第06讲 函数y＝Asin（ωx+φ）的图像（知识点+9种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

第06讲 函数y＝Asin（ωx+φ）的图像 课程标准 学习目标 1.通过函数图象的变换，培养直观想象素养. 2.借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养. 1.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．(难点) 2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．(重点) 3.求函数解析式时φ值的确定．(易错点) 知识点01函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【即学即练1】（23-24高一下·上海·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及辅助角公式化简解析式，即可求得周期. （2）由的范围求得的范围，再利用正弦函数的性质可得结果. 【详解】（1）依题意，， 所以的最小正周期. （2）由，得， 则当，即时，， 所以在区间上的最小值是. 题型一：相位变换及解析式特征 1.（22-23高一下·上海嘉定·期末）要得到函数的图象，只要将函数的图象  （     ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据平移前后解析式判断图象平移过程即可. 【详解】将向右平移个单位，则，其它平移过程都不满足. 故选：D 2.（21-22高一下·上海普陀·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可. 【详解】 将函数向左平移个单位得： 故选：B 3.（21-22高一下·上海黄浦·期末）函数的初始相位是 ． 【答案】 【分析】由初始相位的定义可得结论. 【详解】因为， 所以函数的初始相位是， 故答案为：. 4.（21-22高一下·上海普陀·阶段练习）设函数的表达式为. (1)求函数在上的单调递增区间； (2)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，函数，当，且时，有，求的值. 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）根据三角函数的单调性计算 （2）由题意求出的解析式，化简后利用对称性求解 【详解】（1）令，解得 时，单调递增区间为和 （2）由题意 令，解得为的对称轴 ，，此时 题型二：上下平移变换及解析式特征 1.（21-22高一下·上海闵行·期中）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：，，，，则“同形”函数是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数图象的平移性质逐一判断即可. 【详解】，， 因为正弦型函数的图象经过若干次平移后，振幅不改变， 所以只有与的振幅相同，故只有这两个函数是“同形”函数， 故选：C 2.函数的图像按向量平移后所得图像的函数解析式为，当函数为奇函数时，向量可以等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数到的路线，进而确定向量. 【详解】∵， ∴将函数向左平移个单位， 再向上平移2个单位可得到为奇函数， ∴， 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意向量的平移的方向，属于基础题. 3.（20-21高一下·上海浦东新·期末）将的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位之后，可得的图像，则 【答案】 【分析】直接利用三角函数的关系式的平移变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数值. 【详解】函数的图象向下平移1个单位后，得到的图象， 再向右平移个单位，得到的图象， 所以， 故答案为：. 题型三：周期变换及解析式特征 1.（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）将函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图像伸缩变化和平移变化的规律，求函数解析式. 【详解】函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得函数的图像， 再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则. 故选：D 2.（高一下·上海浦东新·期中）已知曲线，则下面结论正确的是（    ） A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 【答案】D 【分析】根据三角函数图像的伸缩和平移变换,即可得解. 【详解】首先将上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,可得; 再把得到的曲线向左平移个单位长度,可得,即为的图像 综上可知,D为正确选项 故选:D 【点睛】本题考查了三角函数图像的伸缩和平移变换,注意先伸缩再平移过程中的平移量,属于中档题. 3.（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数，将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数的部分图像如图所示，若，则 ． 【答案】/ 【分析】设点的坐标，然后通过向量的坐标运算公式求出周期，进而求出。 【详解】设，其中为的最小正周期， 根据得：，解得， 因为是由图像上的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变， 所以的解析式为，故，即。 故答案为： 题型四：描述正（余）弦型函数图象的变换过程 1.（23-24高一下·上海·期中）要得到的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】C 【分析】先将变形为，再结合平移变换的左加右减原则即可得解. 【详解】因为， 所以只要把函数的图象向左移个单位即可得到的图象. 故选：C. 2.（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【答案】B 【分析】根据题意，由三角函数的平移变换，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以函数是由向右平移得到的. 故选：B 3.