1 §1 周期变化-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

§1　周期变化 　 第一章 三角函数 知识目标 1．了解现实生活中的周期现象，并能判断其周期．　 2．了解周期函数的概念与最小正周期的意义． 3．会利用函数的周期性解决问题． 素养目标 通过对周期函数的概念的理解，培养学生数学抽象素养；通过对周期函数的应用，提升学生逻辑推理素养． 知识点一　周期变化现象 1 知识点二　周期函数 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　周期变化现象 返回 问题导思 问题1．“天津之眼”摩天轮的直径为110米，旋转一周需28分钟，顶点高度为119.8米．如果你从最低点登上摩天轮，你与地面的距离随时间的变化而变化，这种现象是周期现象吗？转两圈需要多少时间？ 提示：是周期现象，且转两圈需要56分钟． 判断下列现象是否为周期现象，并说明理由． (1)地球的自转； 解：地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象． (2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数； 解：连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1，2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象． 例1 (3)钟表的秒针的转动； 解：钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象． (4)某段高速公路每天通过的车辆数． 解：某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象． 规律方法 周期现象的判断关键点：“间隔相同，现象(或值)重复出现”、“周而复始”等特征．　　 对点练1．下列现象不是周期现象的是 A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈 C．“哈雷彗星”的运行 D．某同学每天上数学课的时间 √ 对于A，每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象；对于B，分针每隔一小时转一圈，是周期现象；对于C，天体的运行具有周期性，所以“哈雷彗星”的运行是周期现象；对于D，某同学每天上数学课的时间不固定，并不是隔一段时间就会重复一次，因此不是周期现象．故选D． 返回 知识点二　周期函数 返回 问题导思 问题2．已知[x]表示不超过x的最大整数，画出下列函数的图象： (1)f(x)＝(－1)[x]； 提示：f(x)＝(－1)[x]的图象如图①所示． (2)f(x)＝x－[x]. 提示：f(x)＝x－[x]的图象如图②所示． 问题3．观察上面两个函数的图象，从图象上看两个函数有什么共同点？你能从数学角度得到什么性质？ 提示： f(x)＝(－1)[x] ：对任意一个实数x，每增加2的整数倍，其函数值保持不变．这种变化是重复进行的，函数f(x)＝(－1)[x]的变化是周期性的，且f(x＋2)＝f(x). f(x)＝x－[x]：对任意一个实数x，每增加1的整数倍，其函数值保持不变．这种变化是重复进行的，函数f(x)＝x－[x]的变化也是一种周期变化，且f(x＋1)＝f(x). 新知构建 1．周期函数与周期的概念 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足______________，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的______． 2．最小正周期 如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个__________就称作函数y＝f(x)的____________．若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期． f(x＋T)＝f(x) 周期 最小 最小正数 最小正周期 微思考 (1)是否所有的函数都是周期函数？ 提示：不是所有的函数都是周期函数，如y＝x＋1就不是周期函数． (2)周期函数的周期唯一吗？ 提示：周期函数的周期不唯一，若T为f(x)的周期，则nT(n∈N＋)也是f(x)的周期． (3)所有的周期函数都有最小正周期吗？ 提示：不是所有的周期函数都存在最小正周期．如f(x)＝0，不存在最小正周期． (链教材P3例3，练习T3)已知周期函数 y＝f(x)的图象如图所示． (1)求函数的周期； 解：T＝1－(－1)＝2. (2)画出函数y＝f(x＋1)的图象； 解：把y＝f(x)向左平移一个单位得y＝f(x＋1)的图象，如图所示． 例2 (3)写出函数y＝f(x)的解析式． 规律方法 判定或证明函数f(x)是周期函数关键是找到满足周期函数定义中的非零常数T.　　 对点练2．造父变星是一类高光度周期性脉动变星，其亮度随时间呈周期性变化．如图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，由图可知此造父变星亮度变化的周期是 A．5.5天 B．7天 C．14天 D．20天 √ 由题图可以看出该造父变星的亮度每经过7天亮度等级相同，所以此造父变星亮度变化的周期是7天．故选B． 对点练3．讨论函数y＝2 025＋(－1)n，n∈N是否为周期函数，如果是，请指出它的周期． 解：当n∈N时，该函数的取值为2 026，2 024，2 026，2 024，2 026， 2 024，…，可见它是周期函数，且周期为T＝2. 返回 综合应用 返回 例3 函数的周期及其应用 　若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f(x＋a)＝－f(x)，证明函数f(x)是周期函数，并求出其周期． 证明：由已知得f(x＋2a)＝－f(x＋a)＝－(－f(x))＝f(x)， 根据周期函数的定义，f(x)是以2a为一个周期的周期函数． 变式探究 1．(变条件)若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f(x＋a)＝ ，则函数f(x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？ 