专题02 复数的几何表示及三角表示知识归纳与题型突破（11类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题02 复数的几何表示及三角表示知识归纳与题型突破 知识点1 复数的几何表示 1.复数的几何意义： （1）复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. （2）复数的几何意义 ①每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系. ②若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是 (a，b)，不是(a，bi). ③复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系. 如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量 表示. 复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量的一一对应关系如下： 2.复数的模： （1）复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝ 　 当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值. （2）复数模的几何意义 复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离. 由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离. （3）模的重要性质：①；②；③. 3.复数的共轭复数：（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作． （2） （3）共轭复数的性质： ①；②；③. 4.复数加减法的几何意义： z1、z1、z3∈C，设、分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)相对应，且、不共线 加法 减法 几何 意义 复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应 复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应 知识点2 复数的三角表示 1.i2=-1的几何意义： 2.旋转任意角： 3.复数三角表示： （1）辐角：θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，记作arg z=θ.若θ是z的一个辐角，则z的所有辐角arg z=θ+2kπ（k为整数） （2） 复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模. （3） 4.复数三角形式的运算： （1）乘法：设复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2， ①z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)=r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． ②推广： ③乘方：……棣莫佛公式 （2）除法：设复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2， ＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 题型一 复数用点、向量表示 【例1】（23-24高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【答案】(1) (2). 【知识点】复数的向量表示、复数加减法几何意义的运用、复数加减法的代数运算 【分析】（1）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成复数减法运算即可得解. （2）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 【变式1-1】（23-24高一·上海·课堂例题）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示 【分析】根据向量、复数的坐标表示等知识求得正确答案. 【详解】依题意，向量所对应的复数是，对应坐标为， 所以向量对应的坐标为，对应的复数为. 故选：A 【变式1-2】（湖南省部分学校2024-2025学年高三下学期入学检测联考数学试题）复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】由复数四则运算得到，即可求解； 【详解】由， 可得， 复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 【变式1-3】（23-24高一·上海·课堂例题）设复数、、、、． (1)在复平面上分别作出这些复数所对应的点A、B、C、D、E； (2)在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量． 【答案】(1)图象见详解 (2)图象见详解 【知识点】复数的坐标表示、共轭复数的概念及计算、复数的向量表示 【分析】（1）根据复数的几何意义求点的坐标，进而可得图象； （2）根据共轭复数以及复数的几何意义可得相应点的坐标，进而可得图象. 【详解】（1）因为复数、、、、， 则， 在复平面上分别作出这些复数所对应的点，如图所示： （2）因为复数、、、、， 则复数、、、、， 这些复数所对应的点分别为， 这些复数的共轭复数所对应的向量分别为， 在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量，如图所示： 题型二 根据复数对应的点求参数 【例2】（22-23高一下·江苏南通·阶段练习）已知复数z满足，且z的虚部为1，z在复平面内所对应的点在第一象限. (1)求z； (2)若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求 【答案】(1)； (2) 【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、复数的向量表示 【分析】（1）设z代数形式，根据解得z； （2）先根据复数得向量的坐标，再根据向量夹角公式得结果. 【详解】（1）设， 因为，所以，得或， 又z在复平面内所对应的点在第一象限，所以， 所以； （2）， 所以，，，，， 所以，， 所以 【变式2-1】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的值可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】复数代数形式的乘法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】根据复数的乘法运算化简复数，求得对应的点为，利用点在第二象限列不等式组求解即可. 【详解】因为，所以它在复平面内对应的点为． 又此点在第二象限，所以解得，结合选项可知BCD符合题意. 故选：BCD 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 【答案】(1)或4． (2)或． 【知识点】复数的坐标表示、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据已知得出实部和虚部进而根据点在虚轴上列方程求解； （2）点在二四象限列不等式求解. 【详解】（1）复数的实部为， 虚部为． 由题意得，解得或4． （2）由题意，，或． 【变式2-3】（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知，复数. (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值. 【答案】(1)； (2)和 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）由为纯虚数，求出的值，从而得到复数，求解模长即可； （2）在复平面内对应的点位于第二象限，求出的取值范围，进而得到整数的值即可. 【详解】（1）由于复数为纯虚数， 所以，解得，此时， （2）若在复平面内对应的点位于第二象限， 则，解得， 故整数的值有. 题型三 共轭复数及其运算 【例3】（24-25高三上·河南周口·期末）若复数在复平面上对应点的坐标为，为的共轭复数，则（    ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】利用复数的几何意义结合共轭复数的性质得到，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】由题意得复数在复平面上对应点的坐标为， 则依据复数的几何意义可得， 而为的共轭复数，故， 则，由复数模的公式得，故B正确. 故选：B. 【变式3-1】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）若复数满足，则其共轭复数的模为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数的四则运算得出，再由模长公式得出共轭复数的模. 