6.4.1 平面几何中的向量方法+6.4.2 向量在物理中的应用举例 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 学习目标 1.能用向量方法解决简单的平面几何问题. 2.能用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题. 新知学习 探究 新课导学 日常生活中，我们会看到如图所示的情况，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为 思考 两人的拉力大小和 的关系. 提示：由 为定值，所以， 解得. 因为当 时， 单调递减， 所以 单调递增, 即 越大越费力， 越小越省力. 一 平面向量在平面几何中的应用 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用①____表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成②____关系. 【答案】向量； 几何 角度1 夹角、距离问题 例1 （1） 在中， ，，，，，与交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. （2） 在平行四边形中，，垂足为，若，则______. 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 建立如图所示的平面直角坐标系，则,，，，得,，所以.故选D. （2） 如图，在平行四边形 中，设 与 交于点，则，因为，所以，因为，所以，所以，解得. （1）用向量方法求长度的策略 ①利用图形特点选择基底，通过向量的数量积转化，用公式求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式.若，则. （2）向量数量积、夹角的计算 利用向量或坐标表示出未知向量，代入相应的公式进行计算. ［跟踪训练1］． （1） 在矩形中，，，若，则与的夹角为________. （2） 如图所示，在矩形中，，点为的中点，且，则________. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 方法一：由，，得，由勾股定理得，，又，，，，故，所以，，得, .方法二：以 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系,则，，，，则，，故，,得， . （2） 以 为坐标原点，所在直线为 轴，所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设，则，，，，所以，，因为，所以，所以，即,解得（负值已舍去）,所以,所以. 角度2 平面几何证明问题 例2 （1） （对接教材例1）用向量的方法证明梯形的中位线定理：梯形的中位线（连接梯形两腰中点的线段）平行于两底，并且等于两底和的一半； （2） 在中，，，是三条边上的高，求证：，，相交于一点. 【答案】 （1） 【证明】因为 所以, 又,分别为,的中点， 则，， 所以, 因为四边形 为梯形，所以, 不妨设, 则， 所以，即， 所以. 因为, 所以, 所以，即命题得证. （2） 如图设，交于点，则只需证明 在 上， 因为，， 所以,， 即，① ，② 得，， 即， 所以，又，所以 在 上， 即，，相交于一点. 用向量证明平面几何问题的基本思路及步骤 （1）基底法 ①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找相应关系;④把几何问题向量化. （2）向量的坐标运算法 ①建立适当的平面直角坐标系;②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化. ［跟踪训练2］．在直角梯形中，， ，，求证：. 证明：方法一：因为 ，，， 所以设,,, 则. 所以， . 而 ， 所以，即. 方法二：如图，建立平面直角坐标系,设，则， ，. 所以，. 所以. 所以. 二 向量在物理中的应用 （1）由于力、速度等物理量既有大小又有方向，因此可以利用向量表示，进而利用向量知识解决相关的问题. （2）此类题目往往借助向量加法的平行四边形法则，把力、速度等物理量分解或者合成，再根据三角形知识解题. 例3 （1） （对接教材例4）如图，已知河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为.若此人实际前进方向与水流方向垂直，且，则他游泳的方向与水流方向的夹角 为（ ） A. B. C. D. （2） 如图所示，把一个物体放在倾斜角为 的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，垂直斜面向上的弹力，沿着斜面向上的摩擦力.已知 ，，则的大小为____________. 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 如图，设,,，则由题意知，，根据向量加法的平行四边形法则得四边形 为平行四边形.由题意知，且，，如图所示，则在 中，，.又，所以，则. （2） 由题设得. 用向量方法解决物理问题的四个步骤 ［跟踪训练3］． （1） （多选）在水流速度大小为 的河水中，一艘船以大小的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船在静水中航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ） A. 这艘船在静水中航行速度的大小为 B. 这艘船在静水中航行速度的大小为 C. 这艘船在静水中航行速度的方向与水流方向的夹角为 D. 这艘船在静水中航行速度的方向与水流方向的夹角为 （2） 一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 （ ） A. 24 B. C. D. 【答案】（1） BD （2） A 【解析】 （1） 选.如图，设船的实际航行速度为，水流速度为，船在静水中航行速度为，根据向量的平行四边形法则可知.设船在静水中航行速度的方向和水流方向的夹角为 ，则，所以， ，船在静水中的速度为，航行速度方向与水流方向的夹角为 .故B，D正确，故选. （2） 选A.由题意可知，，的合力，，则由共点力平衡得合力 对该质点所做的功为.故选A. 课堂巩固 自测 1．（教材P39T2改编）在中， ，，，为的中点，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】选B.如图，以B为原点，，所在直线分别为 轴、轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 所以，. 