15 §8 三角函数的简单应用-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

§8　三角函数的简单应用 　 第一章 三角函数 知识目标 1．会用三角函数解决简单的实际问题．　 2．体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 素养目标 通过三角函数的简单应用，培养学生数学运算与数学建模素养． 一　三角函数模型在生活中的应用 1 二　三角函数模型在物理中的应用 2 课时测评 5 内容索引 随堂演练 4 三　三角函数模型的拟合 3 一　三角函数模型在生活中的应用 返回 我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中记载了 水车，水车是古代劳动人民发明的灌溉工具，体现了中 华民族的创造力．如图是水车示意图，其半径为6 m，中 心O距水面3 m，一水斗从水面处的点P0处出发，逆时针 匀速旋转，80 s转动一周，经t秒后，水斗旋转到点P处， 此时水斗距离水面高度为h. (1)以O为坐标原点，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数； 例1 (2)此水斗经过多长时间后再次到达水面？在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是多少？ 规律方法 解决三角函数的实际应用问题的一般步骤 第一步：认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论； 第二步：建立三角函数模型，将实际问题数学化； 第三步：利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解； 第四步：根据实际问题的意义，得出实际问题的解； 第五步：将所得结论返回，转译成实际问题的答案．　　 对点练1．摩天轮是一种大型转轮状的机 械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢 慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色 (如图①).某摩天轮的最高点距离地面的高 度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮 上均匀设置了36个座舱(如图②).开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时． (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)，求摩天轮转动一周的解析式H(t)； 因为H(0)＝10，所以sin φ＝－1， (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，首次距离地面的高度恰好为30米？ 故游客甲坐上摩天轮5分钟时，首次距离地面的高度恰好为30米． 返回 二　三角函数模型在物理中的应用 返回 已知电流I与时间t的关系为I＝A sin (ωt＋φ). (1)如图所示的是I＝A sin (ωt＋φ)(ω>0，|φ|< )的部分图象，根据图中数据求I＝A sin (ωt＋φ)的解析式； 解：由题图可知A＝300， 例2 所以ω≤180π，所以ω＝150π. (2)如果t在任意一段 的时间内，电流I＝A sin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 所以ω≥300π>300×3.14＝942，又ω∈N＋， 故所求最小正整数ω＝943. 规律方法 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数模型，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键．　　 对点练2．(一题多问)如图所示，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间t(单位：s)时相对于平衡位置(即静止的位置)的高度为h(单位：cm)，由下列关系式决定： 以横轴表示时间，纵轴表 示高度，画出这个函数在一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题： (1)小球开始振动(t＝0)时的位置在哪里？ (2)小球位于最高、最低位置时h的值是多少？ 则小球位于最高、最低位置时的h的值分别为2，－2. (3)经过多长时间小球振动一次(即周期是多少)? (4)小球每1 s能往复振动多少次(即频率是多少)? 返回 三　三角函数模型的拟合 返回 某“花式风筝冲浪”集训队在海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表： (1)根据表中近似数据画出散点图．观察散点图，从①y＝A sin (ωt＋φ)；②y＝A cos (ωt＋φ)＋b；③y＝－A sin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式； 例3 t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 解：根据表中近似数据画出散点图，如图所示： 结合散点图可知，图形进行了上下平移和左右平移，故选②y＝A cos (ωt＋φ)＋b作为函数模型， t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 (2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全． t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 又因为5≤t≤18，则5≤t≤7或11≤t≤18， 所以这一天可以安排5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全． 规律方法 处理数据拟合和预测问题的几个步骤 第一步：根据原始数据，绘出散点图； 第二步：通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；　　 第三步：根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 第四步：利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 对点练3．