第07讲 正切函数的图象与性质（知识点+10种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

第07讲 正切函数的图象与性质 课程标准 学习目标 1.借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养. 2.通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养. 1.能画出正切函数的图象．(重点) 2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点) 知识点01正切函数的图像与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ，k∈Z 单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数 【即学即练1】（21-22高一下·上海长宁·期中）函数的单调增区间是 . 题型一：正切函数的图象 1.（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．既非充分也非必要条件 D．充要条件 2.（高一下·上海浦东新·期末）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 3.（高一下·上海杨浦·期中）函数的对称轴是 . 4.（2021高一·上海·专题练习）作出函数的图象. 题型二：利用正切函数的单调性求参数 5.（20-21高一下·上海宝山·期末）函数（常数）在开区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 6．（23-24高一下·上海·期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 . 7.（高二上·上海黄浦·期中）若“，”是真命题，则实数的最小值为 . 8.（高三下·上海黄浦·阶段练习）若函数在上是递增函数，则的取值范围是 题型三：求正切（型）函数的奇偶性 9.（23-24高一下·上海·期末）下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·上海闵行·期末）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 11.（21-22高一下·上海浦东新·期末）下列3个函数：①；②；③；其中最小正周期为的偶函数的编号为 . 12.（2021高一·上海·专题练习）判断下列函数的奇偶性 （1）（2） 题型四：由正切函数的奇偶性求函数值 13.（21-22高一下·上海浦东新·期中）已知函数，且，则 . 14．（20-21高一下·上海浦东新·期中）函数，若，则的值为 题型五：求正切（型）函数的周期 15.（2025·上海·模拟预测）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（   ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 16.（23-24高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期为 ． 17．（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期为 . 18.（高一下·上海静安·期末）已知余切函数. （1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明） （2）求证：余切函数在区间上单调递减. 题型六：由正切函数的周期求值 19.（2021高一·上海·专题练习）函数的图像相邻的两支截直线所的线段长度为，则的值为 （     ） A． B． C． D． 20.（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）若函数（其中常数）的最小正周期为，则常数取值集合元素个数为 21．（21-22高一下·上海奉贤·期中）直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是 ． 22．（20-21高一下·上海杨浦·期中）若函数（其中常数的最小正周期为2，则的值为 题型七：求正切（型）函数的对称中心 23.（21-22高一下·上海黄浦·期中）函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 24．（2021高一·上海·专题练习）函数的图像关于点 成中心对称. 25．（高一下·上海浦东新·期中）函数的对称中心是 . 26．（20-21高一下·上海·单元测试）写出函数的定义域、最小正周期、单调区间、对称中心． 题型八：求正切（型）函数的定义域 27.（23-24高一下·上海·期中）下列四个函数中，定义域为R且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 28．（20-21高一下·上海金山·期中）下列命题中正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．第一象限的角必是锐角 C．若，则与的终边相同 D．不是周期函数． 29．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 30．（22-23高一下·上海静安·期中）函数的定义域是 ． 31.（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域和单调区间． 题型九：求正切（型）函数的值域及最值 32.（21-22高三上·上海浦东新·期中）下列函数中，值域为的是（ ） A． B． C． D． 33．（20-21高三上·上海浦东新·期中）已知，，则下列说法中正确的是（    ） A．函数不为奇函数 B．函数存在反函数 C．函数具有周期性 D．函数的值域为 34.（20-21高一下·上海长宁·期末）函数，的值域为 . 35.（24-25高一·上海·随堂练习）求函数的定义域与值域，并作其图像． 题型十：求含tanx的二次式的最值 36.