（22-23高一下·上海嘉定·期中）把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（    ） A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移 【答案】D 【分析】根据图象变换的规则及三角公式先将变成，再提取系数3，由平移的规则研究即可. 【详解】，， 函数的图象向左平移可以得到的图象. 故选：D 4.（21-22高一下·上海杨浦·期末）函数的图象为，现有三个论断： （1）图象关于直线对称； （2）函数在区间内是增函数； （3）由函数的图象向右平移个单位长度可以得到图象. 以上三个论断中，正确结论的序号为 . 【答案】（1） 【分析】根据三角函数的对称性、单调性、三角函数图象变换等知识求得正确答案. 【详解】（1），，所以（1）正确. （2），， 根据正弦函数的单调性可知，在区间内不是增函数. 所以（2）错误. （3）函数的图象向右平移个单位长度得到， 所以（3）错误. 故答案为：（1） 题型五：求图象变化前（后）的解析式 1.（22-23高一下·上海闵行·期末）函数的图像可按向量方向平移到图像（平移距离为），的函数解析式为，当为奇函数时，向量可以等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移变换得到的解析式，然后根据奇函数的性质求解即可. 【详解】设，所以， 因为为奇函数，所以， 令，整理得，所以可以等于. 故选：B. 2.（22-23高一下·上海徐汇·期中）将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（    ）． A．9 B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】根据三角函数图象的平移求得的解析式，根据已知求得的最大值和的最小值，即可求得的最大值以及的最小值，即得答案. 【详解】将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像, 即，则， 故由可得， 则， 因为，故， 所以需取到最大值，取到最小值， 即取到最大值，取到最小值，此时取最大值， 即最大值为， 故选：A 3.（22-23高一下·上海·期中）将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为 ． 【答案】 【分析】直接利用函数的图像的平移变换求解析式. 【详解】函数图像向左平移个单位， 所得图像的解析式为. 故答案为：. 题型六：结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 1.（21-22高一下·上海虹口·期末）已知函数的部分函数图像如下图，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】利用图象可确定最小正周期，由此可得，结合可得，由此可得；由可知其周期为，结合可求得结果. 【详解】由图象可得：，解得：； 又，，解得：， ，，； ，的周期为， 又，. 故选：C 2.（23-24高一下·上海奉贤·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数的图象变化规律，结合三角函数的奇偶性、诱导公式，求得的值. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象， 根据所得函数为奇函数，可得 ，即，因为，令，可得， 故答案为： 3．（22-23高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为 . 【答案】， 【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数，再由正弦函数的性质求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位可得：， 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，可得， 令，， 解得，， 则的单调递减区间为，， 故答案为：， 题型七：由图象确定正（余）弦型函数解析式 1.（23-24高一下·上海·期末）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可，即边长即函数的周期，再由周期公式求得的值. 【详解】 如图所示，在函数与交点中， 令,不妨取，即， 因为三个相邻的交点构成一个等边三角形， 当时，函数值为，故等边三角形的高为， 由此得到边长为，边长即为函数的周期， 故.所以 故选：A． 2．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）下图是函数的部分图像，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象先求出函数的周期和ω，利用五点法求出函数的φ的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可. 【详解】解：由图象知函数的周期 ， 即 即   当 时，，解得， 所以， ， 当 时， ，解得， 所以， 故选： C. 3．（23-24高一下·上海·期中）下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用周期可求，由图象可求，进而利用图象过点，可求，进而可得解析式. 【详解】由图象可得周期，所以，所以， 所廖以，由图象和各选项可得， 所以，由图象过点， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：D. 4．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象直接求出，再利用图象过点，即可求出，即可解决问题. 【详解】因为一个图象对应的函数具有唯一性，故此处不妨设 由函数的图象可知，，又，得到， 又因为函数的图象经过，所以，得到， 所以，又，所以， 所以函数的解析式为， 故选：C． 5.（23-24高一下·上海·期中）已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 【答案】(1)，，. (2) 【分析】（1）由振幅、初始相位定义以及最小正周期公式即可得解. （2）由（1）即可得解. 【详解】（1）由题得，即. （2）由（1）得函数的表达式为. 6．（23-24高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 【答案】(1)， (2)对称中心坐标为，， 【分析】（1）利用函数图象列出，解得，，结合函数的周期，求解，利用函数的最大值求解，然后得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，根据正弦函数的性质求出对称中心坐标，通过的范围，求出的范围，结合正弦函数性质计算可得． 【详解】（1）由图象可知，解得， 又由于，可得，又，所以， 由图象知，，又因为，则， 所以，则，所以． 由，，解得，． 