【详解】 故选：A 【变式3-2】（24-25高三上·黑龙江·期末）已知复数，若是纯虚数，则实数（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【知识点】共轭复数的概念及计算 【分析】直接计算得到，再根据纯虚数的定义得到结果. 【详解】由于，故，所以，解得. 故选：C. 【变式3-3】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知复数，，则 . 【答案】 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】求出复数的共轭复数，然后用复数的运算法则求得的值. 【详解】， . 故答案为：. 题型四 共轭复数的复数特征 【例4】（23-24高一下·山东青岛·期末）已知复数z满足，则的虚部为（    ） A． B．1 C． D．i 【答案】A 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】先由复数的四则运算法则求出，再由共轭复数的概念表示出，即可求解. 【详解】由题，，则，则， 故的虚部为. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）若复数，则的共轭复数的虚部是（    ） A． B．i C．-i D．1 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其共轭复数的虚部. 【详解】依题意，，所以，其虚部为. 故选：A 【变式4-2】（24-25高三下·北京·开学考试）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】首先求出复数的共轭复数，再判断象限即可. 【详解】设，则， 复数对应的点为，所以对应的点位于第四象限. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高三上·宁夏银川·期末）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数的模长公式、复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，则， 所以，，则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 题型五 求复数的模 【例5】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）若复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】利用复数的乘方及除法运算求出复数，再利用复数模的意义求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：D 【变式5-1】（2024·浙江·一模）已知复数（其中是虚数单位），则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】利用共轭复数的定义、复数的四则运算化简复数，利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 【变式5-2】（多选）（23-24高一下·青海·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．的虚部是 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABC 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先化简，再结合复数的概念，共轭复数，复数的模，复数在复平面内对应的点分别判断各个选项即可. 【详解】因为， 则，，的虚部是， 在复平面内对应的点为，位于第三象限 故ABC正确，D错误． 故选：ABC. 【变式5-3】（23-24高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 . 【答案】1 【知识点】求共轭复数的复数特征、复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据条件等式化解复数，再求其共轭复数及其虚部. 【详解】， 所以，所以的共轭复数的虚部是1. 故答案为：1 题型六 根据复数的模求参数 【例6】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由复数模求参数 【分析】由题意，解不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 解得，. 故答案为：. 【变式6-1】（24-25高三上·上海·期中）记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为 . 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、由复数模求参数 【分析】根据条件，利用复数模长的计算公式，即可求解. 【详解】因为，，则，得到， 又，所以，则复数的虚部为， 故答案为：. 【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由复数模求参数 【分析】利用复数的模的几何意义求解不等式. 【详解】则解得 故答案为： 【变式6-3】（23-24高一下·江苏·期末）满足且的复数 . 【答案】1 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数的乘方 【分析】设，由得，由可得计算并检验求得，即得 【详解】设，由可得， 由可得，即， 则解得或， 显然不满足，应舍去，故 故答案为：1. 题型七 与复数模相关的图形、轨迹 【例7】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，指出下列等式所表示的几何图形． (1)； (2)． 【答案】(1)表示以对应的点为圆心，1为半径的圆． (2)表示以点，为端点的线段的垂直平分线． 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数模的几何意义，即可求解. 【详解】（1）， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆； （2）的几何意义表示以复数对应的点与之间的距离， 的几何意义表示以复数对应的点与之间的距离， 所以表示以点，为端点的线段的垂直平分线． 【变式7-1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数满足，则复数对应的点的集合是什么图形（    ） A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 【答案】A 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模 【分析】解方程求出，根据复数的几何意义可得答案. 【详解】， ， （舍去）， 复数对应的点的集合是以原点为圆心，以4为半径的一个圆． 故选：A. 【变式7-2】（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）已知复数z的模为2，则的最大值为 ． 【答案】3 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】利用复数模的几何意义，求出的最大值. 【详解】复数z的模为2，表示复数在复平面内对应的点到原点的距离为2， 则点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 而是圆上的点到点的距离， 所以. 故答案为：3 【变式7-3】（24-25高一下·全国·课前预习）设复数，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模 【分析】运用复数模长的几何意义，数形结合可解. 【详解】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，表示如图所示的圆环， 而表示复数的对应点与复数的对应点之间的距离， 即圆环内的点到点的距离． 由图易知当与重合时，，当点与点重合时，，． 故答案为：.    题型八 复数加减法的几何意义 【例8】（2024高一下·全国·专题练习）（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. （2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离： ①； ②. 【答案】（1）（2）①；②5 【知识点】复数加减法几何意义的运用、求复数的模 【分析】（1）利用复数的几何意义化简，找到对应向量，求解向量的模即可. （2）找到对应的点坐标，再利用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）因为复平面内的点， 对应的复数分别为，， 所以点，之间的距离为 . （2）①易知对应的坐标为，对应的坐标为，设两点间距离为， 由两点间距离公式得； ②易知对应的坐标为，对应的坐标为，设两点间距离为， 由两点间距离公式得. 