（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 37．（21-22高一下·上海长宁·期中）函数，的值域为 ． 38．（20-21高一下·上海徐汇·期中）函数的值域是 39.（2021高一·上海·专题练习）已知，求它的最小值 40．（2021高一·上海·专题练习）求函数的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量的集合. 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·单元测试）下列函数中在上为严格减函数的是（    ） A．； B．； C．； D．． 2．（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 3．（23-24高一下·上海松江·期末）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海嘉定·期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”.而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①：②函数在上有4048个零点，则以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·期中）满足的所有的集合为 . 6．（22-23高一下·辽宁·期中）若的相邻两个对称中心距离是，则正实数的值是 . 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）函数的最小正周期为 8．（23-24高一下·上海·期中）函数，的最大值为 . 9．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若，且满足，则的最小值为 ． 10．（20-21高一下·上海金山·期中）函数的图象的对称中心为 ． 11．（22-23高一下·上海嘉定·期中）下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是 .（只填写正确说法的序号） 12．（21-22高一下·上海浦东新·期末）对于函数，其中，已知，则 . 13．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则方程在上的解集为 . 14．（21-22高一下·上海浦东新·期中）若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是 ． 15．（22-23高一下·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 16．（23-24高一下·上海·期中）若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 三、解答题 17．（22-23高一下·上海浦东新·期中）对于函数且. (1)求函数的定义域D； (2)判断π是否是的周期(不需要说明理由)；并证明2π是的一个周期. 18．（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 19．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 20．（23-24高一下·上海·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 21．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 正切函数的图象与性质 课程标准 学习目标 1.借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养. 2.通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养. 1.能画出正切函数的图象．(重点) 2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点) 知识点01正切函数的图像与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ，k∈Z 单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数 【即学即练1】（21-22高一下·上海长宁·期中）函数的单调增区间是 . 【答案】 【分析】根据正切函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：令， 得， 所以函数的单调增区间是. 故答案为：. 题型一：正切函数的图象 1.（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．既非充分也非必要条件 D．充要条件 【答案】C 【分析】利用特值法，结合充分必要条件的定义即可 【详解】由于满足，但推不出，故必要性不满足； 由于满足，但正切值不存在，所以充分性不满足； 所以是的既非充分也非必要条件 故选：C 2.（高一下·上海浦东新·期末）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程化为，结合正切函数的性质，即可求解方程的解，得到答案. 【详解】由题意，方程，可化为， 解得，，即方程的解集为. 故选：C. 3.（高一下·上海杨浦·期中）函数的对称轴是 . 【答案】， 【分析】作出函数的图象，观察图象可得出函数的对称轴方程. 【详解】函数的图象是把轴的下部分翻折到轴的上方可得到的，如下图所示： 由图象可知，函数的对称轴是，. 故答案为：，. 【点睛】本题考查含绝对值的正切函数对称轴的求解，作出函数图象是关键，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 4.（2021高一·上海·专题练习）作出函数的图象. 【答案】图见解析 【分析】依题意是将在轴下方部分的图象关于轴翻折上去，即可得到的函数图象； 【详解】解：函数是将在轴下方部分的图象关于轴翻折上去，所以的图象如下所示： 题型二：利用正切函数的单调性求参数 5.