某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深数据： 一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m时就是安全的． (1)若有以下几个函数模型：y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)，y＝A sin ωt＋K，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系，请你求出该拟合模型的函数解析式； t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 解：函数y＝A sin ωt＋K可以更好地刻画y与t之间的对应关系， (2)如果船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？ t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 解得12k＋1≤t≤12k＋5，k∈Z， 所以t∈[1，5]或[13，17]， 所以该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16个小时． 返回 课堂小结 知识 1．三角函数模型在生活中的应用. 2．三角函数模型在物理中的应用. 3．三角函数模型的拟合 方法 数学建模、数形结合 易错误区 注意函数的定义域，尤其是实际意义；注意作结论时应回到实际问题中 随堂演练 返回 1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是 √ A．5 B．6 C．8 D．10 由图象知ymin＝2.因为ymin＝－3＋b，所以－3＋b＝2，解得b＝5，所以这段时间水深的最大值是ymax＝3＋b＝3＋5＝8.故选C． √ 3．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位：m)记录表 根据以上数据，若用函数y＝2.5sin ωx＋5(ω>0)近似地描述这个港口的水深值y与时间x(记时刻0：00为时间x＝0)的函数关系，则上午7：00时，水深的近似数值为 A．2.83 B．3.75 C．6.25 D．7.17 √ 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0   时刻 15：00 18：00 21：00 24：00   水深值 7.5 5.0 2.5 5.0   时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0   时刻 15：00 18：00 21：00 24：00   水深值 7.5 5.0 2.5 5.0   4．如图点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为x＝ _________________． 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] √ 令 得4kπ－π≤t≤4kπ＋π(k∈Z)，因为0≤ t≤20，所以当k＝0 时，函数 y＝F(t)的单调递增区间为[0，π]；当 k＝1时，函数y＝F(t)的单调递增区间为[3π，5π].因为[10，15]⊆[3π，5π]，所以车流量在时间段 [10，15]内是增加的．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪(如图所示)，已知噪音的声波曲线是y＝3cos 2x，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是y＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)，则φ＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知某弹簧振子的位移y(单位：cm)与时间t(单位：s)满足y＝A sin (ωt＋φ) (ω>0)，初始时将弹簧振子下压至－4 cm后松开，经过测量发现弹簧振子每10 s往复振动5次，则在第45 s时，弹簧振子的位移是________cm. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．(开放题)如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动．开始时小球在平衡位置上方2 cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm，每经过π s小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y(cm)(假设向上为正)与振动时间x(s)的关 系式可以是____________________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)如图所示，某公园摩天轮的半径为50 m，圆 心距地面的高度为60 m，摩天轮做匀速转动，每6 min 转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处． (1)已知在时刻t(单位：min)时点P距离地面的高度f(t)＝ A sin (ωt＋φ)＋h(其中A>0，ω>0，|φ|<π)，求函数f(t)的解析式及8 min时点P距离地面的高度；(4分) 解：由题意可知A＝50，h＝60，T＝6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，即f(0)＝10，所以50sin φ＋60＝10， 所以8 min时点P距离地面的高度为85 m． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当点P距离地面 m及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩18 min，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以游客在游玩过程中共有3 min可以看到公园的全貌． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20 ℃，气温上升到约30 ℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温y(℃)随时间x(时)的变化趋势近似满足函数y＝10sin ＋25，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为 A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时 C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．静安大悦城的“Sky Ring”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮．摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野．游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，h＝－28cos ＋78.若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为 A．6 B．12 C．18 D．24 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)我国核电建设占全球在建核电机组的40%以 上，是全球核电在建规模最大的国家．核电抗飞防爆结 构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定 了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面 采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋．某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某S型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度y(单位：mm)关于滚道径向方位角x(单位：rad)的函数y＝f(x)近似地满足f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<φ<π)，其图象的一部分如图所示． (1)求函数f(x)的解析式；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得A＝B＝0.01， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于0.015 mm且不高于0.02 mm的钢筋，若这批钢筋由题中这种S型螺纹丝杠旋铣制作，求这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例．(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得6k≤x≤6k＋2，k∈Z， 所以当k＝0时，0≤x≤2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(多选)如图①是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道．建立平面直角坐标系如图②，h(单位：m)表示在时间t(单位：s)时过山车(看作质点)离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面50 m，最低点Q距离地平面10 m，入口处M距离地平面20 m．当t＝4 s时，过山车到达最高点P，t＝10 s时，过山车到达最低点Q.设h(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0， )，则下列结论正确的是 A．函数h(t)的最小正周期为12 B．φ＝ C．t＝14 s时，过山车距离地平面40 m D．一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是4 s √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)某地农业检测机构统计发现：该地区近几年的活鸡收购价格(元/斤)每年四个季度会重复出现，但活鸡养殖成本(元/斤)逐季递增．下表是该地区今年四个季度的统计情况： 季度 第1季度 第2季度 第3季度 第4季度 收购价格 8 10 8 6 养殖成本 3 3.6 4 4.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型的解析式；(7分) 解：由表中数据可知，收购价格随季度变化上下波动，应选择模型①； 由表中数据可知，养殖成本随季度缓慢上升，应选择模型②. 季度 第1季度 第2季度 第3季度 第4季度 收购价格 8 10 8 6 养殖成本 3 3.6 4 4.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以φ＝－π＋2kπ，k∈Z，又－π≤φ≤0，所以φ＝－π， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若活鸡的收购价格高于养殖成本，则该地区活鸡养殖户盈利，若活鸡的收购价格低于养殖成本，则该地区活鸡养殖户亏损．按照你选定的函数模型，帮助该机构估计一下，明年四个季度该地区活鸡养殖户是盈利还是亏损？(10分) 季度 第1季度 第2季度 第3季度 第4季度 收购价格 8 10 8 6 养殖成本 3 3.6 4 4.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若y1>y2，则盈利，若y1<y2，则亏损． 当x＝5时，y1＝8，y2＝log26＋2<5<8， 则y1>y2； 当x＝6时，y1＝10，y2＝log27＋2<5<10， 则y1>y2； 当x＝7时，y1＝8，y2＝log28＋2＝5<8，则y1>y2； 当x＝8时，y1＝6，y2＝log29＋2<6，则y1>y2. 这说明明年四个季度的收购价格都高于养殖成本， 所以估计明年四个季度该地区活鸡养殖户都会盈利． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 所以所求函数关系为：h＝6sin ＋3(t≥0). 