又 为，的夹角， 所以. 2．（多选）（教材P52T1改编）点是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】AD 【解析】选.因为 是 所在平面内一点， 且， 所以， 即， 所以， 两边平方并化简得， 所以， 所以 ， 则 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形.故选. 3．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.因为两个力，的夹角为，所以，又因为它们的合力大小为，合力与 的夹角为，所以，解得.故选A. 4．如图，在平行四边形的对角线所在的直线上取两点，，使.用向量方法证明：四边形是平行四边形. 证明：如图，，.因为四边形 是平行四边形，所以，又，从而，所以，即 与 平行且相等，所以四边形 是平行四边形. 1.已学习：平面向量在几何、物理中的应用. 2.须贯通：用向量解决几何、物理问题时，先把有关问题转化为向量问题，再通过向量的线性运算或数量积运算解决该问题，最后一定要回归到所研究问题上，体现了转化与化归的思想方法. 3.应注意：忘记把向量运算的结果转化为几何、物理问题. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知，，，四点的坐标分别为，，，，则此四边形为（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【解析】选A.因为，，所以，所以 与 共线.又，所以该四边形为梯形. 2．人骑自行车的速度是，风速为，则人的实际速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.速度是既有大小又有方向的量，所以人的实际速度.故选C. 3．已知点，在单位圆上，，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】选A.，当 时，取最小值，因此 的最小值为2.故选A. 4．[2024·河南焦作期中]已知所在平面内一点满足，则的面积是的面积的（ ） A. 5倍 B. 4倍 C. 3倍 D. 2倍 【答案】A 【解析】选A.设 的中点为，因为，所以，所以， 所以点D是线段 的五等分点，所以，所以 的面积是 的面积的5倍.故选A. 5．河水的流速为，一艘小船以垂直于河岸方向的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.由题意知，，作出示意图如图.所以. 6．（多选）已知点为外接圆的圆心，， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.令，则由勾股定理易得，所以 （舍去）或，所以，所以.故选. 7．某人从点向正东走到达点，再向正北走到达点，则此人的位移的大小是__，方向是北偏东________. 【答案】60； 【解析】如图所示，此人的位移是，且， 则， ， 所以 .所以的方向为北偏东 . 8．在四边形中，已知，，，则四边形的面积是__. 【答案】30 【解析】由已知得， 所以，， 又因为， 即，所以四边形 为矩形. 又， ， 所以四边形 的面积. 9．如图，，，三点在半径为1的圆上运动，是圆外一点，且，，则的最大值为______. 【答案】7 【解析】如图，连接，由题意可知 为圆 的直径，所以 为 的中点， 则，当且仅当，同向时取等号， 所以 的最大值为7. 10．如图,四边形是正方形，是对角线上的一点（不包括端点），,分别在边,上，且四边形是矩形，试用向量方法证明：. 证明：设正方形的边长为1， ， 以 为坐标原点,，所在直线分别为 轴、轴建立平面直角坐标系， 则，， ，， 所以， ， 所以 , , 所以，所以. B 能力提升 11．已知点，，不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则（ ） A. 点在线段上 B. 点在线段的反向延长线上 C. 点在线段的延长线上 D. 点不在直线上 【答案】B 【解析】选B.因为，所以，所以，即点 在线段 的反向延长线上，故选B. 12．已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D. 设 与 交于点，以 为坐标原点，，所在直线分别为 轴、轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则点，，，，， . 13．一质点受到同一平面上的三个力，，单位：的作用而处于平衡状态，已知，的夹角为 ，且，的大小都为，则的大小为______. 【答案】6 【解析】设三个力，，分别对应的向量为,，,则由题知，所以， 所以， 又,,，所以，所以 的大小为. 14．如图，正方形的边在正方形的边上，连接，，交于. （1） 证明：； （2） 请说明当点在的什么位置时，最小？ 【答案】 （1） 证明：以 为原点，所在直线为 轴，所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设，，且， 所以，，,，所以，， 所以，所以，即. （2） 解：易知,， ,,所以，当且仅当 时取等号，所以点 在 的中点时，最小. C 素养拓展 15．[2024·广西柳州期中]已知是内的一点，若，，的面积分别记为，，，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.已知是的垂心，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A. 如图，是 的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，则，，，，，因此.同理得，.于是得.因为，所以由“奔驰定理”，得，所以. 16．已知,,现有一动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度的大小为;另一动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度的大小为.设,在时分别在,处,问当时，所需的时间为多少？ 解：,,其单位向量的坐标为；,, 其单位向量的坐标为. 由题意知,, 所以, . 由,, 得,, 所以,. 因为,所以, 即, 解得. 即当 时，所需的时间为. 学科网（北京）股份有限公司 $$6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 学习目标 1.能用向量方法解决简单的平面几何问题. 2.能用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题. 