函数的单调递增区间是，． （2）将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到： ， 令，解得， 所以的对称中心坐标为， 因为，所以， 所以当，即时； 当，即时. 题型八：由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 1.（23-24高三上·上海虹口·期末）已知函数，的部分图象如图所示，则 ． 【答案】 【分析】根据图象得到函数周期，进而得到的值，再结合特殊点函数值求得答案. 【详解】由题意得，函数周期为，所以， 所以，由， 得，即， 又因为，所以，所以. 故答案为： 2．（22-23高三下·上海黄浦·阶段练习）已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出的范围，由正弦函数的图像性质可得解. 【详解】由，可得， 因为函数，，恰有2个零点，由正弦函数图像性质可得 ，从而解得. 故答案为： 3．（21-22高一下·上海浦东新·期中）函数的图象如下，求它的解析式 . 【答案】 【分析】根据最高点可确定，利用周期，将代入即可求解. 【详解】由图象最高点可知,由点和可得周期,此时 将代入得,由于 ，所以取，故 故答案为：. 4.（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 【答案】(1)答案见详解 (2)；， (3) 【分析】（1）根据题意，可得，完成五点法列表； （2）利用解析式结合正弦函数的单调递增区间，即可求出的单调递增区间； （3）根据题意可得，求得，又恒成立，可得，求得，得解. 【详解】（1）若，，则，，五点法列表如下： 0 0 1 0 0 （2）若，，则，所以最小正周期， 由的单调性可知，，即， 所以的单调增区间为，. （3）由题意可得的周期，则， 所以，又恒成立， 所以，即，即， 又，所以， 所以. 5.（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知函数的图像如图. (1)根据图像，求的表达式及严格增区间； (2)将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图像，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围. 【答案】(1)，增区间为； (2)[-1,2]. 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求解的单调递增区间． （2）利用函数的图象变换规律，得到的解析式，根据正弦函数的定义域和值域，即可求得的范围． 【详解】（1）根据函数的图象，可得， ，所以，， 由五点法作图，可得， ，故， 令，求得，Z， 的单调递增区间，Z． （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线的图象， 把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象， 由在上有解，即在上有解， 因为，， 所以， 所以的取值范围为． 题型九：正、余弦型三角函数图象的应用 1.（23-24高一下·上海·期中）设（其中），若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，可得①；或且②，分别解①②，求得的范围. 【详解】（其中）既没有最大值，也没有最小值， 且，可得；或且，可得； 结合正弦函数的性质，易知其它区间不符合. 故答案为：. 2．（20-21高一下·上海浦东新·期中）已知函数在上的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先利用三角函数两角和公式，进行化简，其次，结合值域的取值范围求出的取值范围，最后根据该取值范围求出最后答案. 【详解】由题意可得 ，其中，，， 设，， ，， ， ，， ，， ， 即， ， 的取值范围为， 故答案为：. 3.（21-22高一下·上海徐汇·期中）已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式； (2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点． 【答案】(1)， (2)． 【分析】(1)根据函数图象的变关系直接求解； (2)转化为方程有个根，根据奇数个根可得其中一个根必为或1，分类讨论求解. 【详解】（1）， 当时，， 因为，取， ， 将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 可得函数，再将所得图像向右平移个单位长度后， ， （2）由（1）得， ， 不妨设或，显然 若，则在上必有偶数个零点， 所以中至少有一个为或， 不妨设， 当，则（舍）； 当，则， 此时在上有3个零点， 又， 即， 综上所述，． 一、单选题 1．（21-22高一下·上海浦东新·期中）若把函数的图象沿轴向左平移个单位，沿轴向下平移一个单位，然后再把图象上各个点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象的平移变换求即可. 【详解】函数的图象上各个点的横坐标伸长为原来的2倍得到，然后向上平移一个单位得到，向右平移个单位得到，所以. 故选：D. 2．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）设a，，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数组的组数为（    ） A．1组； B．2组； C．4组； D．无数组． 【答案】C 【分析】由题意得出，，然后对、的取值进行分类讨论，结合题中等式求出的值，即可得出正确选项. 【详解】由题意知，函数与函数的最大值相等，最小值也相等，则， 函数与函数的最小正周期相等，则， 当，时，由于，则， 由于，此时，； 当，时，， 则，得，，此时，； 当，时，， 则，得，，则； 当，时，， 则，得，，则. 因此，满足条件的有序实数组的组数为组. 故选：C． 3．（23-24高一下·上海·期中）已知，关于该函数有下面两种说法， ①当时，的取值范围为 ②的图象可由的图象向右平移个单位长度得到. 下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误； C．①错误，②正确 D．①错误，②错误； 【答案】C 【分析】首先化简函数的解析式，再根据函数值域的求解方法，以及平移规律，即可判断选项. 【详解】， 对于①，当时，，可得，可得的取值范围为，故①错误； 对于②，向右平移个单位长度得到，故②正确 故选：C 4．（21-22高一下·上海黄浦·期中）将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，，从而可求得，结合平移后的函数图象可确定的取值范围，继而可得的值，最后得函数的解析式． 【详解】解：函数的图象向左平移个单位，为， 由图象得：①， 解得：，又有图可知，最小正周期满足，即② 结合①②得： 平移后的图象所对应的函数的解析式为：. 