（20-21高一下·上海宝山·期末）函数（常数）在开区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合正切函数的单调区间，即可求解. 【详解】由题意可知，函数的单调递增区间为，， 因函数（常数）在开区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海·期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正切型函数的单调性可得，即可求解. 【详解】在上为严格增函数，则， 由于，则,故， 因此，解得， 故答案为： 7.（高二上·上海黄浦·期中）若“，”是真命题，则实数的最小值为 . 【答案】1 【分析】依题可知，只需求出在上的最大值，即可求出． 【详解】因为在上单调递增，所以． 若“，”是真命题，所以． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法以及正切函数单调性的应用，属于基础题． 8.（高三下·上海黄浦·阶段练习）若函数在上是递增函数，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据正切函数的单调区间列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】由于数在上是递增函数，所以.由，则，由正切函数的递增区间可知：，所以，，由于，故取，所以. 故填：. 【点睛】本小题主要考查根据正切函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，属于中档题. 题型三：求正切（型）函数的奇偶性 9.（23-24高一下·上海·期末）下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和单调性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为定义域为，其在上是严格减函数，A错误； 对于B，定义域为，，为偶函数；B错误； 对于C，定义域为，， 为奇函数，由正切函数性质知在上是严格增函数，C正确； 对于D，定义域为，，为偶函数；D错误. 故选：C. 10．（23-24高二上·上海闵行·期末）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，是奇函数，不符合题意. B选项，是非奇非偶函数，不符合题意. C选项，是奇函数，不符合题意. D选项，设，的定义域为， ，所以为偶函数. 故选：D 11.（21-22高一下·上海浦东新·期末）下列3个函数：①；②；③；其中最小正周期为的偶函数的编号为 . 【答案】①② 【分析】利用偶函数的定义判断各函数的奇偶性，再结合周期函数的定义判断各函数的周期，由此确定符合要求的函数的编号. 【详解】记，则函数的定义域为，且 ，所以为偶函数， 因为，所以为函数的周期， 若为函数的周期，则，，矛盾，所以为函数的最小正周期，所以函数满足要求， 记，则，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，又函数的最小正周期为，所以函数满足要求， 记，则，所以函数的定义域为，且，函数不满足要求， 故答案为：①②. 12.（2021高一·上海·专题练习）判断下列函数的奇偶性 （1）（2） 【答案】（1）非奇非偶函数；（2）非奇非偶函数． 【分析】根据函数奇偶性定义判断即可． 【详解】（1）由得， 所以定义域为不关于原点对称， 故函数是非奇非偶函数； （2）由得， 所以定义域为不关于原点对称， 故函数是非奇非偶函数． 题型四：由正切函数的奇偶性求函数值 13.（21-22高一下·上海浦东新·期中）已知函数，且，则 . 【答案】0 【分析】计算得到，代入计算得到答案 【详解】， 则. 故答案为： 14．（20-21高一下·上海浦东新·期中）函数，若，则的值为 【答案】0 【分析】由，可得，然后再求出 【详解】因为，且， 所以，得， 所以， 故答案为：0 题型五：求正切（型）函数的周期 15.（2025·上海·模拟预测）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（   ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 【答案】D 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期分或时，和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，即， 对于，周期为， 且，， 当或时，不等式在中无整数解； 当时，若不等式有在内只有1个整数解， 比如时，此时在内的整数解为， 而， 则在中可能有个整数解； 若不等式有在内只有2个整数解， 比如时，此时在内的整数解为或， 则在中可能有个整数解； 由于， 则在内最多只有2个整数解，因此在中不可能有1012个整数解. 故选：D. 16.（23-24高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期为 ． 【答案】/ 【分析】由正切型函数周期性定义计算即可得. 【详解】由正切型函数性质可知. 故答案为：. 17．（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期为 . 【答案】/ 【分析】根据，直接计算可得结果. 【详解】由正切函数的周期公式得：. 故答案为： 18.（高一下·上海静安·期末）已知余切函数. （1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明） （2）求证：余切函数在区间上单调递减. 【答案】（1）奇函数；周期为，单调递减速区间：   （2）证明见解析 【分析】（1）直接利用函数的性质写出结果． （2）利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果． 【详解】（1）奇函数；周期为，单调递减区间： （2）任取，，，有 因为，所以， 于是，， 从而，. 因此余切函数在区间上单调递减. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 题型六：由正切函数的周期求值 19.（2021高一·上海·专题练习）函数的图像相邻的两支截直线所的线段长度为，则的值为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得函数的最小正周期为，即可求出，再代入求值即可； 【详解】解：因为函数的图像相邻的两支截直线所的线段长度为，所以函数的最小正周期为，所以，所以，所以，所以 故选：B 20.（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）若函数（其中常数）的最小正周期为，则常数取值集合元素个数为 【答案】2 【分析】由正切型函数的周期求解． 【详解】由题意，，共两个． 故答案为：2． 21．（21-22高一下·上海奉贤·期中）直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是 ． 【答案】 【分析】利用正切函数的性质即得. 【详解】直线与的图象的相邻两个交点的距离刚好是函数的一个周期， 因为函数的最小正周期为， 所以直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是. 故答案为：. 22．（20-21高一下·上海杨浦·期中）若函数（其中常数的最小正周期为2，则的值为 【答案】 【分析】结合正切型函数的周期公式即可直接求解. 【详解】由题意可知，解得， 故答案为：. 题型七：求正切（型）函数的对称中心 23.（21-22高一下·上海黄浦·期中）函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解出对称中心为，对赋值则可判断. 【详解】令， 解得， 所以函数图象的对称中心是， 令,得函数图像的一个对称中心是， 故选：C. 24．（2021高一·上海·专题练习）函数的图像关于点 成中心对称. 【答案】， 【分析】根据正切函数的对称性可得出函数图象的对称中心点的坐标. 【详解】由正切函数的基本性质可知，函数的图象关于点成中心对称， 令 得，所以函数的图像关于点成中心对称 故答案为：． 25．（高一下·上海浦东新·期中）函数的对称中心是 . 【答案】 【分析】由正切函数的性质即可得到答案. 【详解】由正切函数的图象可知，的对称中心是. 故答案为： 【点睛】本题考查正切函数的对称中心，考查学生对正切函数性质的理解与掌握，是一道基础题. 26．（20-21高一下·上海·单元测试）写出函数的定义域、最小正周期、单调区间、对称中心． 【答案】定义域，周期，在递增，无递减区间，对称中心. 【分析】由，可求得其定义域，利用整体思想结合正切函数的周期性、单调性及对称性可求得其最小正周期、单调区间、对称中心； 【详解】解：由，得：，． 所以，其定义域为； 由得：其最小正周期； 由，得：，． 所以，函数的单调递增区间为，．无递减区间； 由得：，． 所以的对称中心为； 题型八：求正切（型）函数的定义域 27.（23-24高一下·上海·期中）下列四个函数中，定义域为R且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义域和奇偶性直接分析判断即可. 【详解】由三角函数可知：，的定义域均为R， 的定义域为，不为R，故C错误； 且为偶函数，为奇函数，可知为非奇非偶函数， 故AD错误，B正确； 故选：B. 28．（20-21高一下·上海金山·期中）下列命题中正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．第一象限的角必是锐角 C．若，则与的终边相同 D．不是周期函数． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义可知A错误；容易举出反例判定BC错误；根据正弦函数的性质和周期函数的定义，的利用反证法可以证明D正确. 【详解】由正切函数的定义可知函数的定义域为，x=0时正切函数是有意义的，0∉，故A错误； 380°是第一象限角，但不是锐角，故B错误； 60°和120°的正弦值相等，但终边不相同，故C错误； 假若函数是周期函数，存在T>0,使得f(x+T)=f(x)对于任意实数x恒成立， 当x≥0时,由正弦函数的周期性得,T=2kπ,k∈N*， 但, , ， 所以函数不是周期函数，故D正确. 故选：D. 29．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据正切函数的定义域，列式求解. 【详解】由题意可知，，， 所以. 故答案为： 30．（22-23高一下·上海静安·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据正切函数的定义域，列不等式求解，可得答案. 【详解】由于正切函数的定义域为， 故令， 解得， 即函数的定义域是， 故答案为： 31.（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域和单调区间． 【答案】定义域为，增区间为，没有减区间 【分析】根据正切型三角函数定义域、单调区间的求法求得正确答案. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 由解得， 所以函数的单调递增区间为，没有减区间. 题型九：求正切（型）函数的值域及最值 32.（21-22高三上·上海浦东新·期中）下列函数中，值域为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐一进行验证，可判断结果. 【详解】对A，函数的值域为； 对B，函数的值域为； 对C，函数的值域为； 对D，函数的值域为 故选：A 33．（20-21高三上·上海浦东新·期中）已知，，则下列说法中正确的是（    ） A．函数不为奇函数 B．函数存在反函数 C．函数具有周期性 D．