【变式8-1】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 【答案】ACD 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数加减法几何意义的运用 【分析】运用复数的加减运算规则，结合几何意义和模长概念画出表格计算判断即可. 【详解】 A √ B × 由题意得，，，因为四边形为平行四边形，则，所以，所以，点位于虚轴上 C √ 如图，，，对应的向量分别为，，，则，，即， D √ 故选：ACD. 【变式8-2】（23-24高一下·四川乐山·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【答案】 【知识点】复数的坐标表示、复数加减法几何意义的运用、复数的向量表示 【分析】运用复数几何意义，结合平面向量减法运算可解. 【详解】复数对应的向量分别是,则 .则向量对应的复数为. 故答案为：. 【变式8-3】（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知复数满足，且，求. 【答案】 【分析】 设对应的复数为，对应的复数为，利用向量运算和复数的向量表示可解. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且， 所以为等腰直角三角形，且.    作正方形AOBC，如图所示， 则对应的复数为，故. 题型九 复数代数形式与三角形式的互化 【例9】（23-24高一·上海·课堂例题）把下列复数用三角形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】复数的三角形式 【分析】根据复数三角形式的知识求得正确答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4） . 【变式9-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的三角形式、复数乘、除运算的三角表示 【分析】（1）（2）运用复数的三角形式表示，并按照乘除规则计算即可. 【详解】（1） ． （2） ． 【变式9-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）把下列复数用三角形式表示. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】复数的三角表示 【分析】由复数的三角形式表示的概念可得解. 【详解】（1）由复数的三角形式表示为，且，且，， 又，所以，解得， 所以； （2）由，所以，解得， 所以； （3）由，所以，解得， 所以； （4）由，所以，解得， 所以. 【变式9-3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知实数，写出下列复数的三角表示． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】复数的三角表示 【分析】（1）（2）（3）（4）根据复数的三角形式的定义直接求解即可 【详解】（1）复数（）对应的复数为，其辐角为0， 复数的三角形式为； （2）复数（）对应的复数为，对应的点在轴正半轴上，其辐角为， 复数的三角形式为 （3）复数（）对应的复数为，对应的点在轴负半轴上，其辐角为， 复数的三角形式为 （4）复数（）对应的复数为，对应的点在轴负半轴上，其辐角为， 复数的三角形式为 题型十 复数三角形式的乘法（方） 【例10】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4096 【知识点】复数的三角表示、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】（1）利用复数三角形式的乘方运算法则计算即得； （2）将幂的底数化成三角形式，再利用复数三角形式的乘方运算法则计算即得. 【详解】（1）． （2）． 【变式10-1】（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的三角表示 【分析】化为三角形式，根据棣莫弗定理求解. 【详解】. 故选：B 【变式10-2】（24-25高一上·上海·课后作业）计算：． 【答案】 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即可. 【详解】因为 ． 【变式10-3】（23-24高一·上海·课堂例题）设复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转得到向量．求向量所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示） 【答案】 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据复数乘法的几何意义来求得正确答案. 【详解】由于， 所以将绕原点顺时针旋转得到向量所对应的复数为： . 题型十一 复数三角形式的除法 【例11】（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示、复数的三角形式 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】， 故选：C. 【变式11-1】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】复数的三角表示、复数的除法运算 【分析】由复数的除法与乘方运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 【变式11-2】（21-22高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 【答案】(1)， (2) 【知识点】三角表示下复数的几何意义、复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 【分析】(1)根据复数的三角形式旋转后可得新复数； (2)根据复数三角形式的除法运算律求解即可. 【详解】（1）复数逆时针旋转后得, 顺时针旋转后得. （2）由（1）得. 【变式11-3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的三角表示、复数乘、除运算的三角表示 【分析】复数化为三角形式，按三角形式的乘除运算法则，即可求解. 【详解】（1）． （2）原式． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 复数的几何表示及三角表示知识归纳与题型突破 知识点1 复数的几何表示 1.复数的几何意义： （1）复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. （2）复数的几何意义 ①每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系. ②若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是 (a，b)，不是(a，bi). ③复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系. 如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量 表示. 复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量的一一对应关系如下： 2.复数的模： （1）复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝ 　 当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值. （2）复数模的几何意义 复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离. 由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离. （3）模的重要性质：①；②；③. 3.复数的共轭复数：（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作． （2） （3）共轭复数的性质： ①；②；③. 4.复数加减法的几何意义： z1、z1、z3∈C，设、分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)相对应，且、不共线 加法 减法 几何 意义 复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应 复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应 知识点2 复数的三角表示 1.i2=-1的几何意义： 2.旋转任意角： 3.复数三角表示： （1）辐角：θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，记作arg z=θ.