故选：C． 二、填空题 5．（20-21高一下·上海徐汇·期中）将的图象向右平移个单位，得到函数 的图象. 【答案】 【分析】利用三角函数变换可得结果. 【详解】将的图象向右平移个单位，可得函数的图象. 故答案为：. 6．（21-22高一下·上海浦东新·期末）将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为 ． 【答案】 【分析】横坐标缩短到原来的，将变为即可. 【详解】将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数的初始相位为 . 【答案】 【分析】根据给定函数,结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】函数的初始相位为. 故答案为：. 8．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则此函数的表达式为 ．    【答案】 【分析】由图求出，根据周期求出，代入点求出. 【详解】由图知，且，解得，即，解得. 则，所以当时，， 即，则， 又，所以当时，，即. 故答案为: . 9．（22-23高一下·上海宝山·期末）函数的部分图象如图所示，则 ． 【答案】/ 【分析】根据图象求得，进而可得，再代入最大值点即可求得的值，进而可求得. 【详解】由已知可得，，所以，所以， 所以. 又因为在处取得最大值， 所以有， 所以. 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海·期中）如图所示为的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么 .    【答案】 【分析】由求出，根据图象过求出，可得函数的解析式，从而得到的值． 【详解】根据函数，的部分图象，，两点之间的距离为5， 可得，求得． 根据图象过，可得，求得， ， ，可得， 故， 故答案为：． 11．（21-22高一下·上海崇明·期中）将函数上的点，先保持纵坐标不变，将横坐标放大为原来的两倍，再向左平移个单位，得到的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】先结合诱导公式化简函数，再根据三角函数图象的伸缩变换与平移变换求得最终函数解析式即可. 【详解】解：由于．将横坐标放大为原来的两倍得解析式为， 再向左平移个单位，得到的函数解析式为. 故答案为：. 12．（21-22高一下·上海青浦·期末）把函数的图象向右平移个单位，得到的解析式是 . 【答案】 【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，可得到答案. 【详解】把函数的图象向右平移个单位， 得到函数的图象，即得到函数解析式为， 故答案为： 13．（22-23高一下·上海普陀·期中）将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则 ． 【答案】 【分析】先根据平移规律求出，然后再由为偶函数得出满足的关系式，从而求出结果. 【详解】因为将函数的图像向左平移个单位后得到函数， 所以， 因为函数是上的偶函数， 所以，得， 且，即，所以. 故答案为：. 14．（22-23高一下·上海奉贤·期中）如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为 ．    【答案】 【分析】设，其中，根据，求得，得到，得到函数，结合，即可求解． 【详解】由函数的部分图象，设，其中， 因为，可得，解得， 即，所以，可得，所以， 又由，可得，因为，所以． 故答案为：. 15．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 【答案】 【分析】借助图象结合三角函数的周期性可计算出函数解析式，再由所给条件可得，代入计算即可得解. 【详解】由图可得，又，故， ，又，故， 则有，，即，， 又，则，即， 由，则， 即， 故或，， 即或，， 又，故， 则. 故答案为：. 16．（21-22高一下·上海浦东新·期末）函数（）的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则函数 ． 【答案】 【分析】根据函数图象求得和最小正周期，继而求得 ，利用点带入解析式求得，即得函数解析式，根据三角函数图象的平移变换可得答案. 【详解】由函数图象可知， ， 将代入函数解析式得， 则，由于，所以， 即， 将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象， 则， 故答案为： 三、解答题 17．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知函数的图像的一部分如图所示.求函数的解析式.      【答案】 【分析】由图象得到，，从而求出，代入特殊点坐标，求出，得到函数解析式. 【详解】由图象可知，最小正周期设为，则，故， 即，解得， 故， 将代入解析式得，， 解得，， 因为，所以， 故 18．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将题给不等式进行参变分离，再利用换元法和二次函数性质即可求得实数的取值范围； （2）先求得函数的解析式，再依据题给条件求得的值，进而利用三角函数的性质求得实数的取值范围． 【详解】（1）由题意得，对任意时， 不等式恒成立， 即不等式恒成立， 由，可得，则， 令，则， 则时，不等式， 即恒成立， 令，则，又在上单调递减， 则，则， 则，解之得 （2）由题意得，， 存在非零常数，对任意，有 即成立， 由， 则，则，解之得， 当时，，则2为的一个周期， 则2为的最小正周期的整数倍，即， 则. 当时，， 即恒成立， 则，即， 综上： 19．（23-24高一下·上海·期末）已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． (1)求的解析式和周期． (2)当 时，求的值域． 【答案】(1)，周期为 (2) 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，即可求解； （2）当时，得到，利用正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为， 可得最小正周期，所以. 又由图象上一个最低点为，可得， 且，即，可得， 即，因为，所以， 所以函数的解析式为，且由最小正周期，可得的周期为. （2）解：由（1）知， 当时，可得， 所以，当时，即时，函数取得最小值为； 当时，即，函数取得最大值为， 所以函数的值域为. 20．