解：由已知得f(x＋2a)＝ ＝f(x)，根据周期函数的定义，f(x)是以2a为一个周期的周期函数． 2．(变条件)若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f(x＋a)＝ － ，则函数f(x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？ 规律方法 周期函数的常用结论 已知a>0且a为常数，若函数y＝f(x)对定义域内任一实数x： 1．满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a； 2．满足f(x＋a)＝± ，则f(x)的周期T＝2a； 3．满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的周期T＝2a．　　 对点练4．(一题多问)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； 解：由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积； 解：由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(－x)， 所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称． 又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示． 当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×( ×2×1)＝4. (3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调递增(或减)区间． 解：函数f(x)的单调递增区间为[4k－1，4k＋1](k∈Z)，单调递减区间为[4k＋1，4k＋3](k∈Z). 返回 课堂小结 知识 1．周期函数的概念. 2．最小正周期的概念 方法 转化法、数形结合法 易错误区 周期函数不一定都有最小正周期 随堂演练 返回 1．下列函数图象中，不具有周期性的是 因为C选项中x∈(－2，2)之间的图象在前后都没有重复出现，所以C选项的函数图象不具有周期性．故选C． √ 2．如果今天是星期三，则2 026天后的那一天是星期 A．五 B．六 C．日 D．一 √ 每隔七天循环一次，2 026＝7×289＋3，故2 026天后为星期六．故选B． 3．如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在O→B→O→A→O的运动过程中，经历的时间是 A．2T B．T √ 因为整个运动刚好是一个周期，所以经历的时间是一个周期T.故选B． 4．设f(x)是定义在R上的函数，对任意的实数x有f(x)＝f(x＋6)，又当x∈ (－3，3]时，f(x)＝|x|，则f(100)的值为________． 2 返回 课时测评 返回 A，B是周期现象，C，D不是周期现象．故选AB． 1．(多选)下列现象是周期现象的是 A．日出日落 B．潮汐 C．海啸 D．地震 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．－2 B．2 C．－98 D．98 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 一个周期是60分钟，则100分钟是1 个周期，2＋12× ＝10，故100分钟后分针指在10点处．故选B． 3．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在 A．8点处 B．10点处 C．11点处 D．12点处 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置，在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是 A．点A处 B．点B处 C．O、A之间 D．O、B之间 钟摆的周期T＝1.8秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又 ，所以经过1分钟后，钟摆在O、B之间．故选D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)若定义在R上的函数f(x)分别满足下列条件，其中可以得出f(x)的周期为2的有 A．f(x)＝f(x－2) B．f(x＋2)＝f(x－2) C．f(－x)＝f(x＋2) D．f(x－1)＝f(x＋1) 由周期函数的定义知，选项A的周期为2，选项B的周期为4，选项D的周期为2，选项C不满足周期性．故选AD． √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．如图所示，变量y与时间t(s)的图象如图所示，则时间t至少隔________s时，y＝1会重复出现1次． 由图象可知：3－1＝2(s)，所以至少隔2 s时，y＝1会重复出现1次． 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．如图所示的弹簧振子在A，B之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过M，N两点，经历的时间为t1＝1 s，过N点后，再经过t2＝1 s后第一次反向通过N点，振子在这2 s内共通过了8 cm的路程，则振子的振动周期T＝________s. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数有f(x＋1)＝f(1－x)成立． (1)证明：f(x)是周期为4的函数；(4分) 解：证明：由f(x＋1)＝f(1－x)可得f(－x)＝f(x＋2). 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 有f(－x)＝－f(x)，故f(x＋2)＝－f(x)， 从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若f(x)＝ (0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．