5 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 　 第一章 §4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 知识目标 1．理解正弦函数值、余弦函数值的符号．　 2．会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质． 3．能利用正弦函数、余弦函数的基本性质解决问题． 素养目标 通过正弦函数、余弦函数性质的建立过程，培养学生逻辑推理素养；通过正弦函数、余弦函数性质的应用，提升学生数学运算素养． 知识点一　正弦函数、余弦函数的定义域、最值和值域 1 知识点二　正弦函数、余弦函数的周期性与单调性 2 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点三　正弦函数值和余弦函数值的符号 3 知识点一　正弦函数、余弦函数的定义域、最值和值域 返回 问题导思 问题1．设任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，当自变量α变化时，点P的横坐标、纵坐标也在变化．试由正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α的定义，指出 (1)正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α的定义域； 提示：正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α的定义域均为R. (2)α取何值时，v＝sin α、u＝cos α取得最大(小)值，最大(小) 值分别是多少？ 提示：当α＝2kπ＋ ，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最大值1； 当α＝2kπ－ ，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最小值－1. 当α＝2kπ，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最大值1； 当α＝2kπ＋π，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最小值－1. 新知构建   正弦函数v＝sin α 余弦函数u＝cos α 定义域 R 值域 ______________ 最小值 当α＝______________时，vmin＝－1 当α＝(2k＋1)π，k∈Z时，umin＝_____ 最大值 当α＝2kπ＋ ，k∈Z时，vmax＝___ 当α＝______，k∈Z时，umax＝1 [－1，1] －1 1 2kπ (链教材P19例4)求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α的值： 例1 当α＝π时，函数v＝cos α取得最小值，最小值为cos π＝－1. 规律方法 1．对函数y＝sin α，y＝cos α(其中α∈[m，n])，可通过观察角α终边与单位圆交点坐标的变化得到它们的最值和值域． 2．关于sin α或cos α的复合函数，注意利用换元思想求解．　　 当α＝π时，cos α取得最小值－1，此时umax＝－3×(－1)＋1＝4. 返回 知识点二　正弦函数、余弦函数的周期性与单调性 返回 问题导思 问题2．你能用数学表达式表示与α终边相同的角的正弦值与sin α、与α终边相同的角的余弦值与cos α的关系吗？ 提示：对任意k∈Z，sin (α＋2kπ)＝sin α，α∈R，cos (α＋2kπ)＝cos α，α∈R. 问题3．已知v＝sin α，α∈ ，当α发生变化时，观察α的终边与单位圆的交点P(cos α，sin α)的变化，试写出其单调递增和递减区间． 新知构建   正弦函数v＝sin α 余弦函数u＝cos α 周期性 周期函数，最小正周期为______ 单调性 在区间______________________上单调递增；在区间_______________________上单调递减 在区间___________________上单调递减；在区间________________ _____上单调递增 2π [2kπ，2kπ＋π]，k∈Z [2kπ＋π，2kπ＋2π]， k∈Z 微提醒 若正弦函数在 上为增函数，是指当k取某个整数值时，得到一个对应区间，则只在这个区间上单调递增，而不是在这些区间的并区间内单调递增，更不能说成在第一、四象限为增函数． (链教材P19例3)借助单位圆，讨论函数u＝cos α在区间 上的单调性． 例2 规律方法 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能使用“∪”连接．　　 对点练2．(1)下列关于函数u＝4sin α，α∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是 A．在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减 √ [0，π] 返回 知识点三　正弦函数值和余弦函数值的符号 返回 问题导思 问题4．借助单位圆以及正弦、余弦函数的定义，探究三角函数值的符号与什么有关． 提示：正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号，余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号． 新知构建 正弦、余弦函数值在各象限的符号 象限 三角函数　　 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ 微提醒 (1)口诀“一全正、二正弦、三全负、四余弦”．(2)易忽略正弦、余弦函数在坐标轴上的符号． (1)(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是 例3 √ √ √ (2)若sin α＋cos α<0，且sin αcos α>0，则角α的终边在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 由sin αcos α>0，可知α是第一或第三象限角，又sin α＋cos α<0，所以sin α，cos α同为负，所以角α的终边在第三象限．故选C． √ 规律方法 涉及正、余弦函数值的符号主要有两类问题 1．由给定角判断三角函数值或三角函数式的符号． 2．