新知学习 探究 新课导学 日常生活中,我们会看到如图所示的情况,两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为,作用在行李包上的两个拉力分别为,,且,与的夹角为 思考 两人的拉力大小和 的关系. 一 平面向量在平面几何中的应用 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用①_表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成②_关系. 角度1 夹角、距离问题 例1 (1) 在中, ,,,,,与交于点,则的值为( ) A. B. C. D. (2) 在平行四边形中,,垂足为,若,则_. (1)用向量方法求长度的策略 ①利用图形特点选择基底,通过向量的数量积转化,用公式求解. ②建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式.若,则. (2)向量数量积、夹角的计算 利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算. [跟踪训练1]. (1) 在矩形中,,,若,则与的夹角为_. (2) 如图所示,在矩形中,,点为的中点,且,则_. 角度2 平面几何证明问题 例2 (1) (对接教材例1)用向量的方法证明梯形的中位线定理:梯形的中位线(连接梯形两腰中点的线段)平行于两底,并且等于两底和的一半; (2) 在中,,,是三条边上的高,求证:,,相交于一点. 用向量证明平面几何问题的基本思路及步骤 (1)基底法 ①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找相应关系;④把几何问题向量化. (2)向量的坐标运算法 ①建立适当的平面直角坐标系;②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找相应关系;④把几何问题向量化. [跟踪训练2].在直角梯形中,, ,,求证:. 二 向量在物理中的应用 (1)由于力、速度等物理量既有大小又有方向,因此可以利用向量表示,进而利用向量知识解决相关的问题. (2)此类题目往往借助向量加法的平行四边形法则,把力、速度等物理量分解或者合成,再根据三角形知识解题. 例3 (1) (对接教材例4)如图,已知河水自西向东流速为,设某人在静水中游泳的速度为,在流水中实际速度为.若此人实际前进方向与水流方向垂直,且,则他游泳的方向与水流方向的夹角 为( ) A. B. C. D. (2) 如图所示,把一个物体放在倾斜角为 的斜面上,物体处于平衡状态,且受到三个力的作用,即重力,垂直斜面向上的弹力,沿着斜面向上的摩擦力.已知 ,,则的大小为_. 用向量方法解决物理问题的四个步骤 [跟踪训练3]. (1) (多选)在水流速度大小为 的河水中,一艘船以大小的实际航行速度垂直于对岸行驶,则下列关于这艘船在静水中航行速度的大小和方向的说法中,正确的是( ) A. 这艘船在静水中航行速度的大小为 B. 这艘船在静水中航行速度的大小为 C. 这艘船在静水中航行速度的方向与水流方向的夹角为 D. 这艘船在静水中航行速度的方向与水流方向的夹角为 (2) 一质点在力,的共同作用下,由点移动到,则,的合力对该质点所做的功为 ( ) A. 24 B. C. D. 课堂巩固 自测 1.(教材P39T2改编)在中, ,,,为的中点,则( ) A. B. C. 0 D. 2.(多选)(教材P52T1改编)点是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是( ) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 3.已知两个力,的夹角为,它们的合力大小为,合力与的夹角为,那么的大小为( ) A. B. C. D. 4.如图,在平行四边形的对角线所在的直线上取两点,,使.用向量方法证明:四边形是平行四边形. 1.已学习:平面向量在几何、物理中的应用. 2.须贯通:用向量解决几何、物理问题时,先把有关问题转化为向量问题,再通过向量的线性运算或数量积运算解决该问题,最后一定要回归到所研究问题上,体现了转化与化归的思想方法. 3.应注意:忘记把向量运算的结果转化为几何、物理问题. 课后达标 检测 A 基础达标 1.已知,,,四点的坐标分别为,,,,则此四边形为( ) A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 2.人骑自行车的速度是,风速为,则人的实际速度为( ) A. B. C. D. 3.已知点,在单位圆上,,若,则的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. D. 4 4.[2024 河南焦作期中]已知所在平面内一点满足,则的面积是的面积的( ) A. 5倍 B. 4倍 C. 3倍 D. 2倍 5.河水的流速为,一艘小船以垂直于河岸方向的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( ) A. B. C. D. 6.(多选)已知点为外接圆的圆心,, ,则( ) A. B. C. D. 7.某人从点向正东走到达点,再向正北走到达点,则此人的位移的大小是_,方向是北偏东_. 8.在四边形中,已知,,,则四边形的面积是_. 9.如图,,,三点在半径为1的圆上运动,是圆外一点,且,,则的最大值为_. 10.如图,四边形是正方形,是对角线上的一点(不包括端点),,分别在边,上,且四边形是矩形,试用向量方法证明:. B 能力提升 11.已知点,,不在同一条直线上,点为该平面上一点,且,则( ) A. 点在线段上 B. 点在线段的反向延长线上 C. 点在线段的延长线上 D. 点不在直线上 12.已知菱形中,,,点为上一点,且,则的余弦值为( ) A. B. C. D. 13.一质点受到同一平面上的三个力,,单位:的作用而处于平衡状态,已知,的夹角为 ,且,的大小都为,则的大小为_. 14.如图,正方形的边在正方形的边上,连接,,交于. (1) 证明:; (2) 请说明当点在的什么位置时,最小? C 素养拓展 15.[2024 广西柳州期中]已知是内的一点,若,,的面积分别记为,,,则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.已知是的垂心,且,则( ) A. B. C. D. 16.已知,,现有一动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度的大小为;另一动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度的大小为.设,在时分别在,处,问当时,所需的时间为多少? 学科网(北京)股份有限公司 $$