(6分) 解：由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0， x∈[－1，0)时，－x∈(0，1]，f(x)＝－f(－x)＝－ ， 故x∈[－1，0]时，f(x)＝－ . 当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1，0]， f(x)＝f(x＋4)＝－ ， 从而x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式为f(x)＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向．如图所示，月相变化的周期为29.5天(如图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图).则月球绕地球一周所用的时间T为 A．24.5天 B．29.5天 C．28.5天 D．24天 √ 由题图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月地日一条线重新回到月地日一条线，完成一个周期．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 012 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．如图所示，一个质点在平衡位置点O附近摆动，如果不计阻力，可将这个摆动看作周期运动．它离开点O向左运动，4 s后第1次经过点M，再过2 s第2次经过点M，则该 质点的运动周期为________s． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)＝x2，x∈[－1，1]. (1)画出函数f(x)在区间[－2，2]上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值；(3分) 解：由f(x)的周期性及x∈[－1，1]上的解析式，得区间[－2，2]上的图象如图： 由图可知：增区间为[－2，－1)，[0，1)，减区间为[－1，0)，[1，2]； 零点为x＝－2，0，2共3个；最大值为1，最小值为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求f(7.5)的值；(4分) 解：由题设f(7.5)＝f(8－0.5)＝f(－0.5)＝(－0.5)2＝0.25. (3)求f(x)在区间[2n－1，2n＋1]上的解析式，其中n∈Z.(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(新角度)有下面两个命题： ①若y＝f(x)是周期函数，则y＝f(f(x))是周期函数； ②若y＝f(f(x))是周期函数，则y＝f(x)是周期函数． 则下列说法中正确的是 A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 若y＝f(x)是周期函数，设周期为T，则f(x＋T)＝f(x)，则f(f(x＋T))＝f(f(x))也是周期函数，故①正确；若y＝f(f(x))是周期函数，设周期为T，则f(f(x＋T))＝f(f(x))，f(x＋T)＝f(x)不一定成立，故②错误．故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动． 设顶点P(x，y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y＝f(x)， 画出点P的运动轨迹，并讨论y＝f(x)是否为周期函数． 如果是，指出周期；如果不是，请说明理由． 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿 x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上 时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：假设A落在x轴上时开始计时，下一次A落在x轴上，过程中四个顶点依次落在了x轴上， 而相邻两个顶点距离为正方形边长，即为1， 因此该函数周期为4. 若正方形向右滚动时，P点运动情况： 首先以A为圆心，正方形边长为半径运动 个圆， 然后以B为圆心，正方形对角线长为半径运动 个圆， 最后以C为圆心，正方形边长为半径运动 个圆，最终运动轨迹如下曲线： 由图知：y＝f(x)是周期为4的函数． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 解：y＝＝，x∈[－1，1]， 所以y＝|x－2k|，x∈[2k－1，2k＋1]，k∈Z. 解：由已知得f(x＋2a)＝－＝－＝f(x)，根据周期函数的定义，f(x)是以2a为一个周期的周期函数． C． D． 因为f＝f，所以函数f的周期为T＝6，所以f＝f＝f(4)＝f，又当x∈时，f＝，所以f(－2)＝＝2，所以f＝2. 2．已知定义在R上的函数f，且f＝f，当x∈时，f＝2x2，则f＝ 函数满足f＝f，则函数的周期为2，则f＝f＝f＝2×12＝2.故选B． <0.6< 7．已知函数f是定义在R上的周期为3的奇函数，若f＝2，则f＋f＝________． 由题意知f＝f＝f(－1)＝－f＝－2，f＝0，所以f＋f(0)＝－2＋0＝－2. 设振子的振动周期为T，则振子由平衡位置O点运动到B点的时间为，而振子以相同的速度通过M，N两点经历的时间为t1＝1 s，则O点到N点的时间为，又向右经N—B—N的时间为t2＝1 s，则N点到B点的时间为，所以＝＋＝＋＝1，所以T＝4 s． 11．设定义在R上的函数f满足f＝f，且当x∈时，f＝2x－x2，则f＋f(1)＋f(2)＋…＋f＝________． 因为f＝f，所以函数f的周期T＝2.因为当x∈时，f＝2x－x2，所以f＝0，f＝1，所以f＝f＝f＝…＝f＝f＝0，f＝f＝f(5)＝…＝f＝1.故f＋f(1)＋f(2)＋…＋f＝1 012. 质点运动轨迹为O→A→O→M→B→M，共用了6 s．其中从O→A→O→B共用了5 s，即个周期，所以该质点的运动周期为5÷＝ (s). 解：令x∈⇒x－2n∈[－1，1]且n∈Z，则f＝(x－2n)2， 又f＝f(x)，则f(x)＝f，即f(x)＝(x－2n)2， 综上，在区间上f＝(x－2n)2，n∈Z. $$