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知函数的部分图像如图所示： (1)求函数的表达式； (2)当时，求方程的所有根的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的图象，得到，求得，再由，求得，即可求解； （2）由，求得或，结合，分类讨论，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，可得，所以， 因为，即， 可得，即， 又因为，可得，所以. （2）解：由，可得或， 因为，可得， 当时，，设方程的解为， 则，可得； 当时，，则，可得， 综上所述，方程的所有根的和为. 21．（23-24高一下·上海·期中）已知 ，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值： (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知与是相邻的最小值点和最大值点，从而可求出函数的最小正周期，再利用周期公式可求出； （2）根据三角函数图象变换规律得到，结合和求得，根据的零点个数得，则要使最小，则恰好是的零点，从而可求出的最小值； （3）根据题意可得的值域是值域的子集，求出这两个值域，列不等式组可求得结果. 【详解】（1）函数， 因为对任意的恒成立，且， 所以与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 所以，得； （2）由题意可得， 因为是的一个零点， 所以， 所以， 所以，或， 得或， 因为，所以， 所以， 所以的最小正周期为， 令，则， 所以或， 得或， 因为函数在（，且）上恰好有8个零点， 所以, 要使最小，则恰好是的零点， 所以的最小值为； （3）由（2）知， 设在上的值域为，在上的值域为， 因为对任意，存在，使得成立， 所以， 当时，，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以，所以, 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查利用正弦函数的性质求函数的解析式，考查三角函数图象变换规律，考查求三角函数的值域，第（3）问解题的关键是利用三角函数的性质求出两函数的值域，然后将问题转化为两个函数值域的包含关系，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 函数y＝Asin（ωx+φ）的图像 课程标准 学习目标 1.通过函数图象的变换，培养直观想象素养. 2.借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养. 1.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．(难点) 2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．(重点) 3.求函数解析式时φ值的确定．(易错点) 知识点01函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【即学即练1】（23-24高一下·上海·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最小值. 题型一：相位变换及解析式特征 1.（22-23高一下·上海嘉定·期末）要得到函数的图象，只要将函数的图象  （     ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2.（21-22高一下·上海普陀·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 3.（21-22高一下·上海黄浦·期末）函数的初始相位是 ． 4.（21-22高一下·上海普陀·阶段练习）设函数的表达式为. (1)求函数在上的单调递增区间； (2)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，函数，当，且时，有，求的值. 题型二：上下平移变换及解析式特征 1.（21-22高一下·上海闵行·期中）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：，，，，则“同形”函数是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2.函数的图像按向量平移后所得图像的函数解析式为，当函数为奇函数时，向量可以等于（    ） A． B． C． D． 3.（20-21高一下·上海浦东新·期末）将的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位之后，可得的图像，则 题型三：周期变换及解析式特征 1.（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）将函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2.（高一下·上海浦东新·期中）已知曲线，则下面结论正确的是（    ） A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 3.（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数，将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数的部分图像如图所示，若，则 ． 题型四：描述正（余）弦型函数图象的变换过程 1.（23-24高一下·上海·期中）要得到的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 2.（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 3.（22-23高一下·上海嘉定·期中）把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（    ） A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移 4.（21-22高一下·上海杨浦·期末）函数的图象为，现有三个论断： （1）图象关于直线对称； （2）函数在区间内是增函数； （3）由函数的图象向右平移个单位长度可以得到图象. 以上三个论断中，正确结论的序号为 . 题型五：求图象变化前（后）的解析式 1.（22-23高一下·上海闵行·期末）函数的图像可按向量方向平移到图像（平移距离为），的函数解析式为，当为奇函数时，向量可以等于（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高一下·上海徐汇·期中）将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（    ）． A．9 B． C．3 D．11 3.（22-23高一下·上海·期中）将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为 ． 