函数的值域为 【答案】B 【解析】根据，图象与性质，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：的定义域关于原点对称，且，，故为奇函数，故A错误； 对于B：，在定义域内一一对应，所以，即的反函数为，故B正确； 对于C：因为，，故图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以不具有周期性，故C错误； 对于D：因为，，所以图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以的值域为一些点构成的集合，不是R，故D错误. 故选：B 34.（20-21高一下·上海长宁·期末）函数，的值域为 . 【答案】 【分析】由题意利用正切函数的性质，即可解出． 【详解】当，，函数， 故函数的值域为， 故答案为：． 35.（24-25高一·上海·随堂练习）求函数的定义域与值域，并作其图像． 【答案】答案见解析 【分析】由和去掉上的绝对值符号，可得函数的定义域与值域；当时，函数在y轴右侧的图像即为的图像不变，当时，函数在y轴左侧的图像为在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，画出即可. 【详解】由已知，设， 可知，函数的定义域为： ，值域为R； 当时，函数在y轴右侧的图像即为的图像不变； 当时，在y轴左侧的图像为在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示（实线部分）. 题型十：求含tanx的二次式的最值 36.（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【分析】换元法求函数值域，首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 37．（21-22高一下·上海长宁·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：因为，所以， ， 则当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 38．（20-21高一下·上海徐汇·期中）函数的值域是 【答案】 【分析】求出的范围，利用二次函数的性质得出值域. 【详解】， 故答案为： 39.（2021高一·上海·专题练习）已知，求它的最小值 【答案】2 【分析】由题意，可得，利用二次函数的性质，即可求解函数的最小值，得到答案. 【详解】由题意，可得，由于，所以当时，函数取最小值２. 【点睛】本题主要考查了正切函数的值域，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的值域，合理应用二次函数的性质求解是解答的关键，注重考查了推理与计算能力，属于基础题. 40．（2021高一·上海·专题练习）求函数的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量的集合. 【答案】，此时 【分析】令，则，，根据二次函数及反例函数的性质可得时，即可求出函数的最大值及最大值时的取值集合； 【详解】解：因为，令，则，，因为，所以，即时，即，，即当时函数取得最大值 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·单元测试）下列函数中在上为严格减函数的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】利用指数函数、三角函数的单调性判断即得. 【详解】函数在上单调递减，函数，，在上都单调递增. 故选：A 2．（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质判断即可. 【详解】函数为最小正周期为的奇函数. 故选：C 3．（23-24高一下·上海松江·期末）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可. 【详解】对A，是偶函数，周期为，故A错误； 对B，设，定义域为，且，则其为偶函数， 因为周期为，则的周期为，故B正确； 对C，是奇函数，周期为，故C错误； 对D，是奇函数，周期为，故D错误. 故选：B. 4．（23-24高一下·上海嘉定·期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”.而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①：②函数在上有4048个零点，则以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【分析】根据已知条件得，求出，即可判断①；令，求出，解不等式，即可判断②. 【详解】依题意得，所以，故①为假命题； 所以， 令，得，，得，， 由，得，， 所以整数的值有个，函数在上有4048个零点，故②为真命题. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据为函数的一个周期，求出是解决本题的关键. 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·期中）满足的所有的集合为 . 【答案】 【分析】根据题意结合正切函数的性质解方程可得，进而可得结果. 【详解】因为，可得， 所以所有的集合为. 故答案为：. 6．（22-23高一下·辽宁·期中）若的相邻两个对称中心距离是，则正实数的值是 . 【答案】1 【分析】根据正切型函数的对称中心与周期的关系即可求解. 【详解】由于的周期为 ,由于相邻两个对称中心距离是,所以,则, 故答案为：1 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）函数的最小正周期为 【答案】 【分析】由的最小正周期为，根据图象变换的原则，即可得到函数的最小正周期. 【详解】函数的最小正周期即函数的最小正周期， 所以所求最小正周期为． 故答案为：. 8．（23-24高一下·上海·期中）函数，的最大值为 . 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，由单调性求出函数的最大值. 【详解】当时，所以在上单调递增， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 9．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用正切函数的性质求解即可. 