B． C．－i D．i 由欧拉公式得e i＝cos ＋isin ＝＋i，其虚部为.故选B． 1．复数a＋bi(a，b∈R) 解：当 解：当 解：当即m＝5时，z是实数． 解得m＝5. 故m应满足的条件是解得m＝2. 由i2＝－1，得xi－2i2＝2＋xi，则2＋xi＝y＋2yi，根据复数相等的充要条件得解得故x＋yi＝4＋2i.故选B． 因为m为实数，且＋i＝0，所以解得m＝3.故选B． 解：因为z1为纯虚数，所以 解：由z1＝z2，得 对于A，复数z1＝m2－1＋i是纯虚数，则所以m＝1，故A正确；对于B，若z2＝cos 2θ＋isin θ为实数，则sin θ＝0，则θ＝kπ，k∈Z，故B正确；对于C，若z1＝z2，则则m2－1＝1－2(m＋1)2，解得m＝0或m＝－，故C正确；对于D，若z1≥0，则m2－1≥0，且m＋1＝0，则m＝－1，故D错误．故选ABC． 1．复数z＝i的虚部为 A．2 B．－ C．2－ D．i 由题意，知复数z＝i的虚部为2－.故选C． 由z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，得解得x＝2.故选A． 由题意得a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3，所以解得a＝－1. 1．复数z＝sin －icos ，则复数z的虚部是 A．－ B．－ C．i D．－i 因为z＝sin －icos ＝－i，所以其虚部为－.故选B． 由复数z＝m2＋m－2－(m－1)i是纯虚数，得解得m＝ －2. 故选C． 由题意得⇒所以x＋y＝2. 由题意得解得m＝2. 8．(双空题)复数z＝cos ＋isin，且θ∈[－，]，若z是实数，则θ的值为________；若z为纯虚数，则θ的值为________． ± z＝cos ＋isin＝－sin θ＋icos θ.当z是实数时，cos θ＝0，因为θ∈，所以θ＝±；当z为纯虚数时，又θ∈，所以θ＝0. 则即 则即 则即 由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，即解得所以z＝3－i.故选B． 13．(13分)已知集合M＝，集合N＝，且满足M∩N⊆M，M∩N≠∅，求整数a，b的值． 解：因为z1，z2∈R，所以解得t＝±1，cos θ＝－， 因为θ∈，所以z2＝sin θ＝＝， 解：若z1＝z2，则 $$