题型六：结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 1.（21-22高一下·上海虹口·期末）已知函数的部分函数图像如下图，则（    ） A． B． C．1 D．0 2.（23-24高一下·上海奉贤·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 3．（22-23高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为 . 题型七：由图象确定正（余）弦型函数解析式 1.（23-24高一下·上海·期末）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）下图是函数的部分图像，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海·期中）下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（    ）    A． B． C． D． 5.（23-24高一下·上海·期中）已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 6．（23-24高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 题型八：由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 1.（23-24高三上·上海虹口·期末）已知函数，的部分图象如图所示，则 ． 2．（22-23高三下·上海黄浦·阶段练习）已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 3．（21-22高一下·上海浦东新·期中）函数的图象如下，求它的解析式 . 4.（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 5.（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知函数的图像如图. (1)根据图像，求的表达式及严格增区间； (2)将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图像，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围. 题型九：正、余弦型三角函数图象的应用 1.（23-24高一下·上海·期中）设（其中），若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是 . 2．（20-21高一下·上海浦东新·期中）已知函数在上的值域为，则的取值范围为 . 3.（21-22高一下·上海徐汇·期中）已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式； (2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点． 一、单选题 1．（21-22高一下·上海浦东新·期中）若把函数的图象沿轴向左平移个单位，沿轴向下平移一个单位，然后再把图象上各个点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）设a，，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数组的组数为（    ） A．1组； B．2组； C．4组； D．无数组． 3．（23-24高一下·上海·期中）已知，关于该函数有下面两种说法， ①当时，的取值范围为 ②的图象可由的图象向右平移个单位长度得到. 下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误； C．①错误，②正确 D．①错误，②错误； 4．（21-22高一下·上海黄浦·期中）将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（20-21高一下·上海徐汇·期中）将的图象向右平移个单位，得到函数 的图象. 6．（21-22高一下·上海浦东新·期末）将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为 ． 7．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数的初始相位为 . 8．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则此函数的表达式为 ．    9．（22-23高一下·上海宝山·期末）函数的部分图象如图所示，则 ． 10．（23-24高一下·上海·期中）如图所示为的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么 .    11．（21-22高一下·上海崇明·期中）将函数上的点，先保持纵坐标不变，将横坐标放大为原来的两倍，再向左平移个单位，得到的函数解析式是 ． 12．（21-22高一下·上海青浦·期末）把函数的图象向右平移个单位，得到的解析式是 . 13．（22-23高一下·上海普陀·期中）将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则 ． 14．（22-23高一下·上海奉贤·期中）如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为 ．    15．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 16．（21-22高一下·上海浦东新·期末）函数（）的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则函数 ． 三、解答题 17．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知函数的图像的一部分如图所示.求函数的解析式.      18．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 19．（23-24高一下·上海·期末）已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． (1)求的解析式和周期． (2)当 时，求的值域． 20．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知函数的部分图像如图所示： (1)求函数的表达式； (2)当时，求方程的所有根的和． 21．（23-24高一下·上海·期中）已知 ，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值： (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$