【详解】周期为，且在区间上为单调增函数， ，故，. 且，故的最小值为. 故答案为： 10．（20-21高一下·上海金山·期中）函数的图象的对称中心为 ． 【答案】 【分析】由正切函数的图象的对称性,结合图象平移变换即可得到答案. 【详解】的对称中心是. ∵函数的图象由的图象向上平移1个单位得到， ∴函数的对称中心为 故答案为：. 11．（22-23高一下·上海嘉定·期中）下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是 .（只填写正确说法的序号） 【答案】①③ 【分析】直接利用正切函数的图象和性质的应用即可判断. 【详解】对于①，令，解得， 当时，，所以函数在区间上为严格增函数，①正确； 对于②，函数的最小正周期为，②错误； 对于③，令，解得， 所以函数图象的对称中心为，③正确. 故答案为：①③ 12．（21-22高一下·上海浦东新·期末）对于函数，其中，已知，则 . 【答案】 【分析】根据诱导公式计算的值并观察与的关系即可求得结果. 【详解】 而 所以，故 故答案为：. 13．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则方程在上的解集为 . 【答案】 【分析】由题意得，求出的值后，得题述方程等价于，从而或，由此解三角函数方程即可得解. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 从而方程即，即，所以或， 而在上的解集为，在上的解集为， 从而方程在上的解集为. 故答案为： . 14．（21-22高一下·上海浦东新·期中）若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合正切函数的单调区间，即可求解. 【详解】因为函数的单调递增区间为，， 且函数在上为严格减函数， 所以，解得，即 . 故答案为：. 15．（22-23高一下·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 【答案】 【分析】代入计算得到，再计算，得到答案. 【详解】，故， . 故答案为： 16．（23-24高一下·上海·期中）若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 【答案】 【分析】由正切和正弦函数的性质可知两函数的交点关于对称，作出图象，结合图象即可得出答案. 【详解】因为的对称中心为，， 的对称中心为，， 所以两函数的交点也关于对称，， 又因为函数，的最小正周期为， 作出两函数的在的图象，如下图， 由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为， 且， 其中关于对称，，关于对称，， 所以. 故答案为：. 三、解答题 17．（22-23高一下·上海浦东新·期中）对于函数且. (1)求函数的定义域D； (2)判断π是否是的周期(不需要说明理由)；并证明2π是的一个周期. 【答案】(1) (2)π不是的周期，证明见解析 【分析】（1）根据解析式及正切函数的性质求定义域； （2）只需判断、是否成立即可. 【详解】（1）由解析式知：且，故的定义域. （2）由，故π不是的周期； 由，故2π是的一个周期； 18．（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 【答案】(1)最小值，无最大值； (2)； (3). 【分析】（1）令，用换元法得到，然后结合二次函数性质求解即可； （2）将原式化为，，根据函数奇偶性，然后结合二次函数性质求解即可； （3）令，用换元法得到，即可求解. 【详解】（1）设，， 则. 当时，y取最小值，无最大值， （2），. 由知为偶函数. 当时，， 令，， 当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为. 故值域为. （3）令，则， 因为函数的定义域为，即， 所以， 则，. 由得， 所以函数值域为. 19．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【答案】(1),,Z; (2) 【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【详解】（1）∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. （2）∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得 20．（23-24高一下·上海·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用正弦定理求出的外接圆半径，再设出圆心坐标，借助勾股定理求解即得. （2）利用直角三角形边角关系，用点的纵坐标表示，再利用差角的正切公式建立函数关系，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）在中，设其外接圆半径为，,， 由正弦定理得，解得， 显然的外接圆圆心在线段的中垂线，即轴上，设圆心坐标为， 于是，解得， 所以的外接圆的圆心坐标为. （2）设点，显然，而轴， 则， 于是， 当且仅当，即时取等号，而是锐角，正切函数在上单调递增， 因此最大，当且仅当最大， 所以当最大时，点的坐标是. 【点睛】关键点点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键. 21．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，且， 即的范围为． （3）函数的最小正周期为， 关于的方程在区间上至少存在2024个根， 故当时，关于的方程至少有2024个根， 即关于的方程，，至少有2024个根， 即当时，关于的方程，，至少有2024个根． 且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024， 故至少包含2023个周期，即， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$