由正弦值、余弦值的符号判断角的终边的位置或求参数的范围．　　 对点练3．判断下列各式的符号： (1)sin α·cos α(α是第四象限角)； 解：因为α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0.所以sin α·cos α<0. 返回 综合应用 返回 例4 利用单位圆解三角函数不等式 求函数y＝ 的定义域． 变式探究 (变条件)将本例改为求y＝ 的定义域． 图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围， 规律方法 1．求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．　　 2．要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集． 对点练4．求函数y＝ 的定义域． 则必须满足2sin x＋1≥0， 图中阴影部分即为所求， 返回 课堂小结 知识 1．正弦、余弦函数的定义域. 2．正弦、余弦函数的值域与最值. 3．正弦、余弦函数的单调性． 4．正弦、余弦函数值在各象限的符号 方法 数形结合法、分类讨论法 易错误区 单调区间漏写k∈Z，特殊角函数值记忆错误造成三角不等式解集有误 随堂演练 返回 1．函数v＝sin α在区间[－π， ]上的单调性是 A．先增后减 B．先减后增 C．先增后减再增 D．先减后增再减 √ √ 3．函数u＝cos α的一个单调递增区间为 因为u＝cos α的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，令k＝1得α∈[π，2π]，即为u＝cos α的一个单调递增区间，而(π，2π)⊆[π，2π].故选D． √ 返回 课时测评 返回 1．函数y＝－cos x在区间 上 A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图所示，当α＝0时，ymax＝3×1＝3， 当α＝π时，ymin＝3×(－1)＝－3.故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．(多选)如果cos θ<0，则θ可能是 A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 根据余弦函数的定义，cos θ＝ ，其中r>0，所以cos θ＝ <0，即x<0，所以在象限角中，θ可能是第二象限或第三象限的角．故选BC． √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为 因为y＝2－sin x，所以当sin x＝－1时，ymax＝3，此时x＝－ ＋2kπ (k∈Z).故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是________． 因为y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以只有－π<a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]. (－π，0] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)已知f(x)＝－sin x. (1)试写出f(x)的单调区间；(4分) 解：因为f(x)＝－sin x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若f(x)在 上单调递减，求实数a的取值范围．(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．若x是△ABC中的最小内角，则y＝sin x的值域为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选)下列说法正确的是 A．y＝|sin x|的定义域为R B．y＝3sin x＋1的最小值为1 C．y＝－sin x为周期函数 D．y＝sin x－1的单调递增区间为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即α的终边在第一象限或第三象限，且sin α>cos α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(多选)函数y＝sin x和y＝cos x具有相同单调性的区间是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)(一题多问)已知函数f(x)＝ . (1)判定函数f(x)是否为周期函数；(4分) 解：函数f(x)的定义域是R. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求函数f(x)的单调递增区间；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)当x∈ 时，求f(x)的值域．(8分) 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 2kπ－，k∈Z (1)v＝cos α，α∈； 解：在单位圆中画出α在区间[，π]上的示意图如图①所示，由图可知：当α＝时，函数v＝cos α取得最大值，最大值为cos ＝； (2)v＝－sin α，α∈. 解：在单位圆中画出α在区间[－，－]上的示意图，如图②所示，由图可知：当α＝－时，v＝－sin α取得最小值， 当α＝－时，v＝－sin α取得最大值. 对点练1．求函数u＝－3cos α＋1在上的最大值与最小值． 解：在单位圆中画出α在区间上的示意图． 由图知，当α＝时，cos α取得最大值， 此时umin＝－3×＋1＝； [－，] 提示：当α∈时，随着α的增大，sin α的值增加，v＝sin α在上单调递增，如图①所示； 当α∈时，随着α的增大，sin α的值减小，v＝sin α在上单调递减，如图②所示． 故v＝sin α，α∈的单调递增区间为，单调递减区间为. [2kπ－，2kπ＋]，k∈Z [2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z [2kπ－，2kπ＋](k∈Z) [－，] 解：在单位圆中画出角α在区间上的示意图，如图所示， 由图可得u＝cos α在[－，0]上单调递增；在[0，]上单调递减． B．在上单调递增，在和[，π]上单调递减 C．