解：依题意，当t＝0时，以x轴非负半轴为始边，OP0为终边的角是－，因为80 s转动一周，所以水斗转动的角速度为ω＝＝，因此，水斗转动t s到点P时的角为ωt＝t，以x轴非负半轴为始边，OP为终边的角是t－， 于是得点P的纵坐标为6sin ， 则h＝6sin ＋3， 解：由(1)令h＝6sin ＋3＝0，即sin ＝－，当再次到达水面时，0<t<80，t－∈，所以解t－＝，得t＝ s，即此水斗经过 s后再次到达水面， 在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是80－＝(s). 又因为≤π，所以φ＝－， 所以H(t)＝40sin (t－)＋50＝－40cos t＋50， 故解析式为H(t)＝－40cos t＋50，t∈[0，30]. 解：H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(其中A>0，ω>0，≤π)， 由题意知⇒ T＝＝30⇒ω＝，故H(t)＝40sin (t＋φ)＋50， 解：令H(t)＝30，则－cos t＝－，即cos t＝， 因为t∈[0，30]，则t∈[0，2π]，所以t＝或，解得t＝5或t＝25， 所以I＝300sin(ωt＋)， 当t＝0时，I＝150，即300sin φ＝150，sin φ＝， 所以φ＝＋2kπ，又|φ|<，所以φ＝， 故所求解析式为I＝300sin(150πt＋). 又当t＝时，I＝0，即300sin(ω×＋)＝0， ＋＝π＋2kπ，所以ω＝150π＋360kπ， 由图可知，T≥×2，即≥， 解：依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)， h＝2sin ，t∈. 解：作出函数h＝2sin (t＋)在一个周期的闭区间上的图象如图， 当t＝0时，h＝2sin ＝，即小球在开始振动(即t＝0)时的位置在(0，)处，即平衡位置上方 cm处． 解：h＝2sin 的最大值为2，最小值为－2， 解：由于T＝＝2π，故经过2π(s)小球振动一次． 解：每秒钟小球能往复振动次． 又因为函数y＝0.9cos ＋1.5的图象过点， 所以2.4＝0.9cos ＋1.5， 所以cos ＝1，所以sin φ＝－1， 所以A＝＝0.9，b＝＝1.5， 又因为－π<φ<0，所以φ＝－， 所以y＝0.9cos ＋1.5＝0.9sin t＋1.5. 因为T＝＝12，所以ω＝， 所以y＝0.9cos ＋1.5， 解：由(1)知 y＝0.9sin t＋1.5， 令y≥1.05，即0.9sin t＋1.5≥1.05， 所以sin t≥－，所以2kπ－≤t≤2kπ＋，所以12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)， 根据数据可得所以A＝3，K＝10， 又因为T＝15－3＝12，所以ω＝＝， 所以y＝3sin t＋10(0≤t≤24). 所以2kπ＋≤t≤2kπ＋，k∈Z， 解：要满足题意，需y≥4.5＋7，即3sin t＋10≥11.5(0≤t≤24)，所以sin t≥， 当k＝0时，t∈；当k＝1时，t∈， A． B．100 C． D．50 T＝＝＝.故选C． 2．如图所示，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋b，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 由表中数据知，T＝12，即＝12，解得ω＝，所以y＝2.5sin x＋5，当x＝7时，y＝2.5sin (π＋)＋5＝2.5×＋5＝3.75.故选B． x＝－3sin t 依题意设x＝A sin ωt，则A＝－3，周期T＝＝3，又ω>0，解得ω＝，所以x＝－3sin t. 1．如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(单位：s)满足函数解析式θ＝sin (2t＋)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆的频率是 A．， B．2， C．，π D．2，π 当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为.故选A． 2．车流量被定义为单位时间内通过某路段的车辆数，若上班高峰期某十字路口的车流量F (单位：辆/分钟)与时间t (单位：分钟)的函数关系式为F＝50＋4sin (0≤t≤20)，则车流量增加的时间段是 2kπ－≤≤2kπ＋(k∈Z)， A． B． C．π D． 由于抵消噪音，所以振幅没有改变，即A＝3，ω＝2，所以y＝3sin (2x＋φ)，要想抵消噪音，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是y＝－3cos 2x，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，因为0≤φ<2π，所以令k＝0，即φ＝.故选D． 4．筒车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1 000多年的历史，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的筒车，一个水斗从点A(，－)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)，则函数y＝f(t)的解析式是 A．f(t)＝2sin B．f(t)＝2sin C．f(t)＝－2sin D．f(t)＝－2sin 由题意知，R＝＝2，T＝60，所以ω＝＝，当水斗位于点A(，－)，即t＝0时，代入f可得－＝2sin ，解得sin φ＝－，又<，所以φ＝－，故函数解析式为f(t)＝2sin (t－).故选B． 5．(多选)如图是某质点做简谐运动的部分图象，位移y(单位：cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是y＝A sin (A>0，ω>0，φ∈)，则下列结论正确的是 A．该简谐运动的初相为 B．该简谐运动的周期为3 C．第4秒该质点的位移为－2 cm D．当t∈时，位移y随着时间t的增大而减小 由图可知，t＝1时，y＝－4，t＝0时，y＝2，所以A＝4，sin φ＝.因为φ∈，所以φ＝或φ＝.因为t＝1时，y＝－4，所以ω＋φ＝2kπ＋，k∈Z.所以ω＝2kπ＋或ω＝2kπ＋，k∈Z.由图可知周期T满足2<T<4，即2<<4，解得<ω<π，所以ω＝，此时φ＝，解析式为y＝4sin (t＋)，该简谐运动的初相为，周期为T＝＝3，故A不正确，B正确； 当t＝4时，y＝4sin (×4＋)＝－4，位移是－4 cm，故C不正确；令x＝t＋，当t∈时，x＝t＋∈，结合y＝sin x的简图可得，y在区间为减函数，故D正确．故选BD． 6．如图为一半径是3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y与时间t满足函数关系y＝A sin ＋ 2，则ω＝________． 由题意可得，水轮每分钟旋转4圈，所以转一圈需要15 s，所以T＝15＝，所以ω＝. 由题意知，A＝4且最小正周期T＝＝2，即＝2，故ω＝π，所以y＝4sin (πt＋φ)，且4sin φ＝－4，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，不妨令φ＝－，故y＝4sin (πt－)＝－4cos πt，当t＝45，则y＝－4cos 45π＝4. y＝4sin (答案不唯一) 不妨设y＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0).由题知A＝4，周期T＝π，所以ω＝＝2，所以y＝4sin(2x＋φ).当x＝0时，y＝2，且小球开始向上运动，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，不妨取φ＝，故所求关系式可以为y＝4sin . 所以＝6，又ω>0，得到ω＝， 即f＝50sin ＋60， 即sin φ＝－1，又<π，所以φ＝－， 故f＝50sin ＋60＝－50cos t＋60， 当t＝8时，f(8)＝50sin (－)＋60＝85， 解：因为从最低点处开始到达高度为 m刚好能看到公园的全貌，经过最高点再下降至(60＋25) m时又能看到公园的全貌，每个游客可游玩三个周期， f＝－50cos t＋60≥60＋25，得到－cos t≥，即cos t≤－， 得到＋2kπ≤≤＋2kπ，k∈Z， 所以在每个周期内，＋6k≤t≤＋6k，k∈Z， 又＋6k－(＋6k)＝1， 当x∈时，x－∈，由y＝10sin ＋25＝20，得sin ＝－，所以x－＝－，x＝≈8.7(时)；由y＝10sin ＋25＝30，得sin ＝，所以x－＝，x＝≈11.3(时).故在6时～16时中，观花的最佳时段约为8.7时～11.3时．故选B． 11．(多选)单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为y＝A sin ，A>0，ω>0，<π，其中x表示时间(s)，y表示位移(cm)，A表示振幅，表示频率，φ表示初相．如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置．图乙表示该小球在秒运动时的位移随时间变化情况．根据秒表记录有：当x＝时，小球第一次到平衡位置；当x＝时，小球的位移第一次到反向最大值．根据以上图文信息，下列选项中正确的是 A．频率为 B．初相φ＝或 C．振幅A＝10 D．当x＝时，小球第三次回到平衡位置 对于A，设最小正周期为T，据题意＝－＝⇒T＝2⇒ω＝π，频率为＝，故A正确；对于B，当x＝时，小球第一次到平衡位置，即是正弦函数减区间上的零点，且|φ|<π，所以sin ＝0⇒φ＝，故B错误；对于C，根据图中的信息知(3，－5)在图象上，所以A sin (3π＋)＝－5⇒A＝10，故C正确；对于D，当x＝时，小球第一次到达平衡位置，当x＝＋2＝时，小球第三次到达平衡位置，故D正确．故选ACD． 由h＝－28cos ＋78可知，当t＝0时，hmin＝－28cos ＋78＝50，当＝π⇒t＝6时，hmax＝－28cos ＋78＝106，若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，t1，t2关于t＝6对称，此时t1＋t2的最小值为t1＋t2＝2×6＝12.故选B． 又函数图象过点， 所以0.01sin ＋0.01＝0.02， 解：由图可知， 由＝4－1＝3得T＝6， 所以ω＝＝＝， 所以f＝0.01sin ＋0.01. 即sin ＝1，所以＋φ＝＋2kπ， 得φ＝＋2kπ，k∈Z， 又0<φ<π，所以φ＝， 解：由题意0.015≤f≤0.02， 则0.015≤0.01sin (x＋)＋0.01≤0.02， 即≤sin ≤1， 所以＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， 所以这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为＝. < 由题意可知，周期T满足＝10－4＝6，得T＝12，所以＝12，得ω＝，又解得A＝20，B＝30.所以h＝20sin ＋30，又h＝20，即20sin φ＋30＝20，得sin φ＝－，因为<，所以φ＝－，所以h＝20sin (t－)＋30.对于A，T＝12，故A正确； 对于B，φ＝－，故B错误；对于C，h＝20sin (×14－)＋30＝20sin ＋30＝40，故C正确；对于D，由h<20，得20sin ＋30<20，即sin (t－)<－，＋2kπ<t－<＋2kπ，k∈Z，解得8＋12k<t<12＋12k，k∈Z，所以一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是(12＋12k)－＝4 s，故D正确．故选ACD． 现打算从以下两个函数模型：①y＝A cos (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，－π≤φ≤0)；②y＝log2＋b中选择适当的函数模型，分别来拟合今年活鸡收购价格与第x季度之间的函数关系、养殖成本与第x季度之间的函数关系(从今年第1季度为第1个季度开始计算). (数据参考：取log2＝0.8，log2＝1.15.) 对于模型①，由点及可得该函数周期为T＝2×＝4， 则由＝4，可得ω＝. 又该函数最大值为10以及最小值为6可得，解得 所以解得 所以模型②为y＝log2＋2. 所以y＝2cos ＋8.将代入得2cos(＋φ)＋8＝8，所以＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以模型①为y＝2cos ＋8＝－2cos x＋8. 对于模型②，y＝log2＋b的图象过点，. 解：由(1)设y1＝－2cos x＋8，y2＝log2(x＋1)＋2. $$