若θ是z的一个辐角，则z的所有辐角arg z=θ+2kπ（k为整数） （2） 复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模. （3） 4.复数三角形式的运算： （1）乘法：设复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2， ①z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)=r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． ②推广： ③乘方：……棣莫佛公式 （2）除法：设复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2， ＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 题型一 复数用点、向量表示 【例1】（23-24高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【变式1-1】（23-24高一·上海·课堂例题）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（湖南省部分学校2024-2025学年高三下学期入学检测联考数学试题）复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】（23-24高一·上海·课堂例题）设复数、、、、． (1)在复平面上分别作出这些复数所对应的点A、B、C、D、E； (2)在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量． 题型二 根据复数对应的点求参数 【例2】（22-23高一下·江苏南通·阶段练习）已知复数z满足，且z的虚部为1，z在复平面内所对应的点在第一象限. (1)求z； (2)若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求 【变式2-1】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的值可以是（   ） A．1 B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 【变式2-3】（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知，复数. (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值. 题型三 共轭复数及其运算 【例3】（24-25高三上·河南周口·期末）若复数在复平面上对应点的坐标为，为的共轭复数，则（    ） A．0 B．2 C． D．4 【变式3-1】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）若复数满足，则其共轭复数的模为（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·黑龙江·期末）已知复数，若是纯虚数，则实数（ ） A． B． C．2 D．3 【变式3-3】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知复数，，则 . 题型四 共轭复数的复数特征 【例4】（23-24高一下·山东青岛·期末）已知复数z满足，则的虚部为（    ） A． B．1 C． D．i 【变式4-1】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）若复数，则的共轭复数的虚部是（    ） A． B．i C．-i D．1 【变式4-2】（24-25高三下·北京·开学考试）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-3】（24-25高三上·宁夏银川·期末）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型五 求复数的模 【例5】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）若复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式5-1】（2024·浙江·一模）已知复数（其中是虚数单位），则（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式5-2】（多选）（23-24高一下·青海·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．的虚部是 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【变式5-3】（23-24高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 . 题型六 根据复数的模求参数 【例6】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，且，则实数的取值范围为 ． 【变式6-1】（24-25高三上·上海·期中）记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为 . 【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是 . 【变式6-3】（23-24高一下·江苏·期末）满足且的复数 . 题型七 与复数模相关的图形、轨迹 【例7】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，指出下列等式所表示的几何图形． (1)； (2)． 【变式7-1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数满足，则复数对应的点的集合是什么图形（    ） A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 【变式7-2】（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）已知复数z的模为2，则的最大值为 ． 【变式7-3】（24-25高一下·全国·课前预习）设复数，，则的取值范围是 ． 题型八 复数加减法的几何意义 【例8】（2024高一下·全国·专题练习）（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. （2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离： ①； ②. 【变式8-1】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 【变式8-2】（23-24高一下·四川乐山·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【变式8-3】（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知复数满足，且，求. 题型九 复数代数形式与三角形式的互化 【例9】（23-24高一·上海·课堂例题）把下列复数用三角形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式9-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 【变式9-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）把下列复数用三角形式表示. (1)； (2)； (3)； (4). 【变式9-3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知实数，写出下列复数的三角表示． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十 复数三角形式的乘法（方） 【例10】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【变式10-1】（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一上·上海·课后作业）计算：． 【变式10-3】（23-24高一·上海·课堂例题）设复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转得到向量．求向量所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示） 题型十一 复数三角形式的除法 【例11】（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【变式11-1】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 【变式11-2】（21-22高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 【变式11-3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$