在[0，π]上单调递增，在[－π，0]上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 利用单位圆可以得到：函数u＝4sin α在上单调递增，在和[，π]上单调递减．故选B． (2)函数u＝cos α，α∈的单调递增区间为____________________；单调递减区间为________． 和 作出单位圆如图所示，当α∈时，随着α的增大，观察α的终边与单位圆交点横坐标的变化易知，递增区间为，；递减区间为[0，π]. A．cos(－280°)<0 B．sin 500°>0 C．sin<0 D．cos>0 因为－280°＝80°－360°，所以－280°是第一象限角，所以cos(－280°)>0；因为500°＝140°＋360°，所以500°是第二象限角，所以sin 500°>0；因为－＝－2π，所以－是第三象限角，所以sin<0；因为＝＋4π，所以是第一象限角，所以cos>0.故选BCD． (2)sin 3·cos 4·cos. 解：因为<3<π，π<4<，所以sin 3>0，cos 4<0.因为－＝－6π＋，所以cos>0. 所以sin 3·cos 4·cos<0. 解：自变量x应满足2sin x－≥0，即sin x≥， 图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围， 即定义域为{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 解：自变量x应满足－2sin x≥0，即sin x≤， 即定义域为{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 解：要使有意义， 即sin x≥－， 则函数定义域为，k∈Z. 在单位圆中画出α在区间上的示意图．从图中知v＝sin α在上单调递减；在上单调递增．故选B． 2．函数y＝sin x，x∈的最大值和最小值分别是 A．1，－1 B．1， C．， D．1， 函数y＝sin x在区间上单调递增，故最大值是sin ＝，最小值是sin ＝.故选C． A． B．(0，π) C． D．(π，2π) 4．函数y＝ 的定义域为______________________________． 自变量x应满足2sin x－≥0，即sin x≥.如图所示，单位圆中阴影部分就是满足条件的角x的范围，即{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 因为y＝cos x在区间上先增后减，所以y＝－cos x在区间上先减后增．故选C． 2．y＝3cos α，α∈(－，]的最大值与最小值分别为 A．3，－3 B．3，－ C．3， D．3，－ A．ymax＝3，x＝ B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z) C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z) D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z) 5．(多选)函数y＝sin x在区间[，]上的单调递增区间和最大值分别为 A． B． C．1 D． 在单位圆中作出角，的终边，如图所示，则y＝sin x的单调递增区间为，且最大值为1.故选AC． 6．y＝3sin x，x∈的值域为____________． 借助单位圆可知，函数f(x)＝sin x，x∈在x＝处取得最大值1，在x＝－和x＝处同时取得最小值－，即－≤sin x≤1，所以－≤3sin x≤3，即值域为. 7．函数y＝的定义域为________________________________． 要使函数有意义，则－cos α≥0，即cos α≤，如图所示，角α的终边需落在阴影部分(包括边界)，所以函数的定义域为{α＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}． 根据正弦函数y＝sin x的单调性可知，f(x)的单调递减区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)， 单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z). 解：因为f(x)在上单调递减， 所以⊆，即－<a≤. 所以实数a的取值范围为. A．[－1，1] B．(0，1] C． D． 在△ABC中，可知A＋B＋C＝π，因为x是△ABC中的最小内角，所以3x≤π，可得0<x≤，又由函数y＝sin x在区间上单调递增，且sin 0＝0，sin ＝，所以sin x∈，即函数y＝sin x的值域为.故选C． [2kπ＋，2kπ＋](k∈Z) 对于B，y＝3sin x＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于D，y＝sin x－1的单调递增区间为，k∈Z，故B，D错误，易知A，C正确． 12．(开放题)写出一个同时具有下列性质①②的函数f＝____________________．(注：f不是常函数) ①f＝；②f＝f. sin x＋(答案不唯一) 由f＝f知函数的一个周期是2π，则f＝sin x＋满足条件②.因为f＝sin 0＋＝，所以f＝sin x＋满足条件①. 13．(13分)已知点P在第一象限，α在[0，2π)内，求α的取值范围． 解：因为点P(sin α－cos α，)在第一象限， 所以 如图所示，由三角函数的定义知，当α∈[0，2π)时， α∈∪. A． B． C． D． 对于A，y＝sin x在上单调递增，y＝cos x在上单调递减，所以A不符合题意；对于B，y＝sin x在上单调递减，y＝cos x在上单调递减，所以B符合题意；对于C，y＝sin x在上单调递减，y＝cos x在上单调递增，所以C不符合题意；对于D，y＝sin x在上单调递增，y＝cos x在上单调递增，所以D符合题意．故选BD． 因为f(x＋2π)＝＝＝f(x)，所以f(x)是周期函数． 解：由正弦函数的基本性质，可知在区间[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上，函数y＝sin x单调递增，而此时函数h(x)＝2－sin x单调递减且h(x)值域为[1，3]，从而可知此时函数f(x)单调递增， 故可知函数f(x)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z). 解：设t＝sin x，则t∈， 所以1≤2－t<